Discusión de sistemas de tres ecuaciones por Gauss. Tipos de sistemas.

Discusión de sistemas de tres ecuaciones por Gauss. Clasificación de sistemas.

A continuación vamos a ver qué tipos de sistemas de tres ecuaciones existen en función de su número de soluciones.

Además, te explicaré cómo analizar un sistema según los valores de un parámetro que no conocemos. Eso es lo que se llama discutir el sistema.

Lo veremos todo con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

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Clasificación de los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas puede ser de distintos tipos según su solución. Puede ser:

  • Sistema compatible determinado: Tiene una única solución
  • Sistema incompatible: No tiene solución
  • Sistema compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones

Estos tipos de sistemas están explicados en la lección de tipos de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, del Curso de Sistemas de dos Ecuaciones con dos Incógnitas.

Para sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, el concepto es el mismo. Que lo veremos a continuación con más detalle.

Por otro lado, también se puede obtener los tipos de sistemas mediante determinantes, según su rango, lo cual está explicado en esta lección.

Sistema compatible determinado

Un sistema compatible determinado es el sistema que se puede resolver y tiene una única solución, como por ejemplo:

La solución de este sistema de ecuaciones es:

Si pasamos el sistema a su forma matricial, el sistema compatible determinado es aquel donde no queda ninguna fila con ceros, después de haber triangulado la matriz. En este caso, vemos que es así:

Sistema incompatible

Un sistema incompatible es aquel que no tiene solución, como por ejemplo:

A la hora de despejar la “z”, nos queda un número dividido entre cero, lo cual no tiene solución, por lo que el sistema no tiene solución:

En su forma matricial, un sistema incompatible es aquel donde después de triangular la matrizen la última fila nos queda cero en los tres primeros elementos y un número en el último elemento:

Sistema compatible indeterminado

Un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones, como por ejemplo:

Cuando despejamos “z”, nos queda cero entre cero:

Al ser una indeterminación, z puede tomar cualquier valor.

Si le damos a “z” el valor “t”:

Podemos llegar a despejar el resto de incógnitas en función de t:

Donde t puede tomar cualquiera valor, como hemos dicho antes.

En los sistemas compatibles indeterminados en su forma matricial, después de triangular la matriz, todos los elementos de la última fila son ceros:

Tener una fila llena de ceros es equivalente a no tener esa fila, por lo que el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas, que es otra de las características de un sistema compatible indeterminado.

Discusión de sistemas por el método de Gauss. Ejercicios resueltos.

Vamos a ver a hora cómo discutir un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de Gauss, resolviendo un par de ejercicios.

Discutir un sistema significa estudiar sus posibles soluciones en función de un parámetro que no conocemos, como por ejemplo:

En este caso, el coeficiente de “z” en la tercera ecuación es “a”. Por tanto, debemos indicar qué posibles soluciones y de que tipo sería el sistema en función de los valores de “a”.

Te voy a explicar cómo discutir el sistema por el método de Gauss. También es posible discutir el sistema estudiando sus rangos, por determinantes.

En primer lugar, pasamos el sistema a su forma matricial:

Igual que para resolver un sistema de ecuaciones por Gauss, debemos triangular la matriz, es decir, que los elementos que queden por debajo de la diagonal principal sean ceros:

El primer paso es conseguir que en el primer elemento de la primera fila haya un 1 y para ello, voy a intercambiar la fila 1 por la fila 2:

La matriz queda:

Ahora voy a convertir en cero los dos elementos de la primera columna que quedan por debajo del 1. Para ello, a la fila 2 le voy a restar dos veces la fila 1, dejando el resultado en la fila 2:

Y a la fila 3 le resto dos veces la fila 1, dejando el resultado en la fila 3:

La matriz queda:

Para conseguir un cero en el último elemento de la segunda columna, sólo tengo que restarle a la fila 3 la fila 3 y dejar el resultado en al fila 3:

La matriz queda:

Ya tenemos la matriz triangulada y el tercer elemento de la tercera fila queda en función de “a”.

Si ese elemento fuera cero, es decir, que a+1=0, de donde obtenemos que a=-1, entonces nos quedarían 3 ceros en la última fila, por lo que el sistema sería incompatible:

Para cualquier otro valor de “a”, es decir, cuando ese elemento sea distinto de cero, o que “a” sea distinta de -1, la tercera fila ya no tendrá 3 elementos igual a cero, por lo que el sistema tendrá solución y por tanto, será compatible determinado:

Es importante que los elementos que queden por debajo de la diagonal principal sean ceros y no sean elementos que dependan del parámetro “a”, ya que si es así, no podríamos llegar a ninguna conclusión.

Vamos a ver otro ejemplo algo más complejo, donde veremos cómo solventar esto.

Discutir el siguiente sistema:

Pasamos el sistema de ecuaciones a su forma matricial:

Para empezar a triangular la matriz vamos a hacer que haya un 1 en el primer elemento de la primera fila. Para ello voy a intercambiar la fila 1 por la fila 3:

La matriz queda:

Ahora, a la fila 2 le resto la fila 1 y el resultado lo dejo en la fila 2, para conseguir un cero en el segundo elemento de la primera columna:

Quedando la matriz:

Ahora voy a hacer cero el tercer elemento de la segunda columna y para ello, a la fila 3 le sumo la fila 2, dejando el resultado en la fila 3:

La matriz queda:

Bien, llegados a este punto, si “a” es igual a cero, la matriz queda triangulada y no queda ninguna fila completa con ceros, por lo que el sistema sería compatible determinado:

Sin embargo, para cualquier otro valor de “a”, no sabemos cómo sería el sistema, ya que tendríamos que volver a triangular la matriz para cada valor distinto:

Es por eso que, como te comentaba anteriormente, para evitar este resultado es fundamental que los elementos que queden por debajo de la diagonal principal sean ceros y no sean elementos que dependan del parámetro “a”.

Para eliminar la “a” del tercer elemento de la primera columna y convertirla en un cero, como “a” realmente es un número, puedo multiplicar cualquier fila por “a” para realizar las operaciones internas.

Así que, a la fila 3, le voy a restar “a” veces la fila 1, dejando el resultado en la fila 3:

La matriz queda:

Ya tengo otro cero en el tercer elemento de la primera columna, pero ahora tengo otro elemento que depende de “a” en el tercer elemento de la segunda columna.

Para convertir ese elemento en un cero, seguimos el mismo procedimiento que antes, es decir, a la fila 3 le resto la fila 2 multiplicada por “3a” y dejo el resultado en la fila 3:

Quedando la matriz:

Ahora sí tengo la matriz triangulada.

El elemento que va a determinar el tipo de sistema es el tercer elemento de la tercera columna, que es igual a 1-5a.

Si ese elemento es igual a cero, o lo que es lo mismo, que “a” sea igual a 1/5, me quedan 3 ceros en la última fila, luego el sistema es incompatible y no tendría solución:

Para cualquier otro valor de “a”, el sistema sería compatible determinado, ya que no tendríamos ninguna fila completa con ceros, y por tanto el sistema tendría una sola solución:

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