A continuación te explico qué es un diagrama de Venn y resolveremos ejercicios paso a paso.
¡Empezamos!
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Qué es un diagrama de Venn
Un diagrama de Venn es un esquema en el que se muestran gráficamente conjuntos de elementos en forma de círculos u óvalos (A, B, C…), los cuales se intersectan entre sí y están contenidos dentro del conjunto universal U, representado como un rectángulo, donde se engloban todos los elementos posibles.
Diagrama de Venn de 2 conjuntos
Un diagrama de Venn de 2 conjuntos son lo que tienen 2 conjuntos A y B dentro del conjunto universal U:
En un diagrama de Venn de 2 conjuntos podemos encontrar 4 zonas:
Las corresponden a:
- Elementos de A: Zona 1 + Zona 2
- Sólo pertenece a A: Zona 1
- Elementos de B: Zona 2 + Zona 3
- Sólo pertenece a B: Zona 3
- Intersección de A y B: Zona 2
- No pertenece a ningún conjunto (ni A ni B): Zona 4
- Conjunto universal: Zona 1 + Zona 2 + Zona 3 + Zona 4
Diagrama de Venn de 3 conjuntos
Un diagrama de Venn de 2 conjuntos son lo que tienen 3 conjuntos A, B y C dentro del conjunto universal U:
En un diagrama de Venn de 3 conjuntos se distinguen 8 zonas:
que se interpretan de la siguiente manera:
- Elementos de A: Zona 1 + Zona 2 + Zona 4 + Zona 5
- Sólo pertenece a A: Zona 1
- Elementos de B: Zona 2 + Zona 3 + Zona 5 + Zona 6
- Sólo pertenece a B: Zona 3
- Elementos de C: Zona 4 + Zona 5 + Zona 6 + Zona 7
- Sólo pertenece a C: Zona 7
- Intersección de A y B: Zona 2
- Intersección de A y C: Zona 4
- Intersección de B y C: Zona 6
- Intersección de A, B y C: Zona 5
- No pertenece a ningún conjunto (ni A ni B ni C): Zona 8
- Conjunto universal: Zona 1 + Zona 2 + Zona 3 + Zona 4 + Zona 5 + Zona 6 + Zona 7 + Zona 8
Ejercicios resueltos de diagrama de Venn
Ejercicio 1
De un grupo de 100 alumnos, 47 no han escogido informática como optativa, 56 no han escogido teatro como optativa y 27 no han escogido ni informática ni teatro. ¿Cuántos alumnos han escogido sólo un curso?
En primer lugar dibujamos el diagrama de Venn, con los dos conjuntos, informática y teatro, e indicando que el conjunto universal es igual a 100 alumnos:
En estos tipos de ejercicios la clave está en ubicar los datos del enunciado dentro del diagrama de Venn.
En este caso, el primer dato que vamos a ubicar son los 27 alumnos que no han escogido ninguno de los dos cursos, que corresponde a la zona 4 que hago referencia en la teoría de la lección:
He empezado por este dato porque sin él, no es posible ubicar el resto de datos del ejercicio.
Ahora vamos a ubicar los alumnos que no han escogido informática. Para ello, coloreo los alumnos que sí han escogido informática y lo que me queda, debe ser igual a 47 alumnos. Como ves, me quedan los 27 alumnos que no han escogido ningún curso y los alumnos que han escogido sólo teatro y como no conozco su valor, le llamo x:
Por tanto, los 47 alumnos que no han escogido informática, será igual a x alumnos que han escogido sólo teatro más los 27 que no escogieron nada:
De esta ecuación despejamos x y me queda:
Por tanto, tenemos que 20 alumnos escogieron sólo teatro.
Seguimos ubicando los alumnos que no han escogido teatro. Para ello, coloreo los alumnos que sí han escogido teatro y lo que me queda, debe ser igual a 56 alumnos. Como puedes observar, me quedan los 27 alumnos que no han escogido ningún curso y los alumnos que han escogido sólo informática, que como no conozco su valor, le llamo «y»:
Los 56 alumnos que no han escogido teatro, será igual a «y» alumnos que han escogido sólo informática más los 27 que no escogieron nada:
De esta ecuación despejo «y»
Por tanto, tenemos que 29 alumnos escogieron sólo informática, que lo añado en el diagrama de Venn:
Me preguntan cuántos alumnos han escogido sólo un curso, que será la suma de los alumnos que escogieron sólo informática más los alumnos que escogieron sólo teatro:
Por tanto, 49 alumnos han escogido sólo un curso.
Ejercicio 2
En un club deportivo, el 80% de los socios juegan al fútbol y el 40% al baloncesto. Sabiendo que el 30% de los socios practican los dos deportes, calcula la probabilidad de que un socio elegido al azar:
a) Juegue sólo al fútbol
b) Juegue sólo al baloncesto
c) Juegue al fútbol o al baloncesto
d) No juegue a ninguno de los dos deportes
Empezamos dibujando el diagrama de Venn, con los dos conjuntos, fútbol y baloncesto, e indicando que el conjunto universal es igual a 100%:
El primer dato que ubicamos es el 30% que practican ambos deportes, que corresponde a la zona 2, o lo que es lo mismo, la intersección entre fútbol y baloncesto.
Este dato lo colocamos el primero porque nos permitirá calcular el resto de datos que necesitamos.
Vamos a calcular el porcentaje de las personas que juegan sólo al fútbol, que lo indicamos como x%:
Sabemos que el 80% juega al fútbol y que de ese porcentaje, el 30% juega a los dos deportes y que x% juega sólo al fútbol, luego el 80% es la suma de x% más 30%:
Despejamos x% y calculamos:
Tenemos que un 50% de los socios juega sólo al fútbol. Colocamos este resultado en el diagrama de Venn:
Ahora vamos a calcular el porcentaje de las personas que juegan sólo al fútbol, que lo llamamos y%:
Sabemos que el 40% juega al baloncesto y que de ese porcentaje, el 30% juega a los dos deportes y que y% juega sólo al baloncesto, luego el 40% es la suma de y% más 30%:
Despejamos y% y calculamos:
Por lo que un 10% de los socios juega sólo al baloncesto. Colocamos este resultado en el diagrama de Venn:
El porcentaje de socios que juegue al fútbol o al baloncesto es igual al porcentaje de los socios que juegan sólo al fútbol más el porcentaje de los socios que juegan sólo al baloncesto:
Es decir, que un 60% de los socios juegan al fútbol o al baloncesto.
Para calcular el porcentaje de los socios que no juegue a ninguno de los dos deportes, al total de socios (100%) le restamos el 50% que juega sólo al fútbol, el 10% que juega sólo al baloncesto y el 30% que juega a los dos deportes:
Lo cuál resulta que un 10% de los socios no juega a ningún deporte.
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