Cómo resolver inecuaciones racionales. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación te voy a explicar cómo resolver inecuaciones racionales, es decir, inecuaciones con forma de fracción algebraica, como por ejemplo ésta:

Lo veremos con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Empezamos!

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Cómo resolver inecuaciones racionales o fraccionarias

En una función racional tenemos intervalos donde el valor de la función es positiva y otros intervalos donde el valor de la función es negativa. A priori, es complicado saber qué tramos serán positivos y cuáles serán negativos. No se puede intuir de la misma forma que se intuyen en una inecuación de segundo grado.

Resolver una inecuación racional consiste en obtener el rango de valores de x cumplan la desigualdad, es decir, obtener los tramos para los que la función sea positiva o negativa, según sea la desigualdad de la inecuación.

Para ello, debemos realizar los siguientes pasos:

  1. Obtener antes los valores de x donde la función cambia de signo, de positiva a negativa o viceversa
  2. Representar los puntos en la recta real, teniendo en cuenta si se coge o no para el resultado.
  3. Calcular el signo de cada intervalo.
  4. El rango o los rangos de valores que cumplan la desigualdad, será la solución de la inecuación.

Lo veremos paso a paso con todo detalle en el siguiente apartado.

Inecuaciones resueltas paso a paso

Vamos a resolver ahora unas cuantas inecuaciones racionales paso a paso, aplicando el procedimiento que acabamos de ver.

Ejemplo resuelto de inecuación racional 1

En esta inecuación debemos calcular los intervalos donde la función racional es menor que cero, es decir, los intervalos donde la función racional sea negativa.

Para ello vamos a obtener en primer lugar los puntos donde la función cambia de signo.

Esos puntos los obtenemos igualando el numerador a cero por un lado e igualando el denominador a cero por otro lado.

Igualamos el numerador a cero:

Y despejamos x:

Por otro lado, igualamos el denominador a cero:

Y despejamos la x:

Representamos ambos valores que acabamos de obtener en la recta real:

El valor que resulta de igualar el numerador a cero, se coge siempre y cuando la desigualdad tenga un signo igual. En nuestro caso, el 2 no se coge, ya que la desigualdad no tiene signo igual, por lo que dejamos el punto hueco.

Por otro lado, el valor que resulta de igualar el denominador a cero, nunca se coge, ya que el denominador de una función racional nunca puede ser cero. Por tanto, el -2, también queda hueco.

Ahora vamos a obtener el signo de cada intervalo.

Para esto, debemos darle a x un valor que pertenezca a cada tramo.

Para saber el signo del tramo que queda a la izquierda de -2, le damos a x el valor de -3 en la función y operamos:

El resultado es 5, mayor que cero, luego cualquier valor de x que esté en ese tramo hará que la función sea positiva, por lo que la función es positiva en ese intervalo.

Para le tramo que está entre -2 y 2 la damos a x el valor de 0, sustituimos en la en la función y operamos:

El resultado es -1, menor que cero. Cualquier valor de x que pertenezca a este tramo hará que la función sea negativa, por lo que la función es negativa en ese tramo.

Finalmente, para el tramo que queda a la derecha del 2, le damos a x el valor de 3, lo sustituimos en la función y operamos:

El valor de la función es mayor que cero, por lo que la función será positiva en ese tramo.

Representamos el signo de cada tramo en el recta real:

Para terminar, la solución de nuestra inecuación son los valores de x que hacen que la función sea menor que cero, es decir los tramos negativos:

Por tanto la solución es el intervalo abierto desde -2 hasta 2 (ambos sin cogerlo por las razones que he comentado más arriba):

Ejemplo resuelto de inecuación racional 2

Vamos a resolver otra inecuación racional:

En este caso, vemos que en el segundo miembro tenemos un 2. Al tenerlo así, no se ve claro si la función debe ser positiva o negativa.

Por tanto, lo primer que tenemos que hacer es pasar todos los miembros al primer miembro, dejar a 0 el segundo miembro y operar en el primer miembro para que nos quede una sola fracción algebraica.

Pasamos el 2 restando al primer miembro:

Operamos restando los números:

Y reducimos a denominador común para poder realizar la resta del -1 a la fracción algebraica:

Operamos para eliminar el paréntesis que queda en el numerador:

Operamos y reordenamos términos:

Ya tenemos más claro la condición de la desigualdad para obtener la solución de la inecuación racional: la fracción que nos ha quedado debe ser mayor que cero.

Ahora debemos encontrar los valores de x donde la función cambia de signo. Tenemos que igualar el numerador a cero por un lado y por otro lado, igualar a cero el denominador.

En este caso, tenemos un 5 en el numerador, lo que quiere decir que el numerador siempre valdrá 5, por lo que no tenemos incógnita para despejar y por tanto no encontraremos nunca un valor que haga cero el denominador.

Por tanto, sólo nos queda igualar a cero el denominador:

De donde obtenemos el siguiente valor:

Lo representamos en la recta real:

En este caso, el 3 no se coge ya que se ha obtenido a partir de igualar a cero el denominador. Cuando x vale 3, la función no existe, por lo que no puede ser solución.

Nos quedan dos intervalos, uno a la izquierda del 3 y otro a su derecha.

Vamos a calcular el signo de cada intervalo.

Para calcula el signo del intervalo que queda a la izquierda, le damos a x el valor de 0 y nos queda:

Por lo que en ese intervalo la función es negativa.

Para obtener el signo del intervalo de la derecha del 3, le damos a x el valor de 4, lo sustituimos en la función y operamos:

La función en ese tramo es positiva.

Representado en la recta real queda:

Estamos buscando los tramos que hagan la función mayor que cero:

Es decir, el intervalo positivo, por lo que la solución es el intervalo abierto que va desde 3 hasta infinito:

Ejemplo resuelto de inecuación racional de segundo grado

Vamos a ver ahora cómo resolver una inecuación racional de segundo grado:

En este caso, debemos encontrar los valores de x que hagan que la función sea menor o igual que cero.

Empezamos buscando los valores de x donde la función cambia de signo.

Igualamos a cero el numerador:

En este caso nos queda una ecuación de segundo grado completa, que resolvemos y cuyas soluciones son:

Igualamos a cero el denominador:

Despejamos la x y queda:

Representamos los tres valores en la recta real:

En este caso -2 y 1, que son los valores obtenidos a partir de igualar el numerador a cero, sí forman parte de la solución o dicho de otra forma, sí hay que cogerlos, ya que en la desigualdad tenemos un signo igual. El 4, no hay que cogerlo, ya que se ha obtenido a partir del denominador y esos valores nuca se cogen.

Por tanto, -2 y 1 quedan quedan rellenos y 4 queda vacío.

Nos quedan por tanto 4 intervalos: uno a la izquierda de -2, otro entre -2 y 1, otro entre 1 y 4 y otro a la derecha de 4.

Pasamos a calcular el signo de cada tramo.

Para calcular el signo del tramo que queda a la izquierda de -2, le damos a x el valor de -3:

La función en ese tramo es negativa.

Para calcular el signo del tramo que está entre -2 y 1  le damos a x el valor de 0:

La función en ese tramo es positiva.

Para calcular el signo del tramo que está entre 1 y 4  le damos a x el valor de 2:

La función en ese tramo es negativa.

Para calcular el signo del tramo que queda a la derecha de 4, le damos a x el valor de 5:

Representamos los signos de cada tramo en la recta real:

La solución que estamos buscando son los intervalos que hacen que la función sea menor o igual que cero:

Por tanto, la solución es la unión de los dos intervalos negativos:

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