Cómo resolver ecuaciones trigonométricas. Fórmulas y ejercicios resueltos.

A continuación voy a explicarte cómo resolver ecuaciones trigonométricas, con ejercicios resueltos paso a paso.

En primer lugar, veremos las fórmulas de las razones trigonométricas que necesitas saber utilizar para resolver ecuaciones trigonométricas.

Seguiremos resolviendo ecuaciones trigonométricas sencillas, luego veremos cómo resolver ecuaciones trigonométricas que hay que factorizar y terminaremos explicándote ecuaciones trigonométricas en las que hay que expresar todas las razones en función de una.

Por último, resolveremos ecuaciones trigonométricas paso a paso aplicando lo aprendido.

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Fórmulas de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Seno de la suma de dos ángulos

Coseno de la suma de dos ángulos

Tangente de la suma de dos ángulos

Fórmulas de las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Seno de la diferencia de dos ángulos

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Tangente de la diferencia de dos ángulos

Fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble

Fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo mitad

Fórmula de transformación de sumas de dos razones en productos

Transformación de la suma de senos en productos

Transformación de la diferencia de senos en productos

Transformación de la suma de dos cosenos en productos

Transformación de la diferencia de dos cosenos en productos

Cómo resolver ecuaciones trigonométricas sencillas

Vamos  a ver cómo resolver ecuaciones trigonométricas sencillas. Por ejemplo, tenemos la siguiente ecuación:

En primer lugar, aplicamos al primer término la fórmula del ángulo doble del seno:

Sustituimos  en la ecuación:

Ahora podemos eliminar el cos x de ambos miembros:

Despejamos sen x, pasando el 2 dividiendo al segundo miembro:

Y finalmente despejamos la x:

Ecuaciones trigonométricas trigonométricas que hay que factorizar

(Próximamente)

Ecuaciones trigonométricas que hay que expresar todas las razones en función de una de ellas

Vamos  a ver cómo resolver ecuaciones trigonométricas donde hay que expresar todas las razones en función de una de ellas.

Por ejemplo:

Vamos a ir realizando cambios trigonométricos hasta que todos los términos queden expresados en la misma razón, utilizando las distintas fórmulas trigonométricas

Para empezar, expresamos la tangente como el cociente del seno entre el coseno:

Reducimos el primer miembro a denominador común:

Pasamos el denominador multiplicando al segundo miembro. Como es cero, el segundo miembro sigue quedando cero, ya que el resultado de multiplicar algo por cero es cero y en el primer miembro tan sólo nos queda el numerador de la fracción:

Ahora aplicamos al primer término la fórmula del ángulo doble del seno:

Y nos queda:

Sacamos factor común a 2.cos α:

Nos queda una ecuación donde tenemos dos factores multiplicándose cuyo resultado es cero. Eso quiere decir o que el primer factor es cero o que el segundo es cero. De donde obtenemos dos nuevas ecuaciones.

Si el primer factor es cero nos queda la siguiente ecuación:

De donde obtenemos las dos primera soluciones:

Si el segundo factor es cero, nos queda la siguiente ecuación:

Donde debemos seguir simplificando para poder resolverla.

En esta ocasión utilizamos la fórmula del ángulo doble del coseno:

Y la aplicamos en el segundo término:

Ahora, vamos a expresar el coseno al cuadrado en función del seno cuadrado a partir de la relación fundamental:

Sustituimos y nos queda:

Ahora operamos agrupando los términos con seno al cuadrado de alfa:

Y reordenamos términos:

Nos queda una ecuación de segundo grado completa, donde la incógnita es el seno de alfa y que la resolvemos con la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado:

Operamos:

Y separamos el signo más por un lado:

El signo menos por otro lado:

Obteniendo dos soluciones para el seno de alfa:

De la primera solución del seno de alfa:

Obtenemos dos soluciones más para alfa:

Y de la segunda solución del seno de alfa:

Obtenemos la última solución para alfa:

Teniendo, por tanto, esta ecuación trigonométrica 5 soluciones.

