A continuación te voy a explicar la definición de derivada de una función en un punto. Es un concepto algo abstracto, pero es necesario que lo sepas.
Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver y necesitas clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
La definición de derivada tiene más sentido en Física. En Matemáticas nos vamos a centrar principalmente en el cálculo de derivadas, pero es necesario conocer la definición para ser conscientes de lo que estamos calculando.
Para entender la definición de derivada, debes entender dos conceptos previos que te voy a explicar a continuación: la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea.
¡Vamos allá!
Tasa de variación media
Hay casos en los que nos interesa conocer como varía una variable con respecto a la variación de la otra variable.
Por ejemplo, en Física, para la función de la velocidad, que relaciona el espacio recorrido con el tiempo, es interesante conocer cuál ha sido el espacio recorrido en un periodo de tiempo determinado.
Si el tiempo es la variable x y el espacio recorrido es la variable «y», en ese caso, estamos analizando cómo varían los valores de «y» en función de los valores de x.
Como ya sabemos, el valor de una función en un punto es el resultado de sustituir la x por un valor en la función. Normalmente, para cada valor de x, la función tiene un valor distinto. Por tanto, el valor de «y» va variando con respecto del valor de x
En general, podemos calcular la variación del valor de una función en un cierto intervalo de x, dividiendo el incremento de la variable «y» entre el incremento de la variable x, sabiendo que el incremento de un valor es la resta del valor final menos el valor inicial, es decir, dividiendo la resta del valor de la función final menos el valor de la función inicial, entre la resta del valor de x final menos el valor de x inicial:
A esto es a lo que llamamos tasa de variación media.
La tasa de variación media es el valor medio que toma la «y», con respecto a las variaciones de x, en un intervalo cerrado.
Si lo representamos, vemos que para el valor x=a, la función toma el valor f(x) y para el valor x=b, la función toma el valor f(b).
La variación o el incremento de los valores de x lo calculamos como b-a y corresponde al segmento horizontal de color verde.
El incremento de los valores de «y», corresponde al segmento vertical de color verde, calculado como f(b)-f(a).
Vamos a verlo con ejemplo que seguro que te queda mucho más claro: Calcular al tasa de variación media de la siguiente función, en el intervalo cerrado [0,3]:
En primer lugar calculamos el valor de la función para x=0:
Calculamos el valor de la función para x=3
Y ahora aplicamos la fórmula de la tasa de variación media:
Cuyo resultado es igual a 4.
¿Qué significa este 4? Que podemos tomar como valor medio, que en esta función, cada vez que se incrementa el valor de x en una unidad, el valor de «y» se incrementa en 4 unidades.
Ten en cuenta que es un valor medio y aproximado. La tasa de variación media sólo sirve para hacernos una idea de lo que varían los valores de «y» con respecto de los de x, pero no nos sirve para calcular el valor de la función para x=2, por ejemplo.
Tasa de variación instantánea
Vamos a considerar ahora que el valor de x se incrementa en «h» unidades, es decir, el valor inicial es x=a y el valor final es x=a+h. (consideramos el incremento de «h» unidades para controlar cuánto varía x):
La tasa de variación media en este caso sería:
Que como ves, ahora la tasa de variación media depende de h.
Cuando calculamos la tasa de variación media, como te he comentado antes, estamos calculando valores medios aproximados para un cierto intervalo de valores de x, pero lo más normal, es que dentro de ese intervalo, no todos los puntos tengan la misma tasa de variación. De hecho, la tasa de variación no varía solamente en funciones lineales.
Si consideramos h como un valor muy pequeño, tan pequeño que sea muy próximo a cero, estaríamos afinando cada vez más en calcular cuál es la tasa de variación exacta en un punto determinado, ya que en ese caso, el valor final de x sería prácticamente el mismo que el valor inicial y estaríamos en un rango muy pequeño de valores de x.
Si a ese valor de h lo llevamos al extremo, es decir, que tienda a cero, obtendríamos el valor de la tasa de variación de un punto en concreto. Este concepto es lo que se llama la tasa de variación instantánea y se calcula como el límite cuando h tiende a cero de f(a+h)-f(a) dividido entre h:
Por ejemplo, calcular la tasa de variación instantánea del punto x=2 en la siguiente función:
Aplicamos la fórmula de tasa de variación instantánea:
Operamos en el numerador:
Sacamos factor común a la h, por lo que se anula en el numerador y en el denominador y obtenemos el resultado del límite:
Como ves, aunque la tasa de variación media calculada para esta misma función era de 4 en el intervalo [0,3], donde se encuentra el 2, la tasa de variación instantánea para x=2 es igual a 5.
Un ejemplo de esta diferencia entre la tasa de valor medio y la tasa de valor instantáneo lo tenemos con la velocidad. Por ejemplo, para ir de un punto A a un punto B, un coche puede tardar 2 horas a una velocidad media de 100 km/h. Eso no quiere decir que su velocidad sea de 100 km/h durante las 2 horas. En su trayecto, puede encontrarse tramos donde habrá más tráfico y su velocidad sea de 80 km/h y otros donde pueda ir más rápido y su velocidad sea de 120 km/h.
Definición de derivada de una función en un punto
La derivada de una función en un punto corresponde al valor de la tasa de variación instantánea en ese punto y por tanto se calcula como:
La derivada de una función en un punto, puede escribirse de todas estas formas, todas igual de válidas:
Vamos a ver un ejemplo de cálculo de la derivada de una función en un punto: Calcular la derivada de la siguiente función en el punto x=2:
Este ejemplo es muy similar al anterior, ya que calcular la derivada de una función en un punto es equivalente a calcular la tasa de variación instantánea.
Aplicamos la fórmula de la derivada de una función en un punto:
Operamos para restar las fracciones del numerador y dividir el resultado entre h:
Eliminamos la h del numerador y del denominador y resolvemos el límite:
Ejercicios propuestos
1- Calcula la tasa de variación media de el intervalo [1,5] y la tasa de variación instantánea del punto x=3 de la siguiente función:
2- Calcula la tasa de variación media de el intervalo [3,5] y la tasa de variación instantánea del punto x=4 de la siguiente función:
3- Calcula la la derivada de la siguiente función en el punto x=4:
4- Calcula la la derivada de la siguiente función en el punto x=1:
Si quieres aprender a derivar paso a paso te recomiendo el Curso de Derivadas, en le que te explico paso a paso para que aprendas a derivar cualquier función. Con ejercicios resueltos paso a paso y ejercicios propuestos para practicar.
¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Quieres que te explique paso a paso cualquier duda que te surja?
Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.
He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.
Con mi método:
- Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
- Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión
Suena bien ¿no?
¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?
Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más: