A continuación te voy a explicar la derivabilidad de una función. Veremos cómo saber si una función es derivable con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Derivablidad de una función
¿Qué es la derivablidad de una función?
La derivabilidad de una función es saber si existe la derivada de esa función en un punto determinado.
Así que, una función es derivable en un punto, cuando existe la derivada de la función en ese punto.
Cómo saber si una función es derivable en un punto
Para que una función sea derivable en un punto, antes debe ser contínua en ese punto. Si no te acuerdas qué condiciones se deben cumplir para que una función sea continua puedes repasar esta lección.
Por tanto, si nos dicen que una función es derivable, automáticamente ya nos están diciendo que es continua. Sin embargo, si nos dicen que una función es continua, debemos comprobar si es derivable.
Para que una función sea derivable en un punto X0, el límite de cuando la función derivada tiende a ese punto existe y además el valor de la función derivada en ese punto es igual al valor del límite:
Dicho de otra forma, comprobar si una función es derivable no es más que comprobar si la derivada de la función es continua.
En funciones definidas a trozos, para comprobar si son derivables en los puntos críticos o putos de corte, debemos calcular los límites laterales y éstos deben tener el mismo valor que la función en ese punto:
Derivabilidad de una función definida a trozos
Para comprobar si son derivables en los puntos críticos o putos de corte en funciones definidas a trozos, debemos calcular los límites laterales y éstos deben tener el mismo valor que la función en ese punto:
Vamos a ver un ejemplo. Estudiar la derivabilidad de la siguiene función:
Como hemos comentado más arriba, para que una función sea derivable, antes debe ser contínua. Por tanto, lo primero que tenemos que hacer es estudiar la continuidad de la función en el punto de ruptura x=2.
Para que la función sea continua, el valor de los límites laterales de la función en x=2 debe ser el mismo y además, el valor de la función en ese punto también debe tener el mismo valor.
Así que, empezamos con el límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda:
En valores a la izquierda del 2, la función tiene como valor el primer tramo, que es el que tenemos en cuenta para resolver el límite:
Susituimos la x por 2 y operamos:
El límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda es igual a 10.
Ahora vamos a resolver el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha:
La función está definida para valores mayures que 2 en el segundo tramo:
Sustituimos x por 2 y resolvemos:
El límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha también es igual a 10.
Como los límites laterales tienen el mismo valor, decimos que existe el límite en x=2 y su valor es igual a 10.
Ahora calculamos el valor de la función en x=2:
El valor de la función en x=2 y el límite en ese punto coinciden, por lo que la función es continua en x=2.
Como es continua, procedemos a estudiar la derivavilidad de la función en x=2.
Para ello, derivamos ambos tramos de la función:
Y estudiar la derivabilidad, es equivalente a estudiar la continudidad de la función derivada.
Empezamos calculando el límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda:
Calculamos el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha:
Los límites laterales no coinciden, así que, no existe el límite de la función en x=2 y por tanto, tampoco es derivable en x=2.
Derivabilidad de una función a trozos con parámetros
Es muy común que nos pidan calcular el valor de 2 parámetros para que una función a trozos sea derivable. Vamos a ver cómo resolver estos tipos de ejercicios.
Por ejemplo, calcula m y n para que la siguiente función sea derivable:
Hemos dicho, que para que una función sea derivable, antes debe ser contínua, por tanto, lo primero que comprobar que la función es contínua.
Ambos trozos son contínuos ya que son polinomios. Solamente queda comprobar si la función es contínua es x=1, que es el punto de ruptura.
Para ello, debemos calcular el valor de los límites laterales. Primero calculamos el límite de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda:
La función está definida para los valores menores o iguales que -1 en el primer tramo, luego elegimos ese tramo para calcular el límite:
Sustituimos la x por 1 y obtenemos la solución del límite:
Ahora calculamos el límite de la función cuando x tiende a 1 derecha:
La función está definida para los valores mayores que 1 en el segundo tramo, luego elegimos ese tramo para calcular el límite:
Calculamos el límite sustituyendo la x por 1:
Para que la función sea contínua, el valor de ambos límites debe ser el mismo, por lo que igualamos las dos expresiones obtenidas:
Nos queda una ecuación con dos incógnitas. Necesitamos otra ecuación para poder despejar el valor de ambas, que la obtendremos de comprobar si la función es derivable.
