Ecuaciones trigonométricas resueltas paso a paso. 1º bachillerato

Aplicamos la función inversa del seno, que con la calculadora, obtenemos un resultado de 60º:

Así que la función del interior del seno será igual a 60º más sus vueltas:

Vamos a despejar la x.

Pasamos el 30º del primer miembro restando al segundo miembro:

Operamos;

Y pasamos el 2 que multiplica a la x dividiendo al segundo miembro:

Separamos la fracción en dos términos:

Y operamos en cada término para obtener una de las soluciones de la ecuación trigonométrica:

Damos valores a la k para obtener los ángulos de la primera vuelta:

Por otro lado, otro ángulo que también tiene un valor del seno igual a √3/2 es 120º, que se encuentra en el segundo cuadrante donde el seno es positivo:

Igual que antes, igualamos la función del interior del seno a 120º y operamos hasta despejar la x:

Y finalmente damos valores a la k para obtener los ángulos de la primera vuelta:

En esta ecuación vamos a expresar todos lus términos con cosenos (también lo podríamos hacer con senos, ya que en este caso da igual). Así que, tenemos que transformar el seno en coseno.

Para ello, en la fórmula de la relación fundamental de trigonometría:

Despejamos el seno al cuadrado:

Y después despejamos el seno pasando el cuadrado como raíz cuadrada al miembro contrario:

En nuestra ecuación, sustituimos el seno por la expresión que acabamos de obtener:

Nos queda una ecuación con una raíz cuadrada. Para resolverla, dejamos el término con la raíz solo en el primer miembro:

Y elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz:

Operamos en ambos miembros:

Pasamos todos los términos al primer miembro y agrupamos términos semejantes:

Simplificamos la ecuación dividiendo entre dos:

Sacamos factor común al coseno de x:

Por un lado nos queda:

De donde obtenemos dos soluciones:

Y por otro lado tenemos:

Despejamos el coseno de x:

Obteniendo otra solución más:

Si no llegamos a tener una raíz en la ecuación, ya habríamos resuelto la ecuación, pero al elevar al cuadrado la ecuación, hemos creado una solución virtual que no es solución de la ecuación. Para detectarla, no nos queda más remedio que sustituir cada solución en la ecuación y comprobar si se cumple la igualdad.

Con x=90º, se cumple la igualdad, luego x=90º es solución de la ecuación:

Con x=270º, se cumple la igualdad, luego x=270º no es solución de la ecuación:

Con x=0º, se cumple la igualdad, luego x=0º es solución de la ecuación:

Hemos comprobado que x=270º es la solución virtual que no es solución de la ecuación, luego las soluciones de la ecuación son:

En esta ecuación vamos a expresar todos los términos en senos, ya que tenemos coseno al cuadrado de x, que es más fácil de despejar de la fórmula de la relación fundamental de la trigonometría:

Sustituimos coseno al cuadrado por su valor en la ecuación:

Eliminamos el paréntesis y pasamos todos los términos al primer miembro:

Agrupamos términos semejantes y operamos:

Realizamos un cambio de variable:

Resolvemos la ecuación se segundo grado:

De la primera solución nos queda:

La cual no es válida ya que el valor del seno de x se encuentra entre -1 y 1:

De la segunda solución:

Despejamos la x, obteniendo las dos soluciones de la ecuación:

Depejamos el seno de x:

Nos quedan dos soluciones:

De la primera solución:

Depejamos x y nos queda:

Y de la segunda solución:

Volvemos a despejar la x:

Tenemos el seno de 2x. Para transformar el 2x y convertirlo en x igual que el resto de funciones trigonométricas de la ecuación, aplicamos la fórmula del seno del doble de un ángulo:

Sustituimos el seno de 2x en la ecuación:

Operamos:

De la fórmula de la relación fundamental de la trigonometría:

Despejamos el coseno al cuadrado:

Y el resultado lo sustituimos en la ecuación:

Operamos para eliminar el paréntesis y pasamos todos los términos al primer miembro:

Agrupamos términos semejantes:

Sacamos factor común:

Por un lado nos queda:

De donde despejamos el seno:

Y obtenemos dos soluciones:

Por otro lado nos queda:

Despejamos el seno:

Cuyas soluciones son:

De la primera solución:

Obtenemos dos soluciones más de la ecuación:

Y de la segunda solución:

Obtenemos las últimas dos soluciones:

En este caso tenemos 4x dentro del seno del primer miembro y 2x dentro del seno del segundo miembro. Podemos escribir el 4x como 2.2x para expresarlo en función de 2x:

