Distancia de un punto a un plano. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación te voy a explicar cómo calcular la distancia de un punto a un plano en el espacio. Veremos también cómo calcular la distancia entre dos planos paralelos, ya que está muy relacionado con lo anterior. Con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Empezamos!

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Cómo calcular la distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto a un plano es la distancia más corta que existe entre el punto y otro punto cualquiera del plano, es decir, es la distancia de un segmento trazado desde el punto y que es perpendicular al plano.

Si tenemos un punto de coordenadas X0, Y0 y Z0:

Y un plano expresado en su ecuación implícita:

La distancia del punto P al plano π se calcula mediante la siguiente fórmula:

Donde X0, Y0 y Z0 corresponden a las coordenadas del punto y A, B, C y D son los coeficientes de la ecuación del plano en su forma implícita.

La fórmula está en valor absoluto, ya que el resultado siempre debe ser positivo al ser una distancia.

Si la ecuación del plano no está en su forma implícita, el paso previo antes de utilizar la fórmula es pasar la ecuación del plano a su forma implícita.

Ejercicio resuelto de cálculo de la distancia de un punto a un plano

Vamos a resolver un ejercicio sobre cómo calcular la distancia de un punto a un plano.

Calcular la distancia del punto P(1,2,3) al siguiente plano:

Tenemos el punto:

Y ell plano:

Ya tenemos el plano expresado en su ecuación implícita, luego podemos aplicar la fórmula de la distancia de un punto a un plano directamente:

Sustituimos X0, Y0 y Z0 por las coordenadas del punto, que son 1, 2 y 3 respectivamente y los coeficientes A, B, C y D por sus valores en la ecuación del plano, que son, 3, 4, 0 y -6 respectivamente:

Operamos y finalmente llegamos al resultado, que está dado en unidades al ser una distancia:

Cómo calcular la distancia entre dos planos paralelos

Aplicando lo aprendido en el cálculo de un punto a un plano, podemos calcular la distancia entre dos planos paralelos.

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, sólo hay que tomar un punto cualquiera de uno de los dos planos y calcular la distancia de ese punto al plano contrario:

Por tanto, la distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia del punto P (contenido en el plano π1) al plano π2 o lo que es lo mismo, la distancia del punto Q (contenido en el plano π2) al plano π1.

Ejercicio resuelto de cálculo de la distancia entre dos planos paralelos

Vamos a resolver un ejercicio para que te quede más claro cómo calcular la distancia entre dos planos.

Calcula la distancia entre los dos planos

Antes de calcular la distancia entre dos planos, hay que comprobar que son paralelos, ya que si no lo son, la distancia es 0. Tienes explicado cómo comprobar si los planos son paralelos en la lección donde explico la posición relativa de dos o tres planos.

En este caso los planos son paralelos.

Ahora vamos a tomar un punto de uno de ellos. Por ejemplo lo vamos a tomar del plano π1. Para ello, le damos dos valores cualquiera a «x» y a «y» en la ecuación del plano y despejamos la «z».

En este caso, yo le voy a dar a la «x» el valor 1 y a la «y» el valor 0 (pero podría darle cualquier otro valor):

Sustituyo «x» e»y» en la ecuación del plano π1 por sus valores:

Opero, despejo el valor de «z» y me queda:

Por tanto, las coordenadas del punto P que está contenido en el plano π1 son:

Ahora vamos a calcular la distancia del punto P al plano π2:

Para lo que utilizaremos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

Sustituimos X0, Y0 y Z0 por las coordenadas del punto y los coeficientes A, B, C y D por sus valores en la ecuación del plano:

Operamos y obtenemos el resultado:

Vamos a comprobar que si tomamos un punto del plano π2 y calculamos la distancia de ese punto al plano π1 el resultado es el mismo.

Tenemos el plano π2:

Tomamos un punto que esté contenido en ese plano y para ello, le damos un valor cualquiera a la «x» y a la «y». En este caso a «x» le doy el valor 0 y a «y» el valor 2:

Sustituyo los «x» e «y» por su valores en la ecuación del plano π2:

Opero, despejo «z» y me queda:

Por tanto, las coordenadas del punto Q contenido en el plano π2 son:

Ahora vamos a calcular la distancia del punto P al plano π1:

Sustituyo X0, Y0 y Z0 por las coordenadas del punto Q y los coeficientes A, B, C y D por sus valores en la ecuación del plano π1:

Y operamos, llegando al resultado final:

Que como no podía ser de otra forma, la distancia es la misma que en el caso anterior.

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