Cómo resolver ecuaciones trigonométricas. Fórmulas y ejercicios resueltos.

A continuación vamos a ver qué es y cómo resolver las ecuaciones trigonométricas. Para ello, veremos las fórmulas de las razones trigonométricas que necesitas saber utilizar para resolver ecuaciones trigonométricas y te explicaré como resolver ecuaciones de todos los tipos que te puedes encontrar. Con ejercicios resueltos paso a paso

¡Empezamos!

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Qué son las ecuaciones trigonométricas

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones cuyas incógnitas aparecen dentro de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente).

Estas son ejemplos de ecuaciones trigonométricas:

donde como puedes observar, la x se encuentra dentro de las razones seno y coseno.

Fórmulas para resolver ecuaciones trigométricas

Las fórmulas que vamos a ver continuación nos van a ayudar a resolver ecuaciones trigonométricas, ya que aplicándolas, nos van a permitir transformar las ecuaciones para que podamos simplificar los cálculos y llegar a la solución.

Veremos cómo aplicarlas en el siguiente apartado.

Fórmulas de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Si tenemos la suma de dos ángulos (α+β), sus razones trigonométricas son las siguientes:

Seno de la suma de dos ángulos

Coseno de la suma de dos ángulos

Tangente de la suma de dos ángulos

Fórmulas de las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Las razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos (α-β) son:

Seno de la diferencia de dos ángulos

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Tangente de la diferencia de dos ángulos

Fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble

Las fórmulas de las razones trigonométricas del doble de un ángulo (2α) son las siguientes.

Seno del doble de un ángulo

Coseno del doble de un ángulo

Tangente del doble de un ángulo

Fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo mitad

La mitad de un ángulo (α/2) tiene las siguientes razones trigonométricas:

Seno de la mitad de un ángulo

Coseno de la mitad de un ángulo

Tangente de la mitad de un ángulo

Fórmula de transformación de sumas y restas de dos razones en productos

Podemos transformar una sumas y restas de senos o de cosenos en productos con las siguientes fórmulas:

Transformación de la suma de senos en productos

Transformación de la diferencia de senos en productos

Transformación de la suma de dos cosenos en productos

Transformación de la diferencia de dos cosenos en productos

Cómo resolver ecuaciones trigonométricas

Ahora vamos a ver cómo resolver ecuaciones trigonométricas de todos los tipos que te puedes encontrar. Veremos cómo resolver ecuaciones con una sola función trigonométrica, ecuaciones que hay que factorizar y ecuaciones que hay que expresar todas las razones en función de una de ellas, aunque lo más normal es encontrarnos ecuaciones trigonométricas en las que tengamos que aplicar varios procedimientos para resolverlas.

Ecuaciones trigonométricas con una sola función trigonométrica

Vamos a empezar con las ecuaciones trigonométricas más sencillas, que son aquellas en las que solo aparece un función trigonométrica.

Este tipo de ecuaciotes tiene la siguiente forma:

En el interior de la razón trigonométrica, también puede aparecer una función que dependa de x. En ese caso, su forma es:

donde k es un número perteneciente al conjunto de los números reales.

Vamos a ver un ejemplo de cómo resolver ecuaciones trigonométricas de este tipo.

Tenemos la siguiente ecuación:

Tenemos que hallar todos las soluciones de x que cumplan dicha igualdad, expresadas en la primera vuelta de la circunferencia. Hay que tener en cuenta, que las ecuaciones trigonométricas tienen infinitas soluciones. Más adelante veremos por qué y cómo hallarlas todas.

En primer despejamos la x mediante la función inversa del seno y operamos con la calculadora. El resultado que nos da es el siguiente:

Como hay que hallar las soluciones en la primera vuelta de la circunferencia, tenemos que pasar el ángulo de -30º a su ángulo equivalente de la primera vuelta. Para ello a 360º le restamos 30º, ya que el ángulo -30º se encuentra a una distancia de 30º en sentido horario del ángulo 360º:

El ángulo 330º está en el cuarto cuadrante, donde el valor del seno es negativo:

Así que, la primera solución de la ecuación sería x=330º:

Pero como he comentado anteriormente, hay que hallar todas las soluciones de la ecuación. Si a 330º le sumas una vuelta, es decir, le sumas 360º, el seno de 690º también es igual a -0,5:

Si le sumas dos vueltas, es decir, si le sumas 360º.2, el seno de 1050º también es -0,5:

Y así sucesivamente.

