Radicación de números complejos. Fórmula y ejercicios resueltos paso a paso

A continuación te voy a enseñar cómo resolver radicales de números complejos, con ejercicios y ejemplos resueltos paso a paso. Para realizar la radicación de números complejos, es necesario que el número complejo esté en forma polar.

¡Empezamos!

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Fórmula para resolver radicales de números complejos

Para resolver la raíz de un número complejo, utilizaremos la siguiente fórmula:

Donde:

  • El número complejo debe estar en forma polar
  • n es el índice de la raíz
  • Y k toma los valores desde 0 hasta n-1 (una unidad menos que el índice)

Vamos a aplicarla con un ejemplo.

Ejemplos de resolver raíces de números complejos

Tenemos la siguiente ecuación:

Despejamos z y nos queda:

Que es la raíz de un número complejo.

Para poder aplicar la fórmula, debemos pasar el número complejo a forma polar, que es:

Ya que está en la dirección negativa del eje horizontal y no tiene parte imaginaria.

Por tanto:

Y al tenerlo en forma polar, ya podemos aplicar la fórmula:

Y k, toma los siguientes valores:

Desde 0 hasta 3 (que es una unidad menos que el índice de la raíz que es 4)

Ahora operamos en el módulo y sustituimos cada valor de k en el argumento. Para K=0:

Para k=1:

Para k=2

Para k=3

Y ya hemos obtenido las 4 soluciones de la raíz, en forma polar.

Si seguimos dando valores a k, es decir, para k=4, nos encontramos con que el resultado será igual a cuando k=0:

Por esta razón a k se le dan valores desde 0 hasta una unidad menos que el índice del radical. Dos números complejos son iguales cuando tienen el mismo módulo y los argumentos son iguales o se diferencian en 360º.

Vamos a ver otro ejemplo:

En primer lugar pasamos el contenido de la raíz a forma polar:

Y aplicamos la fórmula:

Como el índice es 5, tenemos que sustituir k desde k=0 hasta k=4 y con eso obtendremos las 5 soluciones que tiene el radical.

Para k=0:

Para k=1:

Para k=2:

Para k=3:

Para k=4:

Ejercicios resueltos de radicación de números complejos

Resuelve los siguientes radicales de números complejos:

Aparado a:

Pasamos el número complejo del interior de la raíz a su forma polar:

Y aplicamos la fórmula de radicación de números complejos:

Ahora le damos valores a la k desde 0 hasta 2 y obtenemos las tres soluciones del radical:

Aparado b:

Pasamos el número complejo que está en forma binómica a forma polar.

Su módulo es:

Y su argumento:

Nos queda:

Aplicamos la fórmula:

Y resolvemos las cuatro soluciones para cada uno de los valores de k:

Aparado c:

Empezamos pasando a forma polar los números complejos del numerador y del denominador y después realizamos su división:

Aplicamos la fórmula de radicación de números complejos:

Y resolvemos para los tres valores de k:

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