Ejercicios de determinantes resueltos de examen de selectividad y EBAU paso a paso

A continuación vamos a ir resolviendo paso a paso una serie de ejercicios de determinantes resueltos de examen de selectividad, PAU o EBAU, mientras te voy indicando qué conceptos necesitas saber.

¡Vamos allá!

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver y necesitas clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Ejercicio 1 – Examen selectividad Canarias, Junio 2007, opción A, cuestión 3

Conocido el valor del siguiente determinante:

calcula el valor de este otro determinante:

Para realizar este ejercicio debes tener muy claras las propiedades de los determinantes.

Partimos del determinante que queremos calcular:

El objetivo es ir transformando este determinantes para que se parezca al determinante del que tenemos su valor. Para ello, en primer lugar podemos extraer fuera del determinante el 5 que es común en la fila 1:

Ahora, podemos extraer el -1, ya que es común en la columna 2:

Ya tenemos las filas 1 y 3 igual que el determinante del enunciado, falta por trasformar la fila 2, que lo conseguimos multiplicando la fila 2 por el 5 que tenemos fuera.

Como sabemos el valor de ese determinante, sólo hemos tenido que sustituir el determinante por su valor y ya lo tenemos.

Ejercicio 2 – Examen selectividad Navarra, Junio 2006, grupo 1, opción B

Halla el valor de «a» para que la matriz A no sea regular:

¿Qué quiere decir que una matriz es regular o no?

Una matriz es regular cuando su determinante es distinto de 0, por tanto, una matriz no será regular si su determinante es igual a 0:

Vamos a calcular el determinante de A:

Se trata de un determinante de orden 4. Tienes explicado en esta lección como calcular este tipo de determinantes. Si no tienes claro cómo calcularlo, te aconsejo que le eches un vistazo a esa lección y después sigas leyendo para entender mejor los pasos.

Para no tener que multiplicar cada elemento de una fila o columna por su adjunto, lo que voy a hacer es convertir todos los elementos a cero, menos el primero y de esa forma, sólo tendré que multiplicar el primer elemento por su adjunto.

Para conseguirlo, a la fila 2 le resto la fila 1 y el resultado lo dejo en la fila 2:

Y a la fila 4 le sumo la fila 1, dejando el resultado en la fila 4:

El determinante nos queda:

Ahora multiplico el primer elemento de la primera fila por su adjunto (si lo necesitas, puedes consultar la lección donde explico qué es el adjunto de un elemento):

Ahora tenemos que calcular el determinante de orden 3 que nos ha quedado. Lo voy a seguir calculándolo con el mismo método que estamos utilizando, pero también puedes utilizar la regla de Sarrus si lo deseas.

En la primera columna, voy a convertir los primeros 2 elementos a 0, para lo cual, a la fila 1 le sumo la fila 3:

Y a la fila 2 le resto la fila 3:

El determinante nos queda:

Ahora multiplico el tercer elemento de la primera columna por su adjunto:

Por último nos queda por resolver el determinante de orden 2 resultante, que debe ser igual a cero, para que el valor del determinante original sea igual a  cero:

Ahora sí, aplicamos la regla de Sarrus para desarrollarlo:

Finalmente operamos y despejamos el valor de «a»:

Por tanto, cuando «a» es igual a -2, el determinante de A será igual a 0 y por tanto la matriz A no será regular.

Ejercicio 3 – Examen selectividad La Rioja, Junio 2003, propuesta A, ejercicio 1

Obtener el valor de «a» para que el rango de la matriz A sea igual a 2:

Para realizar este ejercicio debes tener muy claro qué es y cómo calcular el rango una matriz con determinantes.

El rango de la matriz A será igual a 2 si todos los determinantes de las submatrices de orden 3 que están contenidas en ella son iguales a cero.

Para empezar, vamos a calcular el determinante de la submatriz de orden 3 formada por las columnas 1, 2 y 3, que no depende del parámetro «a», ya que si esta submatriz no tiene el determinante igual a 0, el rango de la matriz A será igual a 3 sea cual sea el valor de «a»:

Calculamos el determinante utilizando la regla de Sarrus:

Es igual a 0, luego debemos seguir calculando el resto de determinantes de las submatrices y hacer que sean iguales a 0.

Seguimos con el determinante de la submatriz formada por las columnas 1, 2 y 4. Como el valor de este determinante depende del parámetro «a», lo igualamos a 0 para poder calcular el valor de «a»:

Desarrollamos el determinante aplicando la regla de Sarrus y el resultado lo igualamos a 0:

Operamos y despejamos «a»:

Es decir, cuando a=-1, el valor de este determinante será igual a 0.

