Normalmente, es muy difícil que te encuentres las ecuaciones de segundo grado ya simplificadas y a punto de aplicar el método de resolución. En la mayoría de ejercicios y problemas, vas a tener que simplificar las ecuaciones para poder resolverlas. En este post me voy a centrar en explicarte cómo resolver ecuaciones de segundo grado con paréntesis.
Para seguir aprendiendo cómo resolver ecuaciones de segundo grado, puedes consultar el Curso de Ecuaciones de Segundo Grado.
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Índice de Contenidos
Cómo eliminar los paréntesis en las ecuaciones de segundo grado
Vamos a empezar a ver cómo podemos simplificarlas centrándonos en los paréntesis en las ecuaciones de segundo grado.
¿Cómo eliminar los paréntesis? Vamos a estudiar los casos que nos podemos encontrar:
Delante del paréntesis hay un número
Cuando delante del paréntesis tenemos un número, este número, incluido su signo, multiplica a todos los términos que contiene el paréntesis. Por ejemplo:
Empezamos multiplicando el término con x². Para hacerlo, se multiplica el número por la parte literal del término con x². El x² no se ve afectado. Te recuerdo que cuando un término tiene variables, como en este caso, que tenemos x², se multiplican los números por un lado y las variables por otro:
Para multiplicar el término con x hacemos lo mismo: se multiplica el número por la parte literal del término y la x no se ve afectada:
Y por último multiplicamos los números:
Fíjate como en todos los casos hay que tener en cuenta los signos.
Haciéndolo así ya tendríamos resuelto el paréntesis.
Si dentro del paréntesis no tenemos término con x², multiplicamos el término con x y el término sin x, tal y como acabamos de explicar:
Va a ser muy frecuente, que nos encontremos un signo menos delante del paréntesis:
Tener un signo menos delante del paréntesis es equivalente a que ese paréntesis este multiplicado por -1:
Por tanto, al igual que antes, se multiplica por un lado el término con x:
Y por otro el término sin x:
Existe una regla más directa cuando tenemos un signo menos delante que es la siguiente:
Por tanto, para resolver el paréntesis, directamente quitamos el paréntesis y le cambiamos el signo a lo de dentro:
El resultado, como no podía ser de otra forma, es el mismo que cuando lo hemos hecho paso a paso.
Otro caso parecido es cuando tenemos un signo más delante o no tenemos nada (que es lo mismo que si tenemos un signo más):
Si nos fijamos sólo en el paréntesis:
Tener un signo más delante del paréntesis equivale a que ese paréntesis esté multiplicado por 1:
En este caso, existe también una regla más directa que es:
Por tanto, para resolver el paréntesis, directamente quitamos el paréntesis y dejamos igual lo que tenía dentro:
Delante del paréntesis hay un término con x
En este caso vamos a tener que multiplicar 2 términos con variable, es decir, un término con x por otro término con x.
Como ya hemos dicho antes, los números se multiplican por un lado y las x por otro lado.
Cuando multiplicamos las x, estamos multiplicando potencias con la misma base, por lo que se mantiene la base y se suman los exponentes:
Vamos a verlo con un ejemplo:
Debemos multiplicar el término con x por cada uno de los términos que están dentro del paréntesis.
Empezamos con el término con x. Se multiplica por un lado los números y por otro las x:
Y ahora el término sin x:
El paréntesis puede estar multiplicado sólo por una x. Cuando la x está sola te recuerdo que es como si llevar un 1 delante.
Es el caso contrario a cuando sacábamos factor común para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas.
También puede estar multiplicado por -x:
Como puedes ver, siempre es lo mismo: Multiplicar lo que esté delante del paréntesis por todos los términos de su interior y cuando multiplicamos entre términos, se multiplican por un lado los números y por otro las x.
Vamos a aplicarlo en ecuaciones ecuaciones de segundo grado con paréntesis
Cómo resolver ecuaciones de segundo grado con paréntesis
Cuando tengamos que resolver una ecuación, a priori, no tenemos que saber si es de segundo grado y menos aún si es completa o incompleta.
Por eso, el primer paso es eliminar los paréntesis y después simplificar para identificar qué tipo de ecuación se nos queda.
En general, estos son los paso a seguir:
1 – Eliminar paréntesis
2 – Mover todos los términos al primer miembro
3 – Simplificar
4 – Resolver la ecuación de segundo grado resultante
Vamos a verlo con un ejemplo:
Tenemos una ecuación en la que no podemos saber su grado directamente.
El primer paso es eliminar los paréntesis. Lo hacemos como hemos explicado anteriormente:
Ya no tenemos paréntesis. Ahora si podemos identificar que la ecuación es de segundo grado.
El siguiente paso es llevar todos los términos al primer miembro:
Y ahora simplificamos agrupando términos semejantes: agrupamos los términos con x² por un lado, los términos con x por otro lado y los números por otro y queda:
Que es una ecuación de segundo grado incompleta, que le falta el número (o término independiente), la cual pasamos a resolver y obtenemos sus dos soluciones:
Otro ejemplo:
1 – Eliminamos paréntesis:
2 – Pasamos todos los términos al primer miembro:
3 – Simplificamos:
Nos ha quedado una ecuación de segundo grado completa.
4 – Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado con paréntesis
Resuelve las siguientes ecuaciones:
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