Ecuaciones de segundo grado con paréntesis. Ejercicios resueltos

Normalmente, es muy difícil que te encuentres las ecuaciones de segundo grado ya simplificadas y a punto de aplicar el método de resolución. En la mayoría de ejercicios y problemas, vas a tener que simplificar las ecuaciones para poder resolverlas. En este post me voy a centrar en explicarte cómo resolver ecuaciones de segundo grado con paréntesis.

Para seguir aprendiendo cómo resolver ecuaciones de segundo grado, puedes consultar el Curso de Ecuaciones de Segundo Grado.

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Cómo eliminar los paréntesis en las ecuaciones de segundo grado

Vamos a empezar a ver cómo podemos simplificarlas centrándonos en los paréntesis en las ecuaciones de segundo grado.

¿Cómo eliminar los paréntesis? Vamos a estudiar los casos que nos podemos encontrar:

Delante del paréntesis hay un número

Cuando delante del paréntesis tenemos un número, este número, incluido su signo, multiplica a todos los términos que contiene el paréntesis. Por ejemplo:

parentesis-2-grado-1

Empezamos multiplicando el término con x². Para hacerlo, se multiplica el número por la parte literal del término con x². El x² no se ve afectado. Te recuerdo que cuando un término tiene variables, como en este caso, que tenemos x², se multiplican los números por un lado y las variables por otro:

parentesis-2-grado-2

Para multiplicar el término con x hacemos lo mismo: se multiplica el número por la parte literal del término y la x no se ve afectada:

parentesis-2-grado-3

Y por último multiplicamos los números:

parentesis-2-grado-4

Fíjate como en todos los casos hay que tener en cuenta los signos.

Haciéndolo así ya tendríamos resuelto el paréntesis.

Si dentro del paréntesis no tenemos término con x², multiplicamos el término con x y el término sin x, tal y como acabamos de explicar:

parentesis-2-grado-5

Va a ser muy frecuente, que nos encontremos un signo menos delante del paréntesis:

parentesis-10

Tener un signo menos delante del paréntesis es equivalente a que ese paréntesis este multiplicado por -1:

parentesis-12

Por tanto, al igual que antes, se multiplica por un lado el término con x:

parentesis-13

Y por otro el término sin x:

parentesis-14

Existe una regla más directa cuando tenemos un signo menos delante que es la siguiente:

Cuando hay un signo menos delante de un paréntesis, cambia de signo a los términos que estén dentro del paréntesis

Por tanto, para resolver el paréntesis, directamente quitamos el paréntesis y le cambiamos el signo a lo de dentro:

parentesis-11

El resultado, como no podía ser de otra forma, es el mismo que cuando lo hemos hecho paso a paso.

Otro caso parecido es cuando tenemos un signo más delante o no tenemos nada (que es lo mismo que si tenemos un signo más):

Si nos fijamos sólo en el paréntesis:parentesis-16

Tener un signo más delante del paréntesis equivale a que ese paréntesis esté multiplicado por 1:

parentesis-17

En este caso, existe también una regla más directa que es:

Cuando hay un signo más delante de un paréntesis, los términos que están dentro del paréntesis se quedan igual

Por tanto, para resolver el paréntesis, directamente quitamos el paréntesis y dejamos igual lo que tenía dentro:

parentesis-20

Delante del paréntesis hay un término con x

En este caso vamos a tener que multiplicar 2 términos con variable, es decir, un término con x por otro término con x.

Como ya hemos dicho antes, los números se multiplican por un lado y las x por otro lado.

Cuando multiplicamos las x, estamos multiplicando potencias con la misma base, por lo que se mantiene la base y se suman los exponentes:

parentesis-2-grado-6

Vamos a verlo con un ejemplo:

parentesis-2-grado-8

Debemos multiplicar el término con x por cada uno de los términos que están dentro del paréntesis.

Empezamos con el término con x. Se multiplica por un lado los números y por otro las x:

parentesis-2-grado-9

Y ahora el término sin x:

parentesis-2-grado-10

El paréntesis puede estar multiplicado sólo por una x. Cuando la x está sola te recuerdo que es como si llevar un 1 delante.

parentesis-2-grado-11

Es el caso contrario a cuando sacábamos factor común para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas.

También puede estar multiplicado por -x:

parentesis-2-grado-12

Como puedes ver, siempre es lo mismo: Multiplicar lo que esté delante del paréntesis por todos los términos de su interior y cuando multiplicamos entre términos, se multiplican por un lado los números y por otro las x.

Vamos a aplicarlo en ecuaciones ecuaciones de segundo grado con paréntesis

Cómo resolver ecuaciones de segundo grado con paréntesis

Cuando tengamos que resolver una ecuación, a priori, no tenemos que saber si es de segundo grado y menos aún si es completa o incompleta.

Por eso, el primer paso es eliminar los paréntesis y después simplificar para identificar qué tipo de ecuación se nos queda.

En general, estos son los paso a seguir:

1 – Eliminar paréntesis

2 – Mover todos los términos al primer miembro

3 – Simplificar

4 – Resolver la ecuación de segundo grado resultante

Vamos a verlo con un ejemplo:

parentesis-2-grado-13

Tenemos una ecuación en la que no podemos saber su grado directamente.

El primer paso es eliminar los paréntesis. Lo hacemos como hemos explicado anteriormente:

parentesis-2-grado-14

Ya no tenemos paréntesis. Ahora si podemos identificar que la ecuación es de segundo grado.

El siguiente paso es llevar todos los términos al primer miembro:

parentesis-2-grado-15

Y ahora simplificamos agrupando términos semejantes: agrupamos los términos con x² por un lado, los términos con x por otro lado y los números por otro y queda:

parentesis-2-grado-16

Que es una ecuación de segundo grado incompleta, que le falta el número (o término independiente), la cual pasamos a resolver y obtenemos sus dos soluciones:

parentesis-2-grado-17

Otro ejemplo:

parentesis-2-grado-18

1 – Eliminamos paréntesis:

parentesis-2-grado-19

2 – Pasamos todos los términos al primer miembro:

parentesis-2-grado-20

3 – Simplificamos:

parentesis-2-grado-21

Nos ha quedado una ecuación de segundo grado completa.

4 – Resolvemos la ecuación de segundo grado:

parentesis-2-grado-22

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado con paréntesis

Resuelve las siguientes ecuaciones:

parentesis-2-grado-23

Solución

parentesis-2-grado-24

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parentesis-2-grado-26

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