Por tanto, todos los ángulos que resulten de sumar vueltas o múltiplos de 360º al ángulo, tendrán el mismo valor del seno y eso lo expresamos sumando 360º.k al ángulo, donde k es un número cuyos valores van desde el 0 al infinito:

Así que, la primera solución de la ecuación la expresamos así, teniendo en cuenta el ángulo de 330º y todas sus vueltas de cirunferencia:

Por otro lado, otro ángulo que tiene el mismo valor del seno es el ángulo suplementario a 330º, situado en el tercer cuadrante, que se calcula sumando 30º a 180º, al estar a una distancia de 30º en sentido antihorario del ángulo 180º:

210º y 330º tienen un valor de seno de -0,5.

Y ya tenemos la segunda solución de la ecuación, expresándola también teniendo en cuenta todas sus vueltas de circunferencia.

Con estas dos soluciones tenemos todos los valores de la x que cumplen la ecuación.

Vamos a ver un ejemplo donde tengamos una función dentro de la razón trigonométrica:

Aplicamos la función inversa del coseno y me queda que la función que estaba dentro del coseno es igual al arco coseno de -1/2. Con la calculadora, esto nos da 120º:

Por lo tanto, la función que está dentro del coseno tiene que valer 120º más sus vueltas, por lo que le sumamos 360º.k:

En esta ecuación que nos queda vamos a despejar la x.

Primero pasamos el 15º restando al segundo miembro:

Operamos:

Y después pasamos el 3 dividiendo al miembro contrario:

Dividimos cada uno de los términos del segundo miembro entre 3:

Y nos queda la primera solución de la ecuación:

Tenemos que dar todas las soluciones de x en la primera vuelta.

Como el 360º.k lo hemos dividido entre 3, si damos valores a la k, no se recorre una vuelta completa, sino que se recorren 1/3 de vuelta (120º) y por tanto, tenemos que ir dando valores a k hasta recorrer una vuelta e ir obteniendo los ángulos de la primera vuelta.

Empezamos con k=0:

Para k=1:

Para k=2:

Ya le hemos dado 3 valores a k, los mismos valores que el número por el que hemos dividido el 360º.k. A partir de aquí, si seguimos dando valores a k, obtendremos valores de ángulos equivalentes a los ya calculados.

Por ejemplo, para k=3:

Obtenemos el valor de 395º, que es equivalente a 35º o dicho de otra forma, 395º es igual a 35º más una vuelta (360º):

Por otro lado, otro ángulo que también tiene un valor del coseno igual a -1/2 es 240º, que es el ángulo opuesto a 120º y se encuentra en el tercer cuadrante donde el coseno es negativo.

Así que para obtener el resto de soluciones de la ecuación, igualamos la función de dentro del coseno a 240º más sus vueltas:

Vamos a despejar la x.

Pasamos el 15º restando al segundo miembro:

Y también pasamos el 3 diviendo:

Operamos y nos queda la segunda solución de la ecuación:

Le damos valores a la k para obtener los ángulos de la primera vuelta.

Para k=0:

Para k=1:

Para k=2:

Resumiendo, las soluciones de la ecuación son:

Y para estos valores de x, las soluciones de la primera vuelta son 35º, 75º, 155º, 195º, 275º y 315º

Ecuaciones trigonométricas que hay que factorizar

Vamos a ver ahora cómo resolver ecuaciones trigonométricas en las que hay que factorizar en alguno de sus pasos para poder llegar a la solución, con un ejemplo.

Tenemos la siguiente ecuación trigonométrica:

En primer lugar pasamos todos los términos al primer miembro. En este caso, pasamos el cos x al primer miembro:

Aplicamos en el primer miembro la fórmula del ángulo doble del seno, para evitar tener 2x dentro del seno:

Nos queda:

Llegados a este punto, cuando no podemos seguir simplificando más, es cuando hay que factorizar. En este caso, podemos sacar factor común al coseno de x:

Al sacar factor común, nos queda un producto de dos factores cuyo resultado es igual a cero, de donde concluimos que uno de los dos factores es igual a cero, es decir, que el primer factor es igual a cero o que el segundo factor es igual a cero:

Nos quedan dos ecuaciones que tenemos que resolver.

