Definición de derivada de una función en un punto. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar la definición de derivada de una función en un punto. Es un concepto algo abstracto, pero es necesario que lo sepas.

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La definición de derivada tiene más sentido en Física. En Matemáticas nos vamos a centrar principalmente en el cálculo de derivadas, pero es necesario conocer la definición para ser conscientes de lo que estamos calculando.

Para entender la definición de derivada, debes entender dos conceptos previos que te voy a explicar a continuación: la tasa de variación media y la tasa de variación instantánea.

¡Vamos allá!

Tasa de variación media

Hay casos en los que nos interesa conocer como varía una variable con respecto a la variación de la otra variable.

Por ejemplo, en Física, para la función de la velocidad, que relaciona el espacio recorrido con el tiempo, es interesante conocer cuál ha sido el espacio recorrido en un periodo de tiempo determinado.

Si el tiempo es la variable x y el espacio recorrido es la variable “y”, en ese caso, estamos analizando cómo  varían los valores de “y” en función de los valores de x.

Como ya sabemos, el valor de una función en un punto es el resultado de sustituir la x por un valor en la función. Normalmente, para cada valor de x, la función tiene un valor distinto. Por tanto, el valor de “y” va variando con respecto del valor de x

En general, podemos calcular la variación del valor de una función en un cierto intervalo de x, dividiendo el incremento de la variable “y” entre el incremento de la variable x, sabiendo que el incremento de un valor es la resta del valor final menos el valor inicial, es decir, dividiendo la resta del valor de la función final menos el valor de la función inicial, entre la resta del valor de x final menos el valor de x inicial:

derivada de una funcion en un punto

A esto es a lo que llamamos tasa de variación media.

La tasa de variación media es el valor medio que toma la “y”, con respecto a las variaciones de x, en un intervalo cerrado.

Si lo representamos, vemos que para el valor x=a, la función toma el valor f(x) y para el valor x=b, la función toma el valor f(b).

derivada de una funcion en un punto ejercicios resueltos

La variación o el incremento de los valores de x lo calculamos como b-a y corresponde al segmento horizontal de color verde.

El incremento de los valores de “y”, corresponde al segmento vertical de color verde, calculado como f(b)-f(a).

Vamos a verlo con ejemplo que seguro que te queda mucho más claro: Calcular al tasa de variación media de la siguiente función, en el intervalo cerrado [0,3]:

derivada en un punto

derivada de una funcion

En primer lugar calculamos el valor de la función para x=0:

derivada de una función en un punto

Calculamos el valor de la función para x=3

definicion de derivada de una funcion

Y ahora aplicamos la fórmula de la tasa de variación media:

determina la derivada de las funciones utilizando la definicion por limites -5x+2

derivadas de una funcion en un punto

Cuyo resultado es igual a 4.

¿Qué significa este 4? Que podemos tomar como valor medio, que en esta función, cada vez que se incrementa el valor de x en una unidad, el valor de “y” se incrementa en 4 unidades.

Ten en cuenta que es un valor medio y aproximado. La tasa de variación media sólo sirve para hacernos una idea de lo que varían los valores de “y” con respecto de los de x, pero no nos sirve para calcular el valor de la función para x=2, por ejemplo.

Tasa de variación instantánea

Vamos a considerar ahora que el valor de x se incrementa en “h” unidades, es decir, el valor inicial es x=a y el valor final es x=a+h. (consideramos el incremento de “h” unidades para controlar cuánto varía x):

definicion de derivada en un punto

La tasa de variación media en este caso sería:

a partir de la definicion de derivada en un punto

Que como ves, ahora la tasa de variación media depende de h.

Cuando calculamos la tasa de variación media, como te he comentado antes, estamos calculando valores medios aproximados para un cierto intervalo de valores de x, pero lo más normal, es que dentro de ese intervalo, no todos los puntos tengan la misma tasa de variación. De hecho, la tasa de variación no varía solamente en funciones lineales.

Si consideramos h como un valor muy pequeño, tan pequeño que sea muy próximo a cero, estaríamos afinando cada vez más en calcular cuál es la tasa de variación exacta en un punto determinado, ya que en ese caso, el valor final de x sería prácticamente el mismo que el valor inicial y estaríamos en un rango muy pequeño de valores de x.

Si a ese valor de h lo llevamos al extremo, es decir, que tienda a cero, obtendríamos el valor de la tasa de variación de un punto en concreto. Este concepto es lo que se llama la tasa de variación instantánea y se calcula como el límite cuando h tiende a cero de f(a+h)-f(a) dividido entre h:

derivada en un punto ejercicios

Por ejemplo, calcular la tasa de variación instantánea del punto x=2 en la siguiente función:

definicion de derivada de una funcion en un punto

Aplicamos la fórmula de tasa de variación instantánea:

derivada de una funcion en un punto ejercicios

Operamos en el numerador:

que es la derivada de una funcion en un punto

Sacamos factor común a la h, por lo que se anula en el numerador y en el denominador y obtenemos el resultado del límite:

a partir de la definicion de derivada en un punto halla la derivada de las siguientes funciones x=1

Como ves, aunque la tasa de variación media calculada para esta misma función era de 4 en el intervalo [0,3], donde se encuentra el 2, la tasa de variación instantánea para x=2 es igual a 5.

Un ejemplo de esta diferencia entre la tasa de valor medio y la tasa de valor instantáneo lo tenemos con la velocidad. Por ejemplo, para ir de un punto A a un punto B, un coche puede tardar 2 horas a una velocidad media de 100 km/h. Eso no quiere decir que su velocidad sea de 100 km/h durante las 2 horas. En su trayecto, puede encontrarse tramos donde habrá más tráfico y su velocidad sea de 80 km/h y otros donde pueda ir más rápido y su velocidad sea de 120 km/h.

Definición de derivada de una función en un punto

La derivada de una función en un punto corresponde al valor de la tasa de variación instantánea en ese punto y por tanto se calcula como:

ejercicios de derivadas por definicion

La derivada de una función en un punto, puede escribirse de todas estas formas, todas igual de válidas:

derivada de una funcion definicion

Vamos a ver un ejemplo de cálculo de la derivada de una función en un punto: Calcular la derivada de la siguiente función en el punto x=2:derivada de una funcion en un punto definicion

Este ejemplo es muy similar al anterior, ya que calcular la derivada de una función en un punto es equivalente a calcular la tasa de variación instantánea.

Aplicamos la fórmula de la derivada de una función en un punto:

definicion de la derivada de una funcion

Operamos para restar las fracciones del numerador y dividir el resultado entre h:

derivada de la funcion en un punto

derivadas en un punto

Eliminamos la h del numerador y del denominador y resolvemos el límite:

definición de derivada en un punto

Ejercicios propuestos

1- Calcula la tasa de variación media de el intervalo [1,5] y la tasa de variación instantánea del punto x=3 de la siguiente función:

definicion de derivada

2- Calcula la tasa de variación media de el intervalo [3,5] y la tasa de variación instantánea del punto x=4 de la siguiente función:

a partir de la definicion de derivada en un punto halla la derivada de las siguientes funciones

3- Calcula la la derivada de la siguiente función en el punto x=4:

definicion derivada en un punto

4- Calcula la la derivada de la siguiente función en el punto x=1:

derivada en un punto (x y)

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