En esta lección vamos a estudiar la parábola desde el punto de vista de las secciones cónicas. Veremos los elementos más importantes de la parábola, las ecuaciones de la parábola tanto de parábolas de eje vertical como en parábolas de eje horizontal, así como la forma de obtener las coordenadas de su vértice, foco y la ecuación de su recta directriz. Con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Qué es una parábola
Desde el punto de vista de las secciones cónicas, una parábola es el lugar geométrico, cuyos puntos están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco que de una recta fija llamada directriz, teniendo en cuenta de que la distancia de un punto a una recta es la longitud que tiene un segmento trazado desde el punto y que es perpendicular a la recta:
En la imagen anterior se puede observar como el punto P, perteneciente a la parábola está a una distancia «d» del punto F y a la misma distancia «d» de la directriz. Si tomáramos cualquier punto que pertenezca a la parábola, siempre estaría a la misma distancia del foco que de la directriz.
En el siguiente apartado te explicaré qué es el foco, la directriz además de otros elementos más importantes de la parábola.
Elementos más importantes de la parábola
Los elementos más importantes de la parábola son los siguientes:
- Foco: Es el punto fijo F, que no pertenece ni a la parábola ni a la directriz. Se encuentra en el eje de la parábola
- Vértice: Es el punto V en el que el eje corta a la parábola.
- Directriz: Es la recta, perpendicular al eje, que está a la misma distancia del vértice que el foco
- Eje: Es el eje de simetría de la parábola y pasa por el vértice y el foco. Podemos encontrar parábolas tanto de eje horizontal como de eje vertical. Aquí te dejo un ejemplo de cada una, junto con el foco, el vértice y la directriz descritos en puntos anteriores:
- Parábola de eje horizontal:
-
- Parábola de eje vertical:
- Parámetro p: Es la distancia entre el foco y la directriz, medido perpendicularmente a ésta, es decir, la mínima distancia a la directriz.
- En una parábola de eje horizontal, el foco se encuentra a una distancia p/2, a la derecha del vértice y la directriz se encuentra a una distancia de p/2 a la izquierda del vértice. Ambas longitudes medidas en el eje x.
-
- En una parábola de eje vertical, el foco se encuentra a una distancia p, por encima del vértice y la directriz se encuentra a una distancia p por debajo del vértice. Ambas longitudes medidas en el eje y.
En los siguientes apartados veremos las fórmulas de las ecuaciones de una parábola tanto de eje horizontal como de eje vertical y aprendermos a obtener las coordenadas del vértice y del foco, así como la ecuación de la directriz en cada caso.
Parábola de eje horizontal
Ecuación canónica de la parábola de eje horizontal
La ecuación de la parábola con eje horizontal, con vértice en el punto V (h,k), se obtiene a partir de calcular la distancia de un punto cualquiera al foco y a la directriz, lo cual no voy a demostrar aquí. Operando y reordenando términos se llega a la siguiente expresión que se corresponde con la ecuación canónica de la parábola de eje horizontal:
donde p es el parámetro de la parábola y h y k son las coordenadas del vértice de la parábola, horizontal y vertical respectivamente:
Cuando tengamos la ecuación de una parábola, tendremos que expresarla de la misma forma que la fórmula de la ecuación canónica, con el fin de determinar los valores de los parámetros p, h y k, a partir de los cuales obtendremos las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
Veremos cómo se hace paso a paso en los ejercicios resueltos.
Coordenadas del vértice de la parábola de eje horizontal
Una vez expresada la ecuación de la parábola en su forma canónica, se pueden obtener los valores de h y k, que corresponden a las coordenadas del vértice, tal y como hemos indicado en el aparatado anterior:
Coordenadas del foco de la parábola de eje horizontal
El foco se encuentra a una distancia de p/2 a la derecha del vértice en el eje x, por tanto las coordenadas del foco se obtienen sumando p/2 a la coordenada x del vértice, manteniendo igual la coordenada y:
Ecuación de la directriz de una parábola de eje horizontal
La directriz de una parábola de eje horizontal es una recta vertical que se encuentra a una distancia de p/2 a la izquierda del vértice. Por tanto, su ecuación se obtiene restando p/2 a la coordenada x del vértice:
Ecuación reducida de la parábola de eje horizontal
Si el vértice de la parábola se encuentra en el origen de coordenadas:
es decir, que los parámetros h y k son iguales a cero, la ecuación de la parábola de eje horizontal se reduce a la siguiente fórmula:
Siendo las coordendas del foco:
Y la ecuación de la directriz:
Parábola de eje horizontal
Ecuación canónica de la parábola de eje vertical
La ecuación de la parábola con eje vertical, con vértice en el punto V (h,k), se obtiene a partir de calcular la distancia de un punto cualquiera al foco y a la directriz, lo cual tampoco voy a demostrar. Operando y reordenando términos se llega a la siguiente expresión que se corresponde con la ecuación canónica de la parábola de eje vertical:
donde p es el parámetro de la parábola y h y k son las coordenadas del vértice de la parábola horizontal y vertical:
Al igual que con la parábola de eje horizontal, cuando tengamos la ecuación de una parábola, tendremos que expresarla de la misma forma que la fórmula de la ecuación canónica, para calcular los valores de los parámetros p, h y k, con los que podremos obtener las coordenadas del vértice, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
Lo haremos paso a paso en los ejercicios resueltos.