De la primera ecuación:

Despejamos x:

De la segunda ecaución:

Despejamos el sen x:

Y finalmente despejamos x:

Ecuaciones trigonométricas que hay que expresar todas las razones en función de una de ellas

Vamos  a ver cómo resolver ecuaciones trigonométricas donde hay que expresar todas las razones en función de una de ellas.

Ejemplo 1

Por ejemplo:

En el coseno del primer término, tenemos un 2x, mientras que en el resto de términos tenemos una x dentro de las razones. Por tanto, el primer paso es convertir es 2x en solo una x. Eso lo conseguimos mediante la fórmula del coseno del doble de un ángulo:

Aplicamos la fórmula en nuestra ecuación:

Ahora vemos que tenemos cuatro términos, de los cuales uno corresponde a un coseno y los otros tres son senos. Por tanto, tenemos que expresar el coseno en forma de seno para que todos los términos tengan la misma razón trigonométrica. Eso lo conseguimos mediante la fórmula de la relación fundamental de la trigonometría:

De donde despejamos el coseno al cuadrado:

En nuestra ecuación, sustituimos el coseno al cuadrado por la expresión que acabamos de despejar:

Llegados a este punto, con todos los términos expresados en la misma razón trigonométrica (todos son senos), pasamos todos los términos al primer miembro, quedando cero en el segundo miembro:

Agrupamos términos semejantes y operamos:

Realizamos un cambio de variable, llamando t al seno de x:

Sustituimos seno de x por t:

Nos queda una ecuación de segundo grado que pasamos a resolver:

De la primera solución nos queda:

Y despejando la x obtenemos las dos primeras soluciones de la ecuación:

De la segunda solución de la ecuación de segundo grado tenemos:

De donde volvemos a despejar la x, obteniendo dos soluciones más:

Ejemplo 2

Vamos a ver otro ejemplo:

Vamos a ir realizando cambios trigonométricos hasta que todos los términos queden expresados en la misma razón, utilizando las distintas fórmulas trigonométricas

Para empezar, expresamos la tangente como el cociente del seno entre el coseno:

Reducimos el primer miembro a denominador común:

Pasamos el denominador multiplicando al segundo miembro. Como es cero, el segundo miembro sigue quedando cero, ya que el resultado de multiplicar algo por cero es cero y en el primer miembro tan sólo nos queda el numerador de la fracción:

Ahora aplicamos al primer término la fórmula del ángulo doble del seno:

Y nos queda:

Sacamos factor común a 2.cos α:

Nos queda una ecuación donde tenemos dos factores multiplicándose cuyo resultado es cero. Eso quiere decir o que el primer factor es cero o que el segundo es cero. De donde obtenemos dos nuevas ecuaciones.

Si el primer factor es cero nos queda la siguiente ecuación:

De donde obtenemos las dos primera soluciones:

Si el segundo factor es cero, nos queda la siguiente ecuación:

Donde debemos seguir simplificando para poder resolverla.

En esta ocasión utilizamos la fórmula del ángulo doble del coseno:

Y la aplicamos en el segundo término:

Ahora, vamos a expresar el coseno al cuadrado en función del seno cuadrado a partir de la relación fundamental:

Sustituimos y nos queda:

Ahora operamos agrupando los términos con seno al cuadrado de alfa:

Y reordenamos términos:

Nos queda una ecuación de segundo grado completa, donde la incógnita es el seno de alfa y que la resolvemos con la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado:

Operamos:

Y separamos el signo más por un lado:

El signo menos por otro lado:

Obteniendo dos soluciones para el seno de alfa:

De la primera solución del seno de alfa:

Obtenemos dos soluciones más para alfa:

Y de la segunda solución del seno de alfa:

Obtenemos la última solución para alfa:

Teniendo, por tanto, esta ecuación trigonométrica 5 soluciones.