Ejercicios resueltos de ecuaciones trigonométricas

Ejercicio 1

En general, para poder aplicar fórmulas de razones trigonométricas, tenemos que transformar la ecuación. En este caso, el 3x del coseno del primer miembro lo podemos poner como 2x+2:

y de esta forma ya podemos aplicar la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos:

Aplicamos la fórmula en el primer miembro:

Ahora para el coseno de 2x y el seno de 2x aplicamos las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble del coseno y del seno, respectivamente:

Aplicamos las fórmulas y nos queda:

Multiplicamos para eliminar el paréntesis:

Agrupamos términos semejantes (el segundo y el tercer término del primer término son semejantes):

Ahora, el seno cuadrado, lo expresamos en función del coseno para tener todo cosenos en la fórmula, a partir de la fórmula  de la relación fundamental de la trigonometría:

despejando el seno al cuadrado:

Sustituimos el seno al cuadrado por la expresión anterior en nuestra ecuación:

Multiplicamos para eliminar paréntesis:

Pasamos todos los términos al primer miembro, quedando el segundo miembro igual a 0:

Agrupamos términos semejantes:

Sacamos factor común al coseno:

Donde, por un lado tenemos:

Despejamos la x:

Y por otro lado tenemos:

Despejamos el coseno al cuadrado:

Pasamos el cuadrado al miembro contrario como raíz cuadrada y operamos:

y despejamos la x:

Obteniendo por tanto 4 soluciones

Ejercicio 2

Vamos a resolver la ecuación trigonométrica  sen (2x+60)+sen (x+30)=0:

Para resolver esta ecuación aplicaremos la fórmula de la transformación de la suma de dos senos en un producto:

En nuestro caso, A=2x+60 y B=x+30. Aplicamos la fórmula y nos queda:

Operamos dentro de los paréntesis:

Al tener un producto cuyo resultado es 0, tenemos dos caminos (el 2 se anula directamente).

El primer camino es:

Hacemos la inversa del seno:

Operamos en el segundo miembro:

Pasamos el 2 multiplicando al segundo miembro:

Despejamos la x y operamos:

El segundo camino es:

Hacemos la inversa del coseno:

Tenemos 2 posibles soluciones en las que el coseno es igual a 0:

Una solución es:

donde despejamos la x:

Y la otra solución es:

donde también despejamos la x:

Por tanto, esta ecuación tiene 3 soluciones.

Ejercicio 3

Vamos a resolver la ecuación trigonométrica  cos(30+x)=senx:

En primer lugar, en el primer miembro, aplicamos la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos, para que dentro de las razones trigonométricas solo dependan de x y no de una suma:

Aplicamos la fórmula y nos queda:

Ahora resolvemos las razones trigonométricas de coseno 30 y seno de 30:

Pasamos el 1/2.sen x que está restando en el primer miembro sumando al segundo miembro:

Simplificamos la ecuación anulando en ambos miembros el 2 que está como denominador:

Ahora, el seno  lo expresamos en función del coseno para tener todo cosenos en la fórmula, a partir de la fórmula  de la relación fundamental de la trigonometría:

despejando el seno:

Sustituimos el sen x por la expresión anterior:

Ahora, como tenemos una raíz cuadrada en uno de los miembros, elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz:

Resolvemos los cuadrados:

Eliminamos el paréntesis multiplicando el 9 por los términos de su interior:

Pasamos los términos con coseno al cuadrado al primer miembro:

Despejamos coseno cuadrado de x:

Y finalmente despejamos el coseno de x:

Ahora despejamos la x:

Como resolviendo la ecuación, elevamos al cuadrado ambos términos (cuadradados que no formaban parte de la ecuación), creamos una solución virtual, así que, para comprobar qué solución es correcta, vamos a sustituir la x en la ecuación y veremos cuál cumple la igualdad.

En la ecuación original:

Sustituimos la x por 30º y operamos:

Se cumple la igualdad, luego x=30º es solución de la ecuación.

Hacemos lo mismo con x=330º:

No se cumple la igualdad, luego x=330º no es solución de la ecuación.

Por tanto, la solución de la ecuación es:

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