Coordenadas del vértice de la parábola de eje vertical
Una vez expresada la ecuación de la parábola en su forma canónica, se pueden obtener los valores de h y k, que corresponden a las coordenadas del vértice, tal y como hemos indicado en el aparatado anterior:
Coordenadas del foco de la parábola de eje vertical
El foco se encuentra a una distancia de p por encima del vértice el eje y, así que las coordenadas del foco se obtienen sumando p a la coordenada «y» del vértice, manteniendo igual la coordenada x:
Ecuación de la directriz de una parábola de eje vertical
La directriz de una parábola de eje vertical es una recta horizontal que se encuentra a una distancia de p por debajo del vértice. Por tanto, su ecuación se obtiene restando p a la coordenada «y» del vértice:
Ecuación reducida de la parábola de eje vertical
Si el vértice de la parábola se encuentra en el origen de coordenadas:
o en otras palabras, cuando h y k son iguales a cero, la ecuación de la parábola de eje vertical se reduce a la siguiente fórmula:
Las coordenadas del foco son:
Y la directriz tiene la siguiente ecuación:
Ahora vamos a aplicar todo lo explicado hasta aquí resolviendo unos ejercicios paso a paso.
Ejercicios resueltos sobre parábolas de eje horizontal y vertical
Ejercicio 1
Dada la siguiente parábola:
calcular el vértice, el foco y la recta directriz.
La ecuación corresponde con la ecuación reducida de la parábola de eje horizontal, luego el vértice está en el origen de coordenadas:
De la ecuación de la parábola:
podemos obtener el valor de p:
Las coordenadas del foco se obtienen sumando p/2 a la coordenada x del vértice, manteniendo igual la coordenada y:
Cuando el vértice está en el (0,0), las coordenadas del foco son:
Así que en nuestro caso, el foco tiene las siguientes coordenadas:
Por último, la ecuación de la directriz de una parábola de eje horizontal se obtiene restando p/2 a la coordenada x del vértice:
Cuando el vértice está en el (0,0) la directriz tiene la siguiente ecuación:
En nuestro caso, la ecuación de la directriz es:
Ejercicio 2
Calcular las coordenadas del vértice y del foco y la ecuación de la directriz de las siguientes parábolas:
Apartado a:
Como la «y» está elevada al cuadrado, sabemos que se trata de una parábola de eje horizontal, cuyo vértice no está en el origen de coordenadas. Su ecuación canónica general es:
Tenemos que transformar la ecuación de nuestra parábola para que se quede de la misma forma que la ecuación general, con el fin de obtener los valores de k, p y h.
Para ello pasamos el término con x al segundo miembro:
En el primer miembro nos quedan tres términos que se parecen mucho a los términos cuadrado de una resta desarrollado, solo que el término con número no es el que corresponde con los otros dos términos.
Vamos a ver esto más despacio.
Recordamos que la fórmula del cuadrado de una resta es:
Si desarrollamos el primer término de la ecuación general nos queda:
Ahora igualamos el cuadrado de la resta desarrollado al primer miembro de nuestra ecuación:
Los primeros términos de ambos miembros coinciden.
Si igualamos los segundos términos de cada miembro, podemos despejar el valor de k:
Ahora que sabemos el valor de k, vemos por qué el tercer término no es el que corresponde, ya que k al cuadrado no tiene ese valor:
El término correcto de k al cuadrado es:
Una vez que conocemos el valor de k, el primer miembro de nuestra ecuación debe tener los términos de (y-3) al cuadrado desarrollado:
Recordamos que nuestra ecuación está de la siguiente forma:
Tenemos que hacer que en la ecuación aparezca el 9 que necesitamos y para ello, el 17 lo ponemos como la suma de 9+8. De esta forma no hemos cambiado nada de la ecuación y aparece lo que nosotros queremos:
Ahora pasamos el 8 al segundo miembro para que en el primer miembro me queden sólo los términos del cuadrado de una resta:
Y escribimos esos tres término en forma de una resta al cuadrado, para que quede igual que en la fórmula general:
Ahora vamos a obtener los valores de p y h.
En la ecuación canónica general:
eliminamos el paréntesis en el segundo miembro, multiplicando el 2p por cada uno de los términos de su interior:
Ahora igualamos el primer término del segundo miembro de la ecuación general con el primer término del segundo miembro de nuestra ecuación:
Donde podemos eliminar las x y despejar el valor de p:
Ahora igualamos los segundos términos del segundo miembro de ambas ecuaciones:
Sustituimos p por su valor y despejamos h:
Ya sabemos el valor de k, p y h, por lo que pasamos a sustituirlos en la fórmula canónica general:
Hemos transformado la ecuación inicial para que quede igual que la ecuación general.