Ejercicios resueltos de ecuaciones trigonométricas

Ejercicio 1

Solución

En general, para poder aplicar fórmulas de razones trigonométricas, tenemos que transformar la ecuación. En este caso, el 3x del coseno del primer miembro lo podemos poner como 2x+2:

y de esta forma ya podemos aplicar la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos:

Aplicamos la fórmula en el primer miembro:

Ahora para el coseno de 2x y el seno de 2x aplicamos las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble del coseno y del seno, respectivamente:

Aplicamos las fórmulas y nos queda:

Multiplicamos para eliminar el paréntesis:

Agrupamos términos semejantes (el segundo y el tercer término del primer término son semejantes):

Ahora, el seno cuadrado, lo expresamos en función del coseno para tener todo cosenos en la fórmula, a partir de la fórmula  de la relación fundamental de la trigonometría:

despejando el seno al cuadrado:

Sustituimos el seno al cuadrado por la expresión anterior en nuestra ecuación:

Multiplicamos para eliminar paréntesis:

Pasamos todos los términos al primer miembro, quedando el segundo miembro igual a 0:

Agrupamos términos semejantes:

Sacamos factor común al coseno:

Donde, por un lado tenemos:

Despejamos la x:

Y por otro lado tenemos:

Despejamos el coseno al cuadrado:

Pasamos el cuadrado al miembro contrario como raíz cuadrada y operamos:

y despejamos la x:

Obteniendo por tanto 4 soluciones

Ejercicio 2

Vamos a resolver la ecuación trigonométrica  sen (2x+60)+sen (x+30)=0:

Solución

Para resolver esta ecuación aplicaremos la fórmula de la transformación de la suma de dos senos en un producto:

En nuestro caso, A=2x+60 y B=x+30. Aplicamos la fórmula y nos queda:

Operamos dentro de los paréntesis:

Al tener un producto cuyo resultado es 0, tenemos dos caminos (el 2 se anula directamente).

El primer camino es:

Hacemos la inversa del seno:

Operamos en el segundo miembro:

Pasamos el 2 multiplicando al segundo miembro:

Despejamos la x y operamos:

El segundo camino es:

Hacemos la inversa del coseno:

Tenemos 2 posibles soluciones en las que el coseno es igual a 0:

Una solución es:

donde despejamos la x:

Y la otra solución es:

donde también despejamos la x:

Por tanto, esta ecuación tiene 3 soluciones.

Ejercicio 3

Vamos a resolver la ecuación trigonométrica  cos(30+x)=senx:

Solución

En primer lugar, en el primer miembro, aplicamos la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos, para que dentro de las razones trigonométricas solo dependan de x y no de una suma:

Aplicamos la fórmula y nos queda:

Ahora resolvemos las razones trigonométricas de coseno 30 y seno de 30:

Pasamos el 1/2.sen x que está restando en el primer miembro sumando al segundo miembro:

Simplificamos la ecuación anulando en ambos miembros el 2 que está como denominador:

Ahora, el seno  lo expresamos en función del coseno para tener todo cosenos en la fórmula, a partir de la fórmula  de la relación fundamental de la trigonometría:

despejando el seno:

Sustituimos el sen x por la expresión anterior:

Ahora, como tenemos una raíz cuadrada en uno de los miembros, elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz:

Resolvemos los cuadrados:

Eliminamos el paréntesis multiplicando el 9 por los términos de su interior:

Pasamos los términos con coseno al cuadrado al primer miembro:

Despejamos coseno cuadrado de x:

Y finalmente despejamos el coseno de x:

Ahora despejamos la x:

Como resolviendo la ecuación, elevamos al cuadrado ambos términos (cuadradados que no formaban parte de la ecuación), creamos una solución virtual, así que, para comprobar qué solución es correcta, vamos a sustituir la x en la ecuación y veremos cuál cumple la igualdad.

En la ecuación original:

Sustituimos la x por 30º y operamos:

Se cumple la igualdad, luego x=30º es solución de la ecuación.

Hacemos lo mismo con x=330º:

No se cumple la igualdad, luego x=330º no es solución de la ecuación.

Por tanto, la solución de la ecuación es:

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