Método de la derivación logarítmica. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar en qué consiste el método de la derivación logarítmica y en qué casos hay que aplicarlo, con ejercicios resueltos paso por paso.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Cuando usar el método de la derivación logarítmica

Existen fórmulas de funciones derivadas calcular la derivada de una función potencial, es decir, cuando la x o una función están elevadas a un número:

derivacion logaritmica

derivadas logaritmicas ejercicios resueltos paso a paso

De la misma forma, existen fórmulas de funciones derivadas calcular la derivada de una función exponencial, es decir, cuando un número está elevado a x o a una función:

derivadas logaritmicas

derivada logaritmica

Sin embargo, no tenemos ninguna fórmula para derivar funciones que sean potenciales y exponenciales a la vez, es decir que tanto las x o las funciones estén en la base y en el exponente:

derivadas logaritmicas ejercicios resueltos

Por tanto, con este tipo de funciones potenciales-exponenciales es cuando hay que utilizar el método de la derivación logarítmica.

En el siguiente apartado veremos cuál es su procedimiento. Para entenderlo bien, es necesario que tengas muy claro cómo derivar funciones logarítmicas y como aplicar la regla de la derivada de un producto. Si necesitas revisarlo, en el Curso de Derivadas lo tienes explicado paso a paso, en el que te enseño a derivar paso a paso desde el principio.

Procedimiento del método de la derivación logarítmica

El procedimiento para derivar funciones potenciales-exponenciales mediante el método de la derivación logarítmica es el siguiente:

  1. Aplicar logaritmos neperianos a ambos miembros de la ecuación
  2. Aplicar propiedades de los logaritmos pasando la función exponente a multiplicar al logaritmo del segundo miembro
  3. Derivar por separado ambos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta que la “y” del primer miembro es una función compuesta y por tanto hay que multiplicar por su derivada y’
  4. Despejar y’
  5. Operar en el segundo miembro para simplificar
  6. Sustituir el valor de “y” por su valor, el cual lo obtenemos de la ecuación original

Resolviendo unos cuantos ejercicios lo entenderás mejor, que es lo que haremos en el siguiente apartado.

Ejercicios resueltos del método de la derivación logarítmica

Vamos a resolver un par de ejercicios para que te quede más claro cuáles son los pasos de la derivación logarítmica.

Por ejemplo:

derivación logaritmica

Aplicamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la ecuación:

diferenciacion logaritmica

Aplicamos las propiedades de los logaritmos, pasando a multiplicar al logaritmo la función que hacía de exponente, en el segundo miembro:

derivacion logaritmica ejercicios resueltos

Derivamos en ambos miembros de la igualdad. En el primer miembro, derivamos con respecto de “y”, considerando “y” como una función compuesta y por lo tanto, hay que multiplicar por su derivada que es y’.

En el segundo miembro, aplicamos la regla de la derivada de un producto:

 derivadas de funciones logaritmicas

Operamos en el segundo término del segundo miembro, ya que se anulan las x:

derivadas de logaritmos ejercicios resueltos

Ahora debemos despejar y’ (la derivada de y). Para ello, primero pasamos multiplicando la “y” a todo el segundo miembro:

derivación logarítmica

Por último, debemos sustituir la “y” por su valor y eso lo obtenemos de la ecuación original:

derivada logaritmica ejemplos

Por tanto, sustituyendo la “y” nos queda:

derivacion logaritmica ejercicios resueltos pdf

Y ese sería el valor de la derivada.

Vamos a ver otro ejemplo:

ejercicios de derivadas logaritmicas

Empezamos aplicando logaritmos neperianos en ambos miembros de la ecuación:

ejercicios de derivacion logaritmica

Aplicamos propiedades de los logaritmos pasando a multiplicar la x del exponente al logaritmo neperiano:

derivacion logaritmica ejercicios

Derivamos por separado ambos miembros de la ecuación:

diferenciacion logaritmica ejercicios resueltos

Ahora vamos a operar en el segundo miembro teniendo en cuenta que el coseno entre el seno es igual a la cotangente:

metodo de derivacion logaritmica

Realizando este cambio nos queda de la siguiente forma:

derivada de funciones logaritmicas

Despejamos la y’ pasando la “y” al segundo miembro multiplicando:

ejemplos de derivadas logaritmicas

Sustituimos la “y” por su valor, obtenido de la ecuación original, llegando a la obtención de su derivada:

metodo logaritmico de derivacion

Como ves, el procedimiento para derivar funciones potenciales-exponenciales por el método de la derivación logarítmica es siempre igual, por lo que si has entendido cómo he resuelto estos dos ejercicios, sabrás resolverlos todos.

Si necesitas aprender a derivar, te recomiendo el Curso de Derivadas, en el que empezamos a derivar funciones muy sencillas y terminados derivando todo tipo de funciones, con ejercicios resueltos paso a paso y propuestos con la solución para practicar.

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