Por último, vamos a calcular el determinante de la submatriz formada por las columnas 2, 3 y 4, que también depende del parámetro «a», para comprobar que el valor de «a» que acabamos de calcular es válido:

Desarrollamos el determinante:

Calculamos y despejamos «a»:

Hemos obtenido también que cuando a=-1, el determinante de esta submatriz es igual a 0.

Por tanto, podemos decir que cuando «a» es igual a -1, los determinantes de todas las submatrices de orden 3 son iguales a cero. Por tanto, si cuando a=-1, encontramos una submatriz de orden 2, que sea distinta de cero, entonces el rango de la matriz será 2.

Elegimos la submatriz de orden 2 formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2, cuyo determinante es:

El determinante es distinto de cero, luego el rango de A es igual a 2, cuando a=-1:

Ejercicio 4 – Examen selectividad Castilla-La Mancha, Junio 2003, bloque 1, pregunta B

Utiliza las propiedades de los determinantes para desarrollar el siguiente determinante:

Vamos a aplicar las propiedades de los determinantes para realizar este ejercicio. Debes tenerlas muy claras para poder entender todos los pasos para resolver este ejercicio.

En primer lugar, tenemos que la x es común en la primera columna, luego la podemos extraer fuera y dividir esa columna entre x:

Ahora, voy a transformar los elementos de la primera columna para que me quede un 1 en el primer elemento y que el resto de elementos sean 0. Este paso lo hago para después calcular el determinante, como ese elemento por su adjunto y no será necesario multiplicar el resto de elementos por sus adjuntos ya que son iguales a 0.

Para ello, a la segunda fila le resto la primera fila y dejo el resultado en la segunda fila:

Y a la fila 3 le resto la fila 1:

El determinante me queda:

Su resultado es igual a cero, ya que tengo 2 filas iguales y una de las propiedades de los determinantes me indica que al tener dos filas o columnas iguales, su determinante es igual a cero.

Ejercicio 5 – Examen selectividad Canarias, Septiembre 2006, opción B, cuestión 3

Hallar los valores de k para que la matriz A:

a) No tenga inversa

b) Tenga rango 3

Apartado a: Hallar el valor de k para que A no tenga inversa

Para que la matriz A no tenga inversa, el determinante debe ser igual a cero:

Por tanto, lo que tenemos que hacer es calcular el determinante de A:

Como es de orden 4 lo vamos a calcular mediante los elementos de una línea.

Empezamos haciendo 0 los elementos de la primera columna menos el primero. Para conseguirlo, a la fila 2 le sumamos la fila 1:

A la fila 3 le sumamos la fila 1:

Y a la fila 4 le sumamos la fila 1:

El determinante queda:

Ahora multiplicamos el primer elemento de la primera columna por su adjunto:

El -3 es común en la primera fila, luego podemos extraerlo fuera del determinante y esa fila dividirla entre -3:

Ahora debemos desarrollar el determinante de orden 3 que nos ha quedado. Lo desarrollaré siguiendo el mismo procedimiento que en el determinante de orden 4.

En la tercera columna, voy a hacer que el primer elementos se quede como está y el resto de elementos sean 0. Para ello, a la segunda fila le sumo 7 veces la primera fila:

Y a la fila 3 le sumo 7 veces la fila 1:

El determinante queda:

Ahora, multiplico el primer elemento de la tercera columna (que al ser un 1 no lo escribo) por su adjunto:

El determinante de orden 2 que me queda lo desarrollo con la regla de Sarrus:

Opero dentro de los corchetes:

Simplifico el paréntesis:

Y finalmente saco una k como factor común:

Recordamos que para que la matriz A no tenga inversa, su determinante debe ser igual a 0:

Por tanto, igualamos la expresión anterior a 0:

Y despejamos k:

Luego si k=0 o k=3, el determinante de A es igual a 0 y por tanto no tiene inversa.

Apartado b: Hallar el valor de k para que A tenga rango 3:

En el apartado anterior hemos visto que cuando k=0 y k=3, el determinante de A es igual a 0, luego en ese caso, su rango va a ser menor a 4.

Por tanto, para cada caso, debemos encontrar una submatriz de orden 3 cuyo determinante sea distinto de cero para que el rango de la matriz A sea 3.

Cuando k=0, elegimos la submatriz formada por las filas 1, 2 y 3 y las columnas 2, 3 y 4, cuyo determinante es:

El determinante es distinto de 0, luego el rango de la matriz A cuando k=0 es igual a 3:

Hacemos lo mismo cuando k=3. Elegimos la submatriz formada por las filas 1, 2 y 3 y las columnas 2, 3 y 4, cuyo determinante es:

El determinante es distinto de 0, luego el rango de la matriz A cuando k=3 es igual a 3:

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