A continuación te voy a explicar cómo resolver un sistema de ecuaciones con la regla de Cramer, con un ejercicio resuelto paso a paso.
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Cuándo se utiliza la regla de Cramer
La regla de Cramer se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y por tanto, el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. A estos sistemas se le llaman sistemas de Cramer.
Los sistemas de Cramer, son sistemas compatibles determinados, ya que al ser distinto de cero el determinante de la matriz de los coeficientes, su rango coincide con el rango de la matriz ampliada, que será igual al número de incógnitas.
En este tipo de sistemas de ecuaciones podemos aplicar al regla de Cramer, que dice así:
En qué consiste la Regla de Cramer
Tenemos un sistema de Cramer, como por ejemplo el siguiente:
Para hallar la solución de cada una de las incógnitas, debemos dividir el determinante asociado a cada incógnita (que veremos más adelante cómo se calcula) entre el determinante de la matriz de los coeficientes.
De esta forma, la incógnita «x» es igual al determinante asociado a «x» entre el determinante de la matriz de los coeficientes:
La incógnita «y» es igual al determinante asociado a «y» entre el determinante de la matriz de los coeficientes:
Y la incógnita «z» es igual al determinante asociado a «z» entre el determinante de la matriz de los coeficientes:
Donde como sabemos, el determinante de la matriz de los coeficientes es:
Para obtener el determinante asociado a «x», en la matriz de los coeficientes, sustituimos la primera columna, que es la que corresponde a la incógnita «x», por la columna que forman los términos independientes:
Para obtener el determinante asociado a «y» procedemos de forma similar: en la matriz de los coeficientes, sustituimos la segunda columna, que es la que corresponde a la incógnita «y», por la columna que forman los términos independientes:
Y para obtener el determinante asociado a «z», en la matriz de los coeficientes, sustituimos la tercera columna, que es la que corresponde a la incógnita «z», por la columna que forman los términos independientes:
Hemos visto cómo se resuelve, en general, un sistema 3×3 con la regla de Cramer. Para sistemas 2×2, 4×4 o mayores, se procedería de la misma forma.
Ejercicio resuelto de la regla de Cramer en un sistema 3×3 paso a paso
Vamos a ver ahora un ejercicio resuelto paso a paso de cómo resolver un sistema de tres ecuciones con tres incógnitas aplicando la regla de Cramer.
Tenemos el siguiente sistema:
En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes:
Aplicamos la regla de Sarrus y queda:
Y operamos:
El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero:
Por tanto, estamos ante un sistema compatible determinado, un sistema de Cramer, por lo que podemos aplicar la regla de Cramer.
En primer lugar vamos a obtener el determinante asociado a «x». Para ello, la primera columna la sustituimos por la columna de los términos independientes, formada por los elementos 13, 12 y 9:
Aplicamos la regla de Sarrus:
Y operamos:
La incógnita «x» será igual al determinante asociado a «x» entre el determinante de la matriz de los coeficientes:
Seguimos obteniendo el determinante asociado a «y». Sustituimos la segunda columna por la columna de los términos independientes:
Aplicamos la regla de Sarrus:
Y operamos:
La incógnita «y» será igual al determinante asociado a «y» entre el determinante de la matriz de los coeficientes:
Y finalmente, obtenemos el determinante asociado a «z», sustituyendo la tercera columna por la columna de los términos independientes:
Una vez más, aplicamos la regla de Sarrus:
Y operamos:
La incógnita «z» será igual al determinante asociado a «z» entre el determinante de la matriz de los coeficientes:
La solución del sistema de ecuaciones es por tanto x=4, y=1 y z=2.
Ejercicios propuestos
Resuelve el siguiente sistema aplicando la regla de Cramer:
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