Derivabilidad de una función. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación te voy a explicar la derivabilidad de una función. Veremos cómo saber si una función es derivable con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Empezamos!

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Cómo saber si una función es derivable en un punto

Para que una función sea derivable en un punto, antes debe ser contínua en ese punto. Si no te acuerdas qué condiciones se deben cumplir para que una función sea continua puedes repasar esta lección.

Por tanto, si nos dicen que una función es derivable, automáticamente ya nos están diciendo que es continua. Sin embargo, si nos dicen que una función es continua, debemos comprobar si es derivable.

Para que una función sea derivable en un punto X0, el límite de cuando la función derivada tiende a ese punto existe y además el valor de la función derivada en ese punto es igual al valor del límite:

Dicho de otra forma, comprobar si una función es derivable no es más que comprobar si la derivada de la función es continua.

En funciones definidas a trozos, para comprobar si son derivables en los puntos críticos o putos de corte, debemos calcular los límites laterales y éstos deben tener el mismo valor que la función en ese punto:

Derivabilidad de una función a trozos con parámetros

Es muy común que nos pidan calcular el valor de 2 parámetros para que una función a trozos sea derivable. Vamos a ver cómo resolver estos tipos de ejercicios.

Por ejemplo, calcula m y n para que la siguiente función sea derivable:

Hemos dicho, que para que una función sea derivable, antes debe ser contínua, por tanto, lo primero que comprobar que la función es contínua.

Ambos trozos son contínuos ya que son polinomios. Solamente queda comprobar si la función es contínua es x=1, que es el punto de ruptura.

Para ello, debemos calcular el valor de los límites laterales. Primero calculamos el límite de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda:

La función está definida para los valores menores o iguales que -1 en el primer tramo, luego elegimos ese tramo para calcular el límite:

Sustituimos la x por 1 y obtenemos la solución del límite:

Ahora calculamos el límite de la función cuando x tiende a 1 derecha:

La función está definida para los valores mayores que 1 en el segundo tramo, luego elegimos ese tramo para calcular el límite:

Calculamos el límite sustituyendo la x por 1:

Para que la función sea contínua, el valor de ambos límites debe ser el mismo, por lo que igualamos las dos expresiones obtenidas:

Nos queda una ecuación con dos incógnitas. Necesitamos otra ecuación para poder despejar el valor de ambas, que la obtendremos de comprobar si la función es derivable.

Además, para que la función sea contínua, la función en x=1 debe tener el mismo valor que los límites laterales, pero como la solución es la misma que el valor del límite cuando x tiende a 1 por la izquierda, esta ecuación no aporta nada a este problema:

Ahora vamos a calcular que la función sea derivable. Para ello, obtenemos la derivada de la función:

Para ver si es derivable, tenemos que comprobar que la derivada de la función es contínua. Para ello, calculamos el límite de la derivada de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda:

La derivada de la función está definida para los valores menores o iguales que 1 en el primer tramo, luego elegimos ese tramo para calcular el límite:

Sustituimos la x por 1 y calculamos:

Ahora calculamos el límite de la derivada de la función cuando x tiende a 1 por la derecha:

La derivada de la función está definida para los valores mayores que 1 en el segundo tramo, luego elegimos ese tramo para calcular el límite:

Sustituimos la x por 1 y calculamos:

Igualamos el valor de ambos límites:

Nos queda una ecuación con una incógnita, de donde podemos despejar «n»:

Ahora, en la expresión donde igualamos los valores de los límites para que la función sea contínua:

Sustituimos la «n» por -1:

Y finalmente despejamos «m»:

Por tanto para que la función sea derivable los valores de «m» y «n» deben ser: m=2 y n=-1.

También se cumple que la función derivada en x=1 tiene el mismo valor que los límites.

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