A continuación te voy a explicar cómo resolver límites con indeterminación cero elevado a cero. Veremos cuál es el procedimiento general, con ejercicios resueltos paso a paso.
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Procedimiento para resolver límites con indeterminación cero elevado a cero
En general, los límites que pueden tener indeterminación cero elevado a cero, tienen esta forma:
Es decir, el límite de cuando x tiende a un número de una función elevada a otra función y que al sustituir ese número en ambas funciones obtenemos cero entre cero.
Para resolver este tipo de límites seguiremos el siguiente procedimiento:
En primer lugar, sustituimos la x por el valor al que tiende y comprobamos que estamos ante la indeterminación cero elevado a cero:
Una vez identificada la indeterminación, ese límite lo igualamos a un valor, el cuál nombraremos con una letra, que en este caso será M (pero puede ser cualquier letra):
Lo que tenemos en este punto es una ecuación, donde en el lado izquierdo tenemos el valor M y en el derecho el límite.
El siguiente paso es aplicar logaritmos neperianos a ambos lados de la ecuación:
En el segundo miembro de la ecuación, el logaritmo neperiano lo podemos meter dentro del límite, ya que el logaritmo neperiano del límite es igual al límite de logaritmo neperiano de la función elevada a otra función:
Aplicando las propiedades de los logaritmos, la función que eleva a la otra función pasa multiplicando al logaritmo:
Al hacer esto, hemos eliminado la indeterminación y podemos obtener el valor del límite, que recordemos que es el segundo miembro de la ecuación, no la solución del límite.
Dependiendo del límite en concreto, habrá que seguir los procedimientos que ya conocemos para resolverlo, en función de otras indeterminaciones que nos irán apareciendo.
El valor obtenido será igual al logaritmo neperiano de M, llegando a la siguiente ecuación:
La solución del límite es el valor de M, ya que es el valor al que igualamos el límite en el primer paso:
Finalmente, obtenemos el valor de M aplicando la fórmula de definición de logaritmo, por lo que M será igual al número «e» elevado a λ (valor obtenido del cálculo del límite del segundo miembro):
Ejercicios resueltos de límites con indeterminación cero elevado a cero
Vamos a ver con todo detalle cómo resolver paso a paso límites con indeterminación cero elevado a cero, resolviendo ejercicios paso a paso, aplicando el procedimiento que acabamos de explicar para que te quede todo mucho más claro.
Ejercicio 1
Por ejemplo, nos piden resolver el siguiente límite:
En primer lugar sustituimos la x por 0 en el contenido del límite:
Llegamos a la indeterminación cero elevado a cero.
Igualamos el límite a un determinado valor, que en este caso será el valor A:
Aplicamos logaritmos neperianos a ambos lados de la ecuación:
El logaritmo neperiano lo metemos dentro del límite en el segundo miembro:
Aplicamos las propiedades de los logaritmos y la función que está como exponente pasa multiplicando al logaritmo neperiano dentro del límite:
Volvemos a sustituir la x por 0 para resolver el límite:
Nos queda una nueva indeterminación, concretamente la de cero por infinito.
Este tipo de indeterminación se resuelve operando en la función que contiene el límite. En este caso, debemos tener en cuenta que multiplicar por un número cualquiera por x² es lo mismo que dividir ese mismo número entre el inverso de x²:
Por tanto, realizando esa transformación, el límite nos queda:
Volvemos a sustituir la x por cero para resolver el límite:
Llegamos a la indeterminación de infinito partido por infinito.
Esta indeterminación la resolvemos aplicando la regla de L’Hôpital:
Volvemos a sustituir la x por cero en el límite para ver si llegamos a alguna solución finita:
Esta vez obtenemos la indeterminación cero entre cero.
Resolvemos este tipo de indeterminación factorizando numerador y denominador y eliminando el factor que provoca la indeterminación:
Sustituimos la x por cero y esta vez el resultado del límite es cero:
Recordemos que hemos obtenido el resultado del límite que está en el segundo miembro (no el resultado del límite original del ejercicio), es decir, hemos obtenido que ln A es igual a cero:
Debemos encontrar el valor de A que es igual al límite que queremos resolver:
Aplicamos la fórmula de la definición de logaritmo neperiano en la ecuación ln A=0 y obtenemos:
El número «e» elevado a cero es igual a 1, por tanto, A=1, por lo que la solución del límite que buscamos es igual a 1:
Ejercicio 2
Resolver el siguiente límite:
Empezamos sustituyendo la x por cero y llegamos a la indeterminación cero elevado a cero:
Igualamos el límite a un determinado valor A:
Aplicamos logaritmos neperianos en los dos miembros de la ecuación:
En el segundo miembro, introducimos el logaritmo neperiano dentro del límite:
La x que está como exponente, pasa multiplicando al ln, dentro del límite, según las propiedades de los logaritmos:
Sustituimos la x por cero en el segundo miembro, llegando a la indeterminación cero por infinito:
Esta indeterminación la resolvemos operando en la función que está contenida en el límite. En este caso, multiplicar por x es igual que dividir por el inverso de x (1/x), por lo que el límite nos queda:
Volvemos a sustituir la x por cero en el límite y llegamos a la indeterminación de infinito entre infinito:
Aplicamos L’Hôpital para resolver esta indeterminación y nos queda:
Sustituimos x por cero para calcular el límite, llegando a la indeterminación de cero entre cero:
Volvemos a aplicar L’Hôpital para resolver esta indeterminación:
Sustituimos una vez más la x por cero para calcular el límite, llegando a que es igual a cero:
Por tanto, el ln A es igual a cero:
Y aplicando la definición de logaritmo, llegamos a que A es igual al número «e» elevado a cero:
El número «e» elevado a cero es igual a 1, por tanto, A=1, por lo que la solución del límite que buscamos es igual a 1:
Ejercicio 3
Resuelve el siguiente límite:
Empezamos como siempre sustituyendo la x por cero, llegando a la indeterminación cero elevado a cero:
Igualamos el límite al valor A:
Aplicamos logaritmos neperianos a los dos lados de la ecuación:
En el segundo miembro, el logaritmo neperiano lo introducimos dentro del límite :
Aplicamos las propiedades de las potencias y la función que tenemos como exponente, la pasamos multiplicando al logaritmo:
Y operamos dentro del límite:
Sustituimos x por cero para resolver el límite y llegamos a la indeterminación infinito entre infinito:
Para resolver esta indeterminación aplicamos L’Hôpital y operamos:
Volvemos a sustituir la x por cero. Esta vez llegamos a la indeterminación cero entre cero:
Seguimos aplicando L’Hôpital para resolver la indeterminación:
Sustituimos la x por cero y volvemos a llegar a la misma indeterminación:
Aplicamos L’Hôpital una vez más:
Y volemos a sustituir la x por cero, obteniendo que el resultado del límite es 2
Por lo que el ln A es igual a 2:
Y aplicando la definición de logaritmo, llegamos a que A es igual al número «e» elevado a dos:
El número «e» elevado a dos es igual a 7,38, por lo que este es el valor del límite:
Como ves, resolver límites con indeterminación cero elevado a cero, se trata de eliminar la primera indeterminación aplicando logaritmos y luego ir resolviendo las distintas indeterminaciones que van surgiendo, por lo que debes tener muy claro cómo se resuelven cada una de ellas. Los tienes todos explicados en el Curso de Límites.
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