Cómo resolver logaritmos. Explicado paso a paso y con ejemplos

¿Quieres aprender cómo resolver logaritmos? ¿Qué es un logaritmo? ¿Y un logaritmo neperiano? ¿Cómo se aplica su fórmula?

A continuación te voy a explicar no sólo cómo resolver logaritmos, sino que te explicaré qué es un logaritmo y un logaritmo neperiano. Lo iremos viendo paso a paso, con varios ejemplos para que vayas asimilando mejor el concepto.

Para entender los logaritmos, es muy importante que domines las potencias perfectamente, por lo que si no es así, te recomiendo que consultes el Curso de Potencias.

Si has llegado hasta aquí es porque quieres aprender cómo resolver logaritmos.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Qué es un logaritmo

El logaritmo de un número, es la forma de calcular el exponente al que tendría que estar elevada una base para obtener dicho número:

cómo resolver logaritmos

Es decir, es la forma de calcular el exponente “x”, de la base “a” para que nos dé el número “b”.

Conocidos la base “a” y el número “b”, al ponerlo en forma de logaritmo, podemos calcular el exponente “x”:

cómo resolver logaritmos paso a paso

Por tanto, por definición, la fórmula de los logaritmos es la siguiente:

cómo realizar logaritmos paso a paso

No es una fórmula muy intuitiva. A la izquierda tenemos la forma logarítmica y a la derecha la forma exponencial.

La base del logaritmo, a, debe ser siempre positiva y no puede ser igual a 1:

pasos para resolver un logaritmo

Además, sólo existen los logaritmos de números positivos, por lo que b debe ser siempre mayor que 0:

como se hacen los logaritmos paso a paso

La base del logaritmo es la base de la potencia (color rojo), el exponente de la potencia es el resultado del logaritmo (color verde) y el resultado de la potencia es el contenido del logaritmo (color azul).

Podemos pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial según convenga.

Por ejemplo, imagínate que te piden calcular:

como resolver ejercicios de logaritmos paso a paso

No hay ninguna tecla en la calculadora que resuelva los logaritmos en base 2. Por tanto, para calcularlo, debemos pasarlo a su forma exponencial:

resolver logaritmos paso a paso

Una vez que tenemos la forma exponencial:

logaritmos como se resuelven

Expresamos los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base. En este caso, expresamos ambos miembros como potencias de base 2 (para ello descomponemos el 16 en factores):

como realizar un logaritmo

Al tener la misma base, directamente obtenemos el valor de x:

pasos para resolver logaritmos

Como te he comentado antes, al no tener una tecla en la calculadora que resuelva el logaritmo en base 2.

La tecla “log” de tu calculadora, sirve para resolver logaritmos en base 10. De hecho, cuando no se escribe la base del logaritmo, quiere decir que el logaritmo tiene base 10.

Por ejemplo,  este logaritmo:

explicación de logaritmos paso a paso

Que sería equivalente a escribir:

calcular un logaritmo

Puedes resolverlo directamente con la calculadora, con la tecla “log”. Si lo haces verás que el resultado es 3.

Para comprobar que el procedimiento anterior también funciona, lo voy a resolver así también. Lo paso a su forma exponencial:

cómo resolver logaritmos con x

Y nos quedamos con esa forma:

como solucionar un logaritmo

Expresamos ambos miembros como potencia de la misma base y directamente obtenemos que el resultado es 3:

como se resuelve un logaritmo

Si además de saber cómo resolver logaritmos, quieres aprender a dominar los logaritmos y saber aplicar sus propiedades para resolver ecuaciones logarítmicas, te recomiendo el Curso de Logaritmos.

Ejemplos de cómo resolver logaritmos

Los logaritmos pueden tener diferentes bases y aunque el procedimiento de resolverlos es el mismo, podemos encontrarnos distintas particularidades.

A continuación vamos a resolver 5 ejemplos, para que sepas cómo resolver logaritmos y entiendas mejor cómo aplicar la fórmula de los logaritmos para llegar al resultado.

Ejemplo 1:

aprender logaritmos paso a paso

Este ejemplo es muy similar al que hemos visto antes.

