A continuación te voy a explicar la qué es la covarianza. Veremos su fórmula y aprenderemos a interpretarla.
¡Empezamos!
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Fórmula de la covarianza
La covarianza es un parámetro que relaciona dos variables, cuya fórmula es la siguiente:
Donde:
- Xi es la coordenada x de un punto
- Yi es la coordenada «y» de un punto
- fij es el número de individuos con los mismos valores de x e «y»
- N es el número de individuos total
Si operamos en la fórmula, la podemos ver también con esta expresión:
La cual es más sencilla de calcular.
Interpretación de la covarianza
Vamos a ver cómo se interpreta el resultado de la covarianza en función de la relación entre los datos:
Puntos con una relación directa
Supongamos que tenemos una serie de datos muestrales, como son las estaturas de una serie de personas y su talla de calzado y los representamos en unos ejes de coordenadas, donde en el eje x tenemos las estaturas y en el eje»y» tenemos las tallas de calzado, dando lugar a la siguiente nube de puntos:
Podemos comprobar que los puntos siguen una cierta tendencia ascendente, y por tanto, existe una relación directa entre los valores de x (estaturas) y los valores de «y» (talla de calzado), ya que las personas más altas son las que tienen una mayor talla de calzado y viceversa. Es decir, a mayor altura mayor talla de calzado y a menor talla, menor talla de calzado.
Si se calcula la media de x (estaturas) y por la media de «y» (talla de calzado) y se indican en los ejes, se puede representar un punto uniendo ambas medias (representado como un punto rojo), que tendrá de coordenadas la media de x y la media de «y» y está ubicado en el centro de la nube de puntos:
Si elegimos un punto cualquiera en la nube de puntos que se encuentre a la derecha del punto rojo, este punto tiene una estatura mayor que la media y una talla de calzado mayor que la media, ya que además de estar a su derecha, también está por encima del punto rojo:
Si volvemos a la fórmula:
Vemos que las coordenadas de cada punto menos la media son positivas, ya que las coordenadas Xi e Yi son mayores que sus respectivas medias:
Y por tanto, la covarianza también será positiva, ya que al multiplicar dos factores positivos, el resultado es positivo, según la ley de signos:
Si elegimos un punto cualquiera en la nube de puntos que se encuentre a la izquierda del punto rojo, este punto tiene una estatura menor que la media y una talla de calzado menor que la media, ya que está a su izquierda y por debajo del punto rojo:
Ahora, las coordenadas de cada punto menos la media son negativas, ya que las coordenadas Xi e Yi son menores que sus respectivas medias:
Y la covarianza me vuelve a dar positivo, ya que al multiplicar dos valores negativos, el resultado es positivo, según la ley de signos:
Por tanto, podemos concluir que cuando hay una relación directa entre las dos variables, la covarianza tiene un resultado positivo. Por tanto, si calculo la coviaranza y obtengo un valor positivo, ya sé que hay una relación directa entre las variables.
Puntos con una relación inversa
Ahora tenemos una nube de puntos donde los puntos tienen una relación inversa, es decir, que conforme va aumentando los valores de x, vayan disminuyendo los valores de «y». Tienen una tendencia negativa:
Los puntos que quedan a la derecha del punto rojo, que tiene como coordenadas la media de la x y la media de la «y», tienen una coordenada x mayor que la media de las «x» y una coordenada «y» menor que la media de las «y»:
Por tanto, la coordenada x de cada punto menos la media de x tendrá un resultado positivo, ya que están a la derecha de la media y la coordenada «y» de cada punto menos la media de «y» tendrá un resultado negativo, ya que están por debajo de la media:
Por lo que la covarianza será negativa, ya que al multiplicar un factor positivo por uno negativo, el resultado es negativo, según la ley de signos:
Los puntos que quedan a la izquierda del punto rojo, tienen una coordenada x menor que la media de las «x» y una coordenada «y» mayor que la media de las «y»:
La coordenada x de cada punto menos la media de x tendrá un resultado negativo y la coordenada «y» de cada punto menos la media de «y» tendrá un resultado positivo:
Y la covarianza también será negativa, ya que al multiplicar un factor positivo por uno negativo, el resultado es negativo, según la ley de signos:
Así que, podemos concluir que cuando hay una relación inversa entre las dos variables, la covarianza tiene un resultado negativo. Por tanto, si calculo la coviaranza y obtengo un valor negativo, ya sé que hay una relación inversa entre las variables.
No hay ninguna relación
Por último, vamos a ver el caso que no hay ninguna relación entre las variables, es decir, no hay ninguna tendencia:
En este caso, la covarianza tendá un valor en torno a cero:
Cómo calcular la covarianza
(Próximamente)
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