Condiciones de pertenencia entre puntos, rectas y planos en sistema diédrico

Te voy a explicar las condiciones de pertenencia entre puntos, rectas y planos en el sistema diédrico, es decir, cómo saber una recta pertenece a un plano o si un punto pertenece a un plano. Veremos también las rectas notables del plano. Todo explicado paso a paso con todo detalle.

¡Empezamos!

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Cómo saber si una recta pertenece a un plano en diédrico

Vamos a ver ahora cómo saber si una recta pertenece a un plano, es decir, que la recta esté contenida dentro del plano.

Una recta pertenece a un plano cuando las trazas de la recta están contenidas en las trazas del plano.

Para entenderlo mejor, observa este esquema en tres dimensiones:

El plano α corta a los planos de proyección en sus trazas α1 y α2. La recta r, que está contenida en el plano α, también corta a los planos de proyección en sus trazas V y H, que si te das cuenta, el único lugar posible donde pueden estar situadas V y H es dentro de las trazas α1 y α2. Por eso, cuando las trazas de la recta están contenidas dentro de las trazas del plano, quiere decir que la recta pertenece al plano.

Vamos a ver cómo sería en diédrico. Por ejemplo, tenemos el siguiente plano:

La recta r pertenece al plano α ya que las trazas de la recta están contenidas en las trazas del plano: la proyección vertical de la traza vertical de la recta (V») está contenida en la proyección vertical del plano (α2) y la proyección horizontal de la traza horizontal de la recta (H’) está contenida en la proyección horizontal del plano (α1):

En caso de que alguna de las dos trazas de la recta no esté contenida en alguna de las trazas del plano, la recta ya no pertenece al plano.

Por ejemplo, en este caso, la recta no pertenece al plano ya que su traza horizontal H’ está fuera de la proyección de la traza horizontal del plano:

Rectas notables del plano

Las rectas notables del plano son rectas que pertenecen al plano y nos proporcionan alguna información adicional sobre él, que otra recta normal no proporciona. Son muy importantes ya que se utilizan como herramienta para resolver ejercicios en el sistema diédrico.

Recta horizontal del plano

La recta horizontal del plano es una recta que pertenece al plano α y es paralela al plano de proyección horizontal:

Vamos a ver cómo representar la recta horizontal del plano α en el sistema diédrico.

Partimos de las trazas del plano α:

La proyección vertical de la recta horizontal, r», es paralela a la línea de tierra y el punto de corte de esta proyección de la recta con la traza vertical del plano α2, corresponde con la proyección vertical de la traza vertical de la recta V»:

Para hallar la proyección horizontal de la traza vertical, V’, trazamos una línea vertical hasta cortar a la línea de tierra:

Finalmente, la proyección horizontal de la recta, r’, es paralela a la traza horizontal del plano α1 y pasa por la proyección horizontal de la traza vertical de la recta V’:

Vemos que la recta horizontal del plano α, solo tiene traza vertical, que está contenida en la traza vertical del plano α2, que su proyección vertical r» es paralela a la línea de tierra y que su proyección horizontal es paralela a la traza horizontal del plano α1. Esta recta nos indica por tanto la dirección de la traza horizontal del plano en caso de que no tengamos esa información.

Además, es una recta muy utilizada si queremos dibujar una recta que pertenezca a un plano dado, ya que al saber la dirección de cada una de sus proyecciones y sólo tener una traza es más sencillo de representar que una recta con sus dos trazas.

Recta frontal del plano

La recta frontal del plano es una recta que pertenece al plano α y es paralela al plano de proyección vertical:

Partiendo de las trazas del plano α, vamos a ver cómo representar la recta frontal del plano α en el sistema diédrico:

La proyección horizontal de la recta frontal, r’, es paralela a la línea de tierra y el punto de corte de esta proyección de la recta con la traza horizontal del plano α1, corresponde con la proyección horizontal de la traza horizontal de la recta H’:

 

Obtenemos la proyección vertical de la traza horizontal, H», trazando una línea vertical hasta cortar a la línea de tierra:

Por último, la proyección vertical de la recta, r», es paralela a la traza vertical del plano α2, pasando por H»:

La recta frontal del plano α, únicamente tiene traza horizontal, que está contenida en la traza horizontal del plano α1. Su proyección horizontal r’ es paralela a la línea de tierra y que su proyección vertical es paralela a la traza vertical del plano α2. Esta recta nos indica por tanto la dirección de la traza vertical del plano en caso de que no tengamos esa información.

En caso de necesitar dibujar una recta que pertenezca a un plano dado, esta recta es también muy utilizada, al conocer la dirección de cada una de sus proyecciones y sólo tener una traza.

Recta de máxima pendiente del plano (r.m.p.)

