▷ Discusión de sistemas mediante determinantes y rangos. Ejercicios.

Discusión de sistemas mediante determinantes y rangos. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar cómo realizar la discusión de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante determinantes y rangos, con ejercicios resueltos paso a paso.

La discusión de sistemas de ecuaciones lineales es analizar de qué tipo es y cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas en función de un parámetro que no se conoce.

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Discutir un sistema en función de un parámetro mediante determinantes. Ejercicio resuelto

A continuación vamos a resolver un ejercicio sobre discusión de sistemas, mediante determinantes. También es posible discutir el sistema mediante el método de Gauss.

Para entender este ejercicio es necesario que sepas cómo identificar el tipo de sistema estudiando sus rangos.

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a:

discusion de sistemas de ecuaciones

En primer lugar, obtenemos la matriz de los coeficientes:

discutir sistemas de ecuaciones

Y la matriz ampliada:

discusión de sistemas

Y ahora vamos calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes, cuyo resultado dependerá del parámetro a:

discusion de sistemas

Para calcularlo, aprovechando que tengo un cero en la columna 2, voy a sumarle la fila 2 a la fila 1 para tener otro cero:

discutir un sistema en funcion de un parametro

Y me queda:

discutir sistema de ecuaciones

Calculo el determinante a partir de los adjuntos de la segunda columna:

discusion de sistemas con parametros resueltos

El resultado del determinante de la matriz de los coeficientes me ha quedado en función del parámetro a, tal y como te comenté antes.

Ahora vamos a calcular los valores del parámetro “a” que hacen que el determinante sea cero.

Para ellos, igualamos a cero la expresión del resultado del determinante, que nos queda una ecuación de segundo grado completa, cuya incógnita es el parámetro a:

discusion de matrices

Cuyas soluciones son :

discutir sistema de 4 ecuaciones con 3 incognitas

A partir de ahora es cuando empezamos a discutir el sistema en función de los valores del parámetro “a”.

El determinante de A es distinto de cero

Los valores que acabamos de calcular son los que hace que el determinante de A sea cero.

¿Qué pasa si a≠1 y a≠-3?

Si a no es igual a 1, ni es igual a -3, el determinante de A será distinto de cero:

discusion de sistemas con parametros

En ese caso, al ser el determinante de A distinto de cero, el rango de la matriz A será 3:

como discutir un sistema

El rango de la matriz ampliada también será 3, ya que elegiremos la submatriz cuadrada de orden 3 que coincida con la matriz de los coeficientes:

ejercicios de discusion de sistemas

Entonces, como el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada son igual a 3 que además coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y tiene solución.

discusion de sistemas ejercicios resueltos

Por tanto, para cualquier valor del parámetro “a” que no sea ni 1 ni -3 el sistema será compatible determinado.

El determinante de A es igual a cero

El determinante de A será igual a cero cuando a=1 y cuando a=-3.

Vamos a estudiar cada uno de los casos.

Empezamos analizando de qué tipo es el sistema cuando a=1:

sistemas de ecuaciones de 3 incognitas

Sustituimos el parámetro a por 1 tanto el la matriz de coeficientes como en la matriz ampliada y nos queda:

discutir sistema de ecuaciones con parametros

discutir sistemas

Sabemos que cuando a=1, el determinante de A es cero, por tanto el rango va a ser menor que 3:

sistemas de ecuaciones con parametros

Elegimos la submatriz cuadrada de orden 2 formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2 y calculamos su determinante:

discutir un sistema de matrices

Su determinante es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 2:

ejercicios discusion de sistemas con parametros

Vamos a calcular ahora el rango de la matriz ampliada.

Al tener la matriz ampliada una columna de ceros, todos los determinantes de las submatrices de orden 3 de la matriz ampliada serán igual a cero, por tanto, el rango de la matriz ampliada también será menor que 3:

discusion sistemas de ecuaciones

Seguimos probando con submatrices cuadradas de orden 2 y volvemos a elegir la submatriz formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2 y cuyo determinante es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz ampliada también es 2:

como discutir un sistema de ecuaciones

Por tanto, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, que es igual a 2, pero es menor que el número de incógnitas, por lo que el sistema es compatible indeterminado cuando a=1:

discusión de ecuaciones

Vamos a ver ahora de qué tipo es el sistema cuando a=-3:

discusion de sistemas de ecuaciones

Sustituimos el parámetro a por -3 tanto el la matriz de coeficientes como en la matriz ampliada y nos queda:

sistema compatible indeterminado 3 incognitas

discusion de sistemas

Sabemos que cuando a=-3, el determinante de A es cero, por tanto el rango va a ser menor que 3:

ejercicios sistemas de ecuaciones 3 incognitas

Elegimos la submatriz cuadrada de orden 2 formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2 y calculamos su determinante:

discutir sistemas

Su determinante es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 2:

resolver sistemas online

Vamos a obtener ahora el rango de la matriz ampliada y para ello calculamos el determinante de la submatriz cuadrada de orden 3 formada por las columnas 2, 3 y 4:

sistemas de ecuaciones 3 incognitas

Que es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz ampliada es igual a 3:

discusion de sistemas con parametros resueltos

Cuando a=-3, el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada no son iguales, por lo que el sistema es incompatible y no tiene solución:

discusion de sistemas con parametros

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