Y poder aplicar también la fórmula del seno del doble de un ángulo:

Que en nuestro caso sería:

Sustituimos sen de 2.2x por la expresión anterior:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

Sacamos factor común:

Por un lado nos queda:

Y por otro lado nos queda:

De donde despejamos el coseno de 2x:

Del primer resultado de sacar factor común:

Despejamos 2x, cuyo resultado con la calculadora es:

Igualamos 2x al ángulo obtenido:

Despejamos x:

Y obtenemos los resultados de la primera vuelta:

El otro ánguo cuyo valor del seno es 0 es 180º:

Igualamos 2x al ángulo:

Despejamos x:

Y obtenemos los resultados de la primera vuelta:

Del segundo resultado de sacar factor común:

Despejamos 2x, cuyo resultado con la calculadora es:

Igualamos 2x al ángulo:

Despejamos x:

Y obtenemos los resultados de la primera vuelta:

El otro ánguo cuyo valor del coseno es1/2 es 300º:

Igualamos 2x al ángulo:

Despejamos x:

Y obtenemos los resultados de la primera vuelta:

Sabemos que la contangente es la inversa de la tangente:

En la ecuación, sustituimos la contangente por la expresión anterior:

Obtenemos denominador común que es tangente de x:

Eliminamos denominadores:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

Realizamos un cambio de variable:

Nos queda la siguiente ecuación:

La resolvemos:

Nos queda una solución doble.

Deshacemos el cambio de variable:

Y despejamos x para obtener las dos soluciones de la ecuación:

Sabemos que la fórmula del coseno del doble de un ángulo es:

Si te das cuenta, el segundo miembro de la fórmula es igual al primer miembro de la ecuación, por lo que lo sustituimos por cos 2x:

Ahora despejamos 2x, cuyo resultado con la calculadora es:

Igualamos 2x al ángulo:

Despejamos x:

Y obtenemos las soluciones de la primera vuelta:

El otro ángulo cuyo coseno es igual a 1/2 es 300º:

Igualamos 2x al ángulo:

Despejamos x:

Y obtenemos las soluciones de la primera vuelta:

En el primer miembro aplicamos la fórmula del seno del doble de un ángulo:

Y la tangente sabemos que es seno entre coseno:

Sustituimos ambas expresiones en nuestra ecuación:

Pasamos el coseno de x del denominador del segundo miembro multiplicando al primer miembro:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

Sacamos factor común:

Por un lado tenemos:

Y por otro:

De donde despejamos el coseno de x:

De la primera ecuación obtenida a partir de sacar factor común:

Despejamos x y obtenemos dos soluciones de la ecuación:

De la segunda ecuación obtenida a partir de sacar factor común:

Nos quedan dos soluciones:

De la primera solución:

Depejamos x y nos queda:

Y de la segunda solución:

Volvemos a despejar la x:

De la fórmula de la relación fundamental de la trigonometría:

Despejamos el coseno de x al cuadrado:

Y el resultado lo sustituimos en la ecuación:

Multiplicamos para eliminar el paréntesis en ambos miembros:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

Operamos y agrupamos términos semejantes:

Hacemos un cambio de variable:

Resolvemos la ecuación:

Cuyas soluciones son:

De la primera solución tenemos:

De donde obtenemos una solución de la ecuación:

De la segunda solución tenemos:

Y despejando la x obtenemos otras dos soluciones de la ecuación:

Aplicamos la fórmula de la tangente:

Que al sustituir y elevar al cuadrado nos queda:

Obtenemos denominador común:

Eliminamos denominadores:

De la fórmula de la relación fundamental de la trigonometría:

Despejamos el seno al cuadrado:

Y el resultado lo sustituimos en la ecuación:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

Agrupamos términos semejantes:

Realizamos un cambio de variable:

Resolvemos la ecuación:

De la primera solución de la ecuación de segundo grado:

Despejamos x:

De la segunda solución de la ecuación de segundo grado:

Despejamos x:

De la fórmula de la relación fundamental de la trigonometría:

Despejamos el coseno de x al cuadrado:

Y el resultado lo sustituimos en la ecuación:

Multiplicamos para eliminar el paréntesis:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

Operamos y agrupamos términos semejantes:

Hacemos un cambio de variable:

Resolvemos la ecuación:

Cuyas soluciones son:

De la primera solución de la ecuación de segundo grado tenemos:

Despejamos x:

De la segunda solución de la ecuación de segundo grado tenemos:

La cual no es válida ya que el valor del seno de x se encuentra entre -1 y 1: