A continuación vamos a ver cómo obtener la distancia real que existe entre dos planos paralelos en el sistema diédrico, paso a paso.
¡Empezamos!
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Procedimiento para obtener la distancia entre dos planos paralelos
Vamos a ver cuál es el procedimiento general para obtener la distancia que existe entre dos planos paralelos, para después aplicar los mismos pasos en el sistema diédrico.
Tenemos en el espacio dos planos paralelos α y β:
Trazamos una recta r perpendicular a ambos planos:
La intersección de la recta r y el plano α nos da el punto I2 y la intersección de la recta r y el plano β nos da el punto I1:
El problema se reduce a obtener la distancia entre los puntos I1 e I2:
Cómo hallar la distancia entre dos planos paralelos en diédrico
Vamos a ver ahora cómo hallar la distancia entre dos planos paralelos en diédrico, realizando los mismos pasos explicados en el apartado anterior, pero aplicados al sistema diédrico.
Tenemos dos planos paralelos α y β representados en diédrico:
En primer lugar, trazamos una recta perpendicular a ambos planos, cuyas proyecciones son perpendiculares a las trazas de los planos:
Ahora vamos a hallar la intersección de la recta r con los planos α y β.
Para ello, trazamos un plano auxiliar, proyectante del plano vertical, que contenga a la recta r:
Empezamos obteniendo la intersección de la recta r y el plano α.
Marcamos las trazas de la recta intersección en los puntos donde se cortan las trazas del plano α con las trazas del plano auxiliar γ, obteniendo también sus proyecciones en la línea de tierra:
Unimos V” con H” para obtener s” y V’ con H’ para obtener s’, siendo s la recta intersección de los planos α y γ:
Seguimos con la intersección de la recta r y el plano β.
Igual que antes, marcamos las trazas de la recta intersección en los puntos donde se cortan las trazas del plano β con las trazas del plano auxiliar γ y hallamos sus proyecciones en la línea de tierra:
Ahora unimos V” con H” para obtener t” y V’ con H’ para obtener t’, donde t es la recta intersección de los planos β y γ:
El punto donde corta la recta r con la recta s es el punto I2, que es el punto intersección entre la recta r y el plano α. El punto donde corta la recta r con la recta t es el punto I1, punto intersección entre la recta r y el plano β:
Ya tenemos los puntos de intersección de la recta r con ambos planos, que son I1 e I2, por lo que para hallar la distancia entre ambos planos, sólo tenemos que obtener la distancia entre esos dos puntos.
Unimos por tanto los puntos I1 e I2 con el segmento u:
Obtenemos la diferencia de cotas en el plano vertical (C):
En el plano horizontal, desde I2′, trazamos una línea perpendicular al segmento u’, de longitud C, dando lugar al segmento I'(I2):
Y finalmente, unimos los puntos I1′ e (I2), segmento cuya distancia corresponde a la verdadera magnitud entre el punto I1 y el punto I2, es decir, la distancia entre el plano α y el plano β:
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