Discusión de sistemas de tres ecuaciones lineales con parámetros

Analizar de qué tipo es el sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas en función de un parámetro, es lo que se conoce como discusión de sistemas de ecuaciones lineales y es lo que te voy a explicar.

Existen ejercicios de sistemas de ecuaciones en los que no conocemos todos los coeficientes, es decir, algunos coeficientes son parámetros y en función del valor de esos parámetros, el sistema será de un tipo u otro y por tanto, tendrá solución o no.

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Discutir un sistema en función de un parámetro. Ejercicio resuelto

A continuación vamos a resolver un ejercicio sobre discusión de sistemas, que como verás, el sistema de ecuaciones depende del valor del parámetro a.

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a:

En primer lugar, obtenemos la matriz de los coeficientes:

Y la matriz ampliada:

Y ahora vamos calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes, cuyo resultado dependerá del parámetro a:

Para calcularlo, aprovechando que tengo un cero en la columna 2, voy a sumarle la fila 2 a la fila 1 para tener otro cero:

Y me queda:

Calculo el determinante a partir de los adjuntos de la segunda columna:

El resultado del determinante de la matriz de los coeficientes me ha quedado en función del parámetro a, tal y como te comenté antes.

Ahora vamos a calcular los valores del parámetro a que hacen que el determinante sea cero. Para ellos, igualamos a cero la expresión del resultado del determinante, que nos queda una ecuación de segundo grado completa, cuya incógnita es el parámetro a:

Cuyas soluciones son :

A partir de ahora es cuando empezamos a discutir el sistema en función de los valores del parámetro a.

De qué tipo es el sistema cuando a≠1 y a≠-3

Estos valores que acabamos de calcular son los que hace que el determinante de A sea cero.

Entonces, si a no es igual a 1, ni es igual a -3, el determinante de A no será cero. En otras palabras, para cualquier valor del parámetro a que no sea ni 1 ni -3, el determinante de A será distinto de cero:

En ese caso, al ser el determinante de A distinto de cero, el rango de la matriz A será 3:

El rango de la matriz ampliada también será 3, ya que elegiremos la submatriz cuadrada de orden 3 que coincida con la matriz de los coeficientes:

Entonces, como el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada son igual a 3 que además coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y tiene solución.

Por tanto, para cualquier valor del parámetro a que no sea ni 1 ni -3 el sistema será compatible determinado.

De qué tipo es el sistema cuando a=1

Vamos a ver ahora de qué tipo es el sistema cuando a=1:

Sustituimos el parámetro a por 1 tanto el la matriz de coeficientes como en la matriz ampliada y nos queda:

Sabemos que cuando a=1, el determinante de A es cero, por tanto el rango va a ser menor que 3:

Elegimos la submatriz cuadrada de orden 2 formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2 y calculamos su determinante:

Su determinante es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 2:

Vamos a calcular ahora el rango de la matriz ampliada.

Al tener la matriz ampliada una columna de ceros, todos los determinantes de las submatrices de orden 3 de la matriz ampliada serán igual a cero, por tanto, el rango de la matriz ampliada también será menor que 3:

Seguimos probando con submatrices cuadradas de orden 2 y volvemos a elegir la submatriz formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2 y cuyo determinante es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz ampliada también es 2:

Por tanto, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, que es igual a 2, pero es menor que el número de incógnitas, por lo que el sistema es compatible indeterminado cuando a=1:

De qué tipo es el sistema cuando a=-3

Vamos a ver ahora de qué tipo es el sistema cuando a=-3:

Sustituimos el parámetro a por -3 tanto el la matriz de coeficientes como en la matriz ampliada y nos queda:

Sabemos que cuando a=-3, el determinante de A es cero, por tanto el rango va a ser menor que 3:

Elegimos la submatriz cuadrada de orden 2 formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2 y calculamos su determinante:

Su determinante es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 2:

Vamos a obtener ahora el rango de la matriz ampliada y para ello calculamos el determinante de la submatriz cuadrada de orden 3 formada por las columnas 2, 3 y 4:

Que es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz ampliada es igual a 3:

Cuando a=-3, el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada no son iguales, por lo que el sistema es incompatible y no tiene solución:

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