La recta de máxima pendiente de un plano α es una recta contenida en dicho plano y que además es perpendicular a la traza horizontal del plano, que es α1. La recta de máxima pendiente forma el máximo ángulo posible con el plano de proyección horizontal:

Vamos a ver cómo representar la recta de máxima pendiente de un plano en el sistema diédrico. Tenemos las trazas del plano α:

Dibujamos la proyección horizontal de la recta, r’, que es perpendicular a la traza horizontal del plano, α1. El punto de corte de r’ con α1 será H’ o la proyección horizontal de la traza horizontal y el punto de corte de r’ con la línea de tierra será V’, es decir, la proyección horizontal de la traza vertical de la recta:

Obtenemos las proyecciones verticales de las trazas H» y V», trazando una línea vertical desde H’ y V’. El punto de corte de una línea vertical y la línea de tierra será H» y el punto de corte de la otra línea vertical y la traza vertical del plano, α2, será V»:

Uniendo H» y V» tendremos la traza vertical de la recta de máxima inclinación, r»:

Recta de máxima inclinación del plano (r.m.i.)

La recta de máxima inclinación de un plano α es una recta contenida en dicho plano y que además es perpendicular a la traza vertical del plano, que es α2. La recta de máxima inclinación forma el máximo ángulo posible con el plano de proyección vertical:

Vamos a representar la recta de máxima inclinación de un plano en el sistema diédrico, partiendo de las trazas del plano α:

Trazamos la proyección vertical de la recta, r», que es perpendicular a la traza vertical del plano, α2. El punto de corte de r» con α2 será V» (proyección vertical de la traza vertical de la recta) y el punto de corte de r» con la línea de tierra será H», es decir, la proyección vertical de la traza horizontal :

Las proyecciones horizontales de las trazas, H’ y V’, las obtenemos trazando una línea vertical desde H» y V». El punto de corte con una línea vertical y la línea de tierra será V’ y el punto de corte de la otra línea vertical y la traza horizontal del plano, α1, será H’:

La traza horizontal de la recta de máxima inclinación, r’, la obtenemos uniendo H’ y V’:

 

Cómo saber si un punto pertenece a un plano en diédrico

Un punto está contenido en un plano cuando está contenido en una recta, que a su vez, esté contenida en ese mismo plano.

Dicho de otra forma, un punto pertenece a un plano cuando pertenece a una recta, que pertenece al plano.

Por tanto, la recta nos sirve de intermediaria entre el punto y el plano.

Vamos a verlo en un esquema en tres dimensiones para que quede más claro, donde el punto M pertenece al plano α, ya que M pertenece a la recta r que a su vez, también pertenece al plano α:

Vamos a ver la pertenencia del punto al plano en el sistema diédrico, donde vemos que el punto M pertenece a la recta r, ya que sus proyecciones están contenidas en la recta y la recta r pertenece al plano, ya que sus trazas están contenidas en las trazas del plano α. Así que el punto M pertenece al plano α:

Por otro lado, el punto N no pertenece al plano α, ya que no pertenece a la recta al tener su proyección horizontal fuera de la recta:

Cómo comprobar que un punto pertenece a un plano en diédrico

Vamos a ver ahora cómo comprobar que un punto pertenece a un plano en el sistema diédrico.

Tenemos el plano α y el punto A representados en diédrico:

 

Para comprobar que un punto pertenece a un plano, debemos dibujar una recta que pertenezca al plano y que pase por el punto. Las rectas que sabemos que pertenecen al plano son las rectas notables, como la recta horizontal del plano y la recta frontal del plano.

Así que, en este caso, voy a dibujar la recta horizontal del plano α, que pase por el punto A.

Empiezo dibujando r», paralela a la línea de tierra que pase por A». El punto de corte de r» con α2 será V»:

Desde V», trazo una línea vertical hasta que corte con la línea de tierra, para obtener V’:

Y desde V’, trazo una paralela a α1 para obtener r’:

Como r’ pasa por A’, las dos proyecciones de A quedan contenidas en la recta y por tanto, A pertenece a la recta y como consecuencia, también pertenece al plano. Recuerda que hemos utilizado la recta horizontal del plano, que es una recta que pertenece al plano.

También podríamos haber utilizado una recta frontal del plano α, cuyo resultado es el siguiente:

y vemos que las proyecciones de la recta también quedan dentro de la recta y por tanto también queda demostrado que A pertenece a α, como no podía ser de otra forma.

Vamos a comprobar ahora si el punto B pertenece al plano α:

Trazamos una recta horizontal del plano, cuya proyección vertical, r», pase por B» y comprobamos si r’ pasa por B’:

En este caso, r’ no pasa por B’ y por tanto, el punto B no pertenece al plano, ya que no pertenece a la recta.

Por último, vamos a comprobar si el punto C pertenece al plano α:

Trazamos la recta horizontal del plano:

El punto C no pertenece al plano porque no tiene sus trazas contenidas en la recta.

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