Derivadas implícitas de 2 y 3 variables: cómo realizarlas. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar cómo realizar derivadas implícitas de dos y tres variables, con ejercicios resueltos paso a paso. Veremos también la diferencia entre una función explícita y una función implícita, dos conceptos que necesitarás saber para realizar la derivación implícita.

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Qué es una función implícita y una función explícita

Antes de enseñarte cómo se hacen las derivadas implícitas tienes que saber qué es una función implícita y qué es una función explícita.

Función explícita

Una función explícita es aquella donde la variable dependiente está claramente despejada en la función.

Por ejemplo, la siguiente función es una función explícita:

Donde “y” es la variable dependiente y “x” es la variable independiente. Se dice que la variable “y” depende de “x” o que la variable “y” está en función de “x”.

Función implícita

En una función implícita es aquella donde la variable dependiente no está despejada en la función.

Por ejemplo:

Observa que esta función es la misma que en el ejemplo anterior, solo que la variable dependiente “y” no está despejada.

Por tanto, sólo con que la variable independiente no esté despejada, ya es una función implícita.

Qué son las derivadas implícitas

Una vez que ya sabemos lo que son las funciones explícitas y las funciones implícitas, vamos a ver cómo se realizan las derivadas implícitas.

Normalmente, cuando derivamos una función, estamos acostumbrados a tener la función de forma explícita:

Es decir, nos dan la función donde la “y” está despajada:

En este caso su derivada sería:

Otras veces, nos darán la función de forma implícita:

En el caso de que podamos despejar la variable dependiente “y” para poder derivarla, tendremos que despejar la “y”:

Y después derivar:

Sin embargo, va a haber casos en los que tengamos que derivar la función en su forma implícita, ya sea porque no es posible despejar la variable dependiente o porque nos pidan hacerlo así, por lo que no nos quede más remedio de realizar su derivada implícita.

Por tanto, una derivada implícita es derivar una función en su forma implícita.

Cómo realizar derivadas implícitas paso a paso

Supongamos que tenemos que derivar la siguiente función implícita:

En este caso, no es posible despejar la variable dependiente “y”, por lo que no nos queda más remedio que realizar la derivación implícita.

Existen dos formas de realizar la derivación implícita. Vamos a ver cada uno de ellos.

Derivación implícita con el método de la regla de la cadena

Para realizar la derivación implícita siguiendo este método debemos tener en cuenta lo siguiente:

  • Cada término se deriva considerando x como una variable e “y” como una función
  • La derivada de “y” es y’:

  • Para derivar “y” utilizamos la regla de la cadena.  De la misma forma que por ejemplo para derivar el cuadrado de una función debemos realizar la derivada de la función como si fuera una variable y después multiplicarla por la derivada de la función:

para derivar con por ejemplo y², derivamos la “y” como si fuera una variable y la multiplicamos por su derivada que es y’:

Teniendo en cuenta esto, vamos a derivar término a término la función implícita anterior:

El primer término lo derivamos teniendo en cuenta que x es una variable:

El segundo término derivamos “y” con respecto a x, considerándola como una función y teniendo en cuenta la regla de la cadena: la derivada de y² es 2y y lo multiplicamos por y’, que es la derivada de y:

En el tercer término tenemos una multiplicación de x y de “y”, por tanto utilizamos la regla de la derivada de un producto, ya que realmente tenemos una multiplicación de funciones: 3x² es una función e “y” es otra función:

Para el quinto término, la derivada de y es y’:

Y para el último término, la derivada de 1 es 0:

Sustituimos cada término por su derivada en la función:

Eliminamos paréntesis:

Llegados a este punto, debemos despejar y’. Para ello, en primer lugar dejamos en el primer miembro todos los términos con y’ y pasamos al segundo miembro los términos que no tengan y’:

Sacamos factor común a y’ en el primer miembro:

Y finalmente, pasamos dividiendo al segundo miembro los términos que quedan dentro del paréntesis y que multiplican a y’:

Y ésta es la derivada implícita de la función implícita del ejemplo

Date cuenta como dentro de la propia derivada implícita tenemos variables “x” y variables “y”, muy común de este tipo de derivadas. En las derivadas de las funciones explícitas, solamente nos encontramos x.