Además, para que la función sea contínua, la función en x=1 debe tener el mismo valor que los límites laterales, pero como la solución es la misma que el valor del límite cuando x tiende a 1 por la izquierda, esta ecuación no aporta nada a este problema:
Ahora vamos a calcular que la función sea derivable. Para ello, obtenemos la derivada de la función:
Para ver si es derivable, tenemos que comprobar que la derivada de la función es contínua. Para ello, calculamos el límite de la derivada de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda:
La derivada de la función está definida para los valores menores o iguales que 1 en el primer tramo, luego elegimos ese tramo para calcular el límite:
Sustituimos la x por 1 y calculamos:
Ahora calculamos el límite de la derivada de la función cuando x tiende a 1 por la derecha:
La derivada de la función está definida para los valores mayores que 1 en el segundo tramo, luego elegimos ese tramo para calcular el límite:
Sustituimos la x por 1 y calculamos:
Igualamos el valor de ambos límites:
Nos queda una ecuación con una incógnita, de donde podemos despejar «n»:
Ahora, en la expresión donde igualamos los valores de los límites para que la función sea contínua:
Sustituimos la «n» por -1:
Y finalmente despejamos «m»:
Por tanto para que la función sea derivable los valores de «m» y «n» deben ser: m=2 y n=-1.
También se cumple que la función derivada en x=1 tiene el mismo valor que los límites.
Ejercicios resueltos de derivabilidad de una función
Ejercicio 1
Calcula los parámetros a y b para que la siguiente función sea derivable:
Para que la función sea derivable, antes tiene que ser continua, así que estudiamos la continuidad de la función.
Ambos tramos son contínuos y queda comprobar si la función es contínua en el punto de ruptura x=0.
Calculamos el límite de la función cuando x tiende a 0 por la izquierda:
La función está definida para los valores menores o iguales que 0 en el primer tramo, luego elegimos ese tramo para calcular el límite:
Sustituimos la x por 0 y resolvemos:
Calculamos el límite de la función cuando x tiende a 0 derecha:
La función está definida para los valores mayores que 0 en el segundo tramo:
Sustituimos la x por 0 y resolvemos:
Para que la función sea contínua, el valor de los límites laterales debe ser el mismo:
Así que igualamos el valor de ambos límites laterales, obteniendo que b es igual a 1:
Además, para que la función sea contínua, la función en x=0 debe tener el mismo valor que los límites laterales. Comprobamos que también se cumple:
Así que la función es continua en x=0.
Ahora vamos a calcular que la función sea derivable. Para ello, obtenemos la derivada de la función.
Como el primer tramo es algo más complejo de derivar, lo hago a parte primero. La función del primer tramo es:
Aplico la función de la derivada de un cociente:
Opero para eliminar los paréntesis:
Agrupamos términos semejantes en el numerador:
Obtenemos factor común en el numerador y en el denominador aplico la propiedad de la multiplicación de potencias con la misma base:
Eliminamos el factor que se repite en el numerador y denominador:
La función derivada nos queda:
Para estudiar la derivabilidad en x=0, tenemos que comprobar que la derivada de la función es contínua en ese punto. Así que, calculamos el límite de la derivada de la función cuando x tiende a 0 por la izquierda:
La derivada de la función está definida para los valores menores o iguales que 0 en el primer tramo:
Sustituimos la x por 0 y resolvemos:
Calculamos el límite de la derivada de la función cuando x tiende a 0 por la derecha:
La derivada de la función está definida para los valores mayores que 0 en el segundo tramo:
Sustituimos la x por 0 y resolvemos:
Para que la función sea derivable, el valor de los límites laterales debe ser el mismo, así que igualamos ambos límites, obteniendo que el parámetro «a» es igual a -2:
También se cumple que la función derivada en x=0 tiene el mismo valor que los límites.
Así que, la función es deviable cuando a=-2 y b=1
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