Pasamos el logaritmo a la forma exponencial. Le hemos añadido una x en el segundo miembro, que es lo que queremos calcular y también para completar la fórmula:

cómo resolver los logaritmos

Expresamos ambos términos como potencias de la misma base:

como entender los logaritmos

Obtenemos el valor de x:

aprender logaritmos desde cero

Por lo que el resultado del logaritmo es:

como se halla el logaritmo

Ejemplo 2:

solucionar logaritmos

Este logaritmo, se diferencia del anterior, en que la base es mayor que el contenido del logaritmo. Pasamos el logaritmo a su forma exponencial:

ejemplos de logaritmos

Esta vez, para expresar ambos miembros como potencias de la misma base, el miembro que transformamos para que ambos miembros tenga la misma base es el primero. El 64 lo factorizamos y lo expresamos como potencia de base 2:

calcular logaritmo natural

Ahora operamos en el primer miembro, multiplicando los exponentes:

logaritmos naturales ejercicios

El segundo miembro no tiene exponente, por lo que es equivalente a que tenga un 1. Por tanto, igualamos los exponentes de ambos miembros ahora que tienen la misma base:

fórmula logaritmo neperiano

Y despejamos la x:

fórmula logaritmo

Que es el resultado del logaritmo:

diferencia entre logaritmo natural y logaritmo neperiano

Ejemplo 3:

qué es un logaritmo neperiano

En este caso, el contenido del logaritmo es una fracción.

Pasamos como siempre el logaritmo a su forma exponencial:

cómo se calcula el logaritmo de un número

Y ahora hay que convertir la fracción a una potencia con base 2. En primer lugar, el 4 del denominador, lo expresamos en forma de potencia:

fórmula del logaritmo

Y pasamos la potencia del denominador al numerador, que lo hace con exponente negativo:

como sacar un logaritmo

Al tenerlo así, ya podemos obtener el valor de x:

resultado de logaritmos

Y el resultado del logaritmo es:

logaritmos ejercicios resueltos paso a paso

Ejemplo 4:

ejercicios logaritmos naturales

En este caso, tenemos una fracción en la base del logaritmo.

Empezamos igual que siempre, pasando el logaritmo a su forma exponencial:

cómo hallar el logaritmo de un número

En este caso, tenemos en el primer miembro escribimos la fracción como potencia, pasando el denominador a numerador, con exponente negativo y en el segundo miembro lo factorizamos para expresarlo también en forma de potencia:

cálculo de logaritmo

Operamos en el primer miembro, multiplicando exponentes:

definición de logaritmo neperiano

Y al tener la misma base, ya podemos igualar los exponentes, de donde obtenemos el valor de x:

logaritmos en forma exponencial ejercicios

Que es el resultado del logaritmo:

pasar de logaritmo a potencia

Ejemplo 5:

escribir en forma logaritmica

En este último ejemplo, el contenido del logaritmo es un número decimal.

Como siempre, pasamos el logaritmo a su forma exponencial:

logaritmo ejemplos

Escribimos el número decimal en forma de fracción:

ejercicios logaritmos neperianos

Simplificamos la fracción:

convertir de forma exponencial a forma logarítmica

Y ahora vemos que la fracción resultante la podemos escribir en forma de potencia de base 2, tal y como hicimos en el ejemplo 3:

como se calcular el logaritmo

como se define un logaritmo

Por lo que x será:

logaritmos neperianos ejercicios

Que es igual al valor del logaritmo:

logaritmo de e

Con estos cinco ejemplos ya sabes cómo resolver logaritmos de distintas bases y expresados de distintas formas

Qué es un logaritmo neperiano

Una vez que tenemos claro qué es un logaritmo y cómo se resuelve, vamos a ver qué es un logaritmo neperiano.

Se llama logaritmo neperiano, escrito como ln, al logaritmo que tiene como base el número e (logaritmo en base e), que aplicando la fórmula de los logaritmos sería:

cómo calcular el logaritmo natural sin calculadora

Logaritmo en base e no se escribe nunca (sólo lo he puesto para que entiendas mejor la fórmula). Directamente, el logaritmo en base 3, se escribe como logaritmo neperiano, ln:

ejemplos de logaritmos decimales

Por tanto, la fórmula con ln quedaría:

cómo resolver logaritmos neperianos

Con los logaritmos neperianos no tenemos el problema de tener distintas bases, ya que siempre son de base e, por lo que podemos resolverlos directamente con la calculadora, gracias a la tecla “ln”.

Sin embargo, si el contenido del logaritmo neperiano está expresado con el número e, podemos resolverlos de forma manual siguiendo el procedimiento habitual.

Por ejemplo:

como resolver log

Pasamos el ln a su forma exponencial. En su forma exponencial, el ln siempre tiene el número e elevado a x en el primer miembro. El segundo miembro es el contenido del ln:

logaritmo explicación

De donde obtenemos que:

convertir de forma logarítmica a exponencial

Vamos a ver otro ejemplo:

logaritmo de una potencia con igual base

En este caso, el número e está en el denominador de una fracción. Al pasar el ln a su forma exponecial nos queda:

logaritmos e

Pasamos el número e al numerador con exponente negativo:

para que sirve un logaritmo

Y el valor de x será:

qué es logaritmo

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