Ahora ya podemos determinar las coordenadas del vértice, sustituyendo h y k por sus valores:
Las coordenadas del foco las obtenemos sumando p/2 a la coordenada x del vértice, manteniendo igual la coordenada y:
Sustituimos h, p y k por su valor:
Y operamos:
La ecuación de la directriz de una parábola de eje horizontal se obtiene restando p/2 a la coordenada x del vértice:
Sustituimos p y h por su valor:
Y operamos:
Apartado b:
En este caso es la x la que está elevada al cuadrado, por lo que se trata de una parábola de eje vertical y cuyo vértice no está en el origen de coordenadas. Su ecuación canónica general es:
Para obtener los valores de k, p y h, vamos a transformar la ecuación de nuestra parábola para que se quede de la misma forma que la ecuación general.
Pasamos el término con «y» al segundo miembro:
En el primer miembro nos quedan tres términos que se parecen mucho a los términos cuadrado de una resta desarrollado, pero el término con número no es el que corresponde con los otros dos términos.
Desarrollamos el primer término de la ecuación general:
Igualamos el cuadrado de la resta desarrollado al primer miembro de nuestra ecuación:
Los primeros términos de ambos miembros coinciden.
Igualamos los segundos términos de cada miembro y despejamos el valor de h:
Con este valor de h, vemos que h al cuadrado no es igual a menos 5 (además que el cuadrado de un número nunca puede ser negativo):
Calculamos el valor de h al cuadrado:
Así que (x-1) al cuadrado es:
Nuestra ecuación está de la siguiente forma:
Tenemos que hacer que en la ecuación aparezca el 1 que necesitamos, así que el -5 lo escribimos como +1-6:
Pasamos el -6 al segundo miembro para que en el primer miembro me queden sólo los términos del cuadrado de una resta:
Y escribimos el primer miembro en forma de una resta al cuadrado, para que quede igual que en la fórmula general:
Ahora vamos a obtener los valores de p y k.
En la ecuación canónica general:
eliminamos el paréntesis en el segundo miembro, multiplicando el 4p por cada uno de los términos de su interior. Nos queda:
Igualamos el primer término del segundo miembro de la ecuación general con el primer término del segundo miembro de nuestra ecuación:
De donde despejamos el valor de p:
Ahora igualamos los segundos términos del segundo miembro de ambas ecuaciones. Ten cuidado porque en este caso un término es negativo y otro positivo, por lo que debemos tener en cuenta los signos:
Sustituimos p por su valor y despejamos k:
Ya sabemos el valor de k, p y h, por lo que pasamos a sustituirlos en la fórmula canónica general de una parábola de eje vertical:
Una vez transformada nuestra ecuación, ya podemos determinar las coordenadas del vértice, sustituyendo h y k por sus valores:
Las coordenadas del foco las obtenemos sumando p a la coordenada «y» del vértice, manteniendo igual la coordenada x:
Sustituimos h, k y p por su valor y operamos:
La ecuación de la directriz de una parábola de eje vertical se obtiene restando p a la coordenada «y» del vértice:
Sustituimos k y p por su valor y operamos:
Apartado c:
Al igual que el apartado anterior, se trata de una parábola de eje vertical y cuyo vértice no está en el origen de coordenadas, ya que la x está elevada al cuadrado. Su ecuación canónica general es:
Vamos a obtener los valores de k, p y h, transformando la ecuación de la parábola para que se quede de la misma forma que la ecuación canónica general.
Pasamos el término con «y» al segundo miembro:
Como ya sabemos, el término con número no es el que corresponde con los otros dos términos para que formen el cuadrado de una resta.
Desarrollamos el primer término de la ecuación general:
Igualamos el cuadrado de la resta desarrollado al primer miembro de nuestra ecuación:
Igualando los segundos términos de cada miembro, despejamos el valor de h:
y calculamos el valor de h al cuadrado:
Tenemos que (x-3) al cuadrado es igual a:
Hasta este punto, nuestra ecuación tiene la siguiente forma:
Para que en la ecuación aparezca el 9 que necesitamos, escribimos el 11 como 9+2:
Ahora pasamos el 2 al segundo miembro, ya que es el término que no pertenece a los términos del cuadrado de una resta:
Y el primer miembro lo escribimos en forma de una resta al cuadrado, igual que en la fórmula canónica general:
Ahora vamos a obtener los valores de p y k.
En la ecuación canónica general:
eliminamos el paréntesis del segundo miembro:
Igualamos los primeros términos de los segundos miembros de la ecuación general y de nuestra ecuación:
y despejamos el valor de p:
Igualamos los segundos términos del segundo miembro de ambas ecuaciones:
Sustituimos p por su valor y despejamos k:
Ya tenemos los valores de k, p y h, por lo que pasamos a sustituirlos en la fórmula canónica general de una parábola de eje vertical:
Ya tenemos transformada nuestra ecuación, así que ya podemos obtener las coordenadas del vértice, sustituyendo h y k por sus valores:
Las coordenadas del foco las obtenemos sumando p a la coordenada «y» del vértice, manteniendo igual la coordenada x:
Sustituimos h, k y p por su valor y operamos:
La ecuación de la directriz de una parábola de eje vertical se obtiene restando p a la coordenada «y» del vértice:
Finalmente, sustituimos k y p por su valor y operamos:
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