Ejercicios de matrices resueltos de examen de selectividad y EBAU paso a paso

A continuación te voy a dejar una selección de ejercicios de matrices resueltos de examen de selectividad, PAU o EBAU.

Al mismo tiempo te voy indicando qué conceptos necesitas saber para entenderlos.

¡Empezamos!

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver y necesitas clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Ejercicio 1 – Examen selectividad Cataluña, Junio 2006, cuestión 3

Dadas las siguientes matrices:

a) Calcular A.B y B.A

b) Comprobar que (A+B)²=A²+B²

Empezamos calculando A.B, para ello debes tener muy claro cómo realizar la multiplicación de matrices:

Multiplicamos las filas de A por las columnas de B y operamos:

El resultado es:

Ahora multiplicamos B.A:

Multiplicamos las filas de B por las columnas de A y operamos:

El resultado de multiplicar B.A es:

Por otro lado nos piden demostrar que la siguiente igualdad se cumple:

Vamos a demostrarlo desarrollando el primer miembro de la igualdad:

No he desarrollado el paréntesis como un producto notable, para que veas más claro que te quedan el término A.B por un lado y B.A por otro lado al multiplicar los paréntesis.

Del apartado anterior, tenemos los valores de las matrices A.B y B.A:

Y si te das cuenta B.A tiene el mismo valor que A.B, pero con los signos cambiados, luego:

Si sustituimos A.B por -B.A en el desarrollo del cuadrado de A+B nos queda:

Donde se ve más claro que -B.A+B.A se anulan y queda:

Por lo que queda demostrado que:

Ejercicio 2 – Examen selectividad Castilla y León, Septiembre 2005, cuestión 2

Discute el rango de la siguiente matriz según el valor de a:

En este ejercicio debemos calcular el rango de la matriz en función del parámetro «a», por lo que es necesario que sepas cómo calcular el rango de una matriz.

Para ello, tenemos que triangular la matriz, es decir, que por debajo de la diagonal principal, todos sus elementos sea cero.

Empezamos haciendo cero el segundo elemento de la primera columna, restando 2 veces la fila 1 a la fila 2 y dejando el resultado en la fila 2:

La matriz queda:

Ya tenemos ceros en el segundo y el tercer elemento de la primera columna. Para terminar la triangulación, nos falta hacer cero el tercer elemento de la segunda columna.

Para conseguirlo, a la fila 3, le sumamos 1/3 la fila 2 y dejamos el resultado en la fila 3:

Lo hacemos así porque como en el primer elemento de la fila 2 tenemos un cero, al operar con la fila 3, el resultado no variará, ya que como tenemos otro cero, no queremos que cambie.

La matriz queda:

Ya tenemos triangulada la matriz. Lo que buscamos es ver en qué casos todos los elementos de la tercera fila son ceros.

Tenemos dos casos:

Si el tercer elemento de la fila 3 es cero, entonces, nos queda todos los elementos de la fila 3 son cero y por tanto, la matriz tendría dos vectores linealmente independientes, por lo que el rango es 2. Este caso se da cuando «a» es igual a -1/3:

Si el tercer elemento de la fila 3 es distinto de cero, es decir, para cualquier valor de «a» que sea distinto de -1/3, la matriz tiene tres vectores linealmente independientes, ya que ninguno de ellos tiene todos sus elementos iguales a cero y por tanto el rango de la matriz es 3:

Ejercicio 3 – Examen selectividad Andalucía, Junio 2000, opción A, ejercicio 4

Dada la siguiente matriz:

Calcula:

Para resolver este ejercicio es muy importante dominar perfectamente las operaciones con matrices, como la suma y la resta de matrices y la multiplicación de matrices. También es fundamental saber calcular la inversa de una matriz.

En primer lugar vamos a desarrollar el paréntesis, multiplicando dos veces el contenido del paréntesis:

En la parte derecha de la expresión, nos queda multiplicada la matriz A por su inversa y eso es igual a la matriz identidad:

Sustituimos esas dos matrices por la matriz identidad, que es igual a multiplicar por 1 con los números, por lo que podemos eliminarla en la expresión:

Por tanto, la expresión queda reducida a multiplicar la traspuesta de A, por su inversa y de nuevo por la traspuesta.