Derivadas implícitas con derivadas parciales

Otro método de derivación implícita es mediante derivadas parciales. Este método se utiliza cuando la función implícita a derivar es más compleja.

Para explicarlo, vamos a derivar la misma función implícita que en el ejemplo anterior:

La fórmula de la derivación implícita por derivadas parciales es la siguiente:

Donde F’x es la derivada de la función con respecto a x, considerando “y” como una constante y F’y es la derivada de la función con respecto a “y”, considerando “x” como una constante.

La derivada de la función con respecto a x, considerando “y” como una constante es:

La derivada de la función con respecto a “y”, considerando “x” como una constante es:

Sustituyendo ambas expresiones en la fórmula nos queda:

Que es el mismo resultado que obtuvimos con el otro método, como no podía ser de otra forma.

Derivadas implícitas de tres variables

Vamos a ver ahora cómo realizar una derivada implícita cuando tenemos tres variables.

Por ejemplo tenemos la siguiente función donde la variable “z” depende de las variables “x” e “y”, es decir, “z” es la variable independiente:

Al tener dos variables independientes, una función implícita con dos variables independientes tendrá dos derivadas, ya que hay que realizar una derivada por cada variable independiente.

Para ello, utilizaremos el método de las derivadas parciales.

La fórmula de la derivada parcial de la función con respecto a x es:

Siendo F’x  la derivada de la función con respecto a x, considerando “y” y “z” como constantes y F’z es la derivada de la función con respecto a “z”, considerando “x” e “y” como constantes.

La fórmula de la derivada parcial de la función con respecto a “y” es:

Siendo F’y  la derivada de la función con respecto a “y”, considerando “x” y “z” como constantes y F’z es la derivada de la función con respecto a “z”, considerando “x” e “y” como constantes.

En la función implícita de nuestro ejemplo:

La derivada de la función con respecto a x, considerando “y” y “z” como constantes es:

La derivada de la función con respecto a “y”, considerando “x” y “z” como constantes es:

La derivada de la función con respecto a “z”, considerando “x” e “y” como constantes es:

Sustituyendo cada expresión en las fórmulas nos quedan las siguientes derivadas implícitas:

Ejercicios resueltos de derivadas implícitas

Vamos a resolver unos cuantos ejercicios sobre derivadas implícitas. Al ser algo complejos, los resolveremos todos por el método de las derivadas parciales.

Ejercicio 1

La derivada de la función con respecto a x, considerando “y” como una constante es:

La derivada de la función con respecto a “y”, considerando “x” como una constante es:

Sustituimos ambas expresiones en la fórmula de la derivada implícita y nos queda:

Operamos, multiplicando el denominador de la fracción de abajo, por el numerador:

Multiplicamos el paréntesis:

Y simplificamos:

Ejercicio 2

En primer lugar pasamos todos los términos al primer miembro:

La derivada de la función con respecto a x, considerando “y” como una constante es:

La derivada de la función con respecto a “y”, considerando “x” como una constante es:

Sustituyendo las dos expresiones en la fórmula nos queda:

Ejercicio 3

La derivada de la función con respecto a x, considerando “y” como una constante es:

La derivada de la función con respecto a “y”, considerando “x” como una constante es:

Sustituimos en la fórmula de la derivación implícita:

Y operamos:

Ejercicio 4

Pasamos todos los términos al primer miembro, dejando el segundo miembro igual a cero:

La derivada de la función con respecto a x, considerando “y” como una constante es:

La derivada de la función con respecto a “y”, considerando “x” como una constante es:

Aplicando la fórmula de la derivación implícita nos queda:

Ejercicio 5

Empezamos pasando todos los términos al primer miembro:

La derivada de la función con respecto a x, considerando “y” y “z” como constantes es:

La derivada de la función con respecto a “y”, considerando “x” y “z” como constantes es:

La derivada de la función con respecto a “z”, considerando “x” e “y” como constantes es:

Sustituimos cada expresión en las fórmulas de la derivación implícita de una función de tres variables y nos quedan las siguientes derivadas implícitas:

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