Por un lado, calculamos la traspuesta de A:

Y por otro vamos a calcular la inversa, por el método de Gauss-Jordan:

Empezamos haciendo cero el segundo elemento de la primera fila y para ello a la fila 2 le restamos 3 veces la fila 1, dejando el resultado en la fila 2:

La matriz queda:

Ahora vamos a hacer cero el primer elemento de la segunda columna, sumando la fila 1 más la fila 2 y dejando el resultado en la fila 1:

La matriz queda:

Finalmente, debemos hacer 1 el segundo elemento de la segunda columna y para conseguirlo, multiplicamos la segunda fila por -1/2:

La matriz queda:

Las columnas que quedan en la parte derecha de la matriz corresponden con la inversa de la matriz que es:

Una vez sabemos el valor de la matriz traspuesta y de la matriz inversa, procedemos a calcular la expresión:

Debemos multiplicar las matrices de dos en dos empezando por la izquierda, por lo que empezamos multiplicando la matriz traspuesta por la matriz inversa:

El resultado lo multiplicamos por la matriz traspuesta quedando:

Ejercicio 4 – Examen selectividad Madrid, Junio 2005, opción B, ejercicio 2

Hallar la matriz X:

Siendo A y B:

En este ejercicio, además de saber despejar la x en ecuaciones matriciales, debes dominar las operaciones con matrices, como la suma y la resta de matrices y la multiplicación de matrices. También es fundamental saber calcular la inversa de una matriz.

Vamos a empezar a despejar la matriz X:

El término que contiene la matriz X ya está sólo en el primer miembro. Multiplicamos por A por la izquierda ambos miembros:

Al multiplicar por A por la izquierda, nos queda la matriz X multiplicada por la matriz identidad I, ya que:

Por tanto, la matriz identidad desaparece y nos queda:

Ahora multiplicamos por la inversa de A por la derecha ambos miembros:

Igual que antes, la matriz A por su inversa desaparece en el primer miembro y nos queda despejada la matriz X:

Tenemos las matrices A y B, pero nos falta saber el valor de la matriz inversa de A, por lo que procedemos a calcularla:

El primer paso es conseguir que en el primer elemento de la primera fila haya un 1. Para ello, dividimos la primera fila entre 3:

Nos queda:

Para conseguir un cero en el segundo elemento de la primera columna, a la fila 2 le sumamos la fila 1 multiplicada por 2 y el resultado lo dejamos en la fila 2:

La matriz queda:

Ahora vamos a hacer que el primer elemento de la segunda fila sea un cero. Sumamos la fila 1 más la fila 2 y dejamos el resultado en la fila 1:

Nos queda:

Finalmente, multiplicamos la fila 2 por -3 para tener un 1 en el segundo elemento de la segunda columna:

La matriz queda:

La columnas de la parte derecha corresponden a la inversa de A:

Ahora ya podemos determinar el valor de la matriz X:

Sustituimos cada matriz por su valor:

Multiplicamos A por B:

Y el resultado lo multiplicamos por la inversa de A:

Ejercicio 5 – Examen selectividad Asturias, Septiembre 2007, bloque 1

Sea la matriz A:

a) Comprueba que se verifica la siguiente expresión:

b) Calcula

c) Basándote en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas, halla la matriz X que verifica la siguiente igualdad:

Vamos a comprobar si la siguiente expresión es cierta:

Debemos calcular el valor de A elevada al cubo.

Para ello empezamos calculando A al cuadrado, como resultado de multiplica A por A:

Para calcular A al cubo, multiplicamos por A el valor de A la cuadrado:

Multiplicamos y nos queda:

Llegamos a la conclusión de que A al cubo es igual a la matriz identidad:

Por tanto, si sustituimos la matriz A al cubo por I en la expresión nos queda:

Por tanto, la siguiente expresión es cierta:

Seguimos con el apartado b. Vamos a calcular el valor de A elevado a 13:

Del apartado anterior sabemos que A elevado al cubo es igual a la matriz identidad:

Esto quiere decir, que en este caso, la matriz A elevado a un múltiplo de 3 es igual a la matriz identidad:

Por tanto, podemos calcular A elevado a 13, multiplicando A elevado a 12, que es I, por A y el resultado es A:

Por tanto A elevado a 13 es:

Por último, en el apartado c, nos piden calcular la matriz X sin recurrir al cálculo de inversas. Tenemos la siguiente ecuación matricial:

En primer lugar dejamos sólo en el primer miembro el término que contiene a la matriz X, pasando I restando al segundo miembro:

Sabemos que A elevado al cubo es igual a la matriz identidad:

Por tanto, si multiplicamos por A por la izquierda en ambos miembros, en la parte izquierda de X nos quedará A elevado al cubo. Multiplicamos por A por la izquierda:

Y operamos en ambos miembros:

Finalmente, en el primer miembro A elevado al cubo lo podemos eliminar, al ser igual a I y nos queda la matriz X despejada:

Calculamos su valor sustituyendo por los valores de A al cuadrado y de A y operando:

Ejercicio 6 – Examen selectividad Galicia, Septiembre 2007, bloque 1, opción 1

Dada la matriz A:

a) Estudia, según los valores de m, el rango de A.

b) Para m=-1, calcula la matriz X que verifica la siguiente ecuación:

Empezamos con el apartado «a», calculando el rango de la matriz A a partir de los valores de m:

Para calcular su rango, debemos triangular la matriz, para ello, intercambiando la fila 2 por la fila 3 la matriz ya queda triangulada en este caso:

Ahora, si m=0, nos queda la siguiente matriz:

Tenemos dos vectores con todos sus elementos igual cero, por lo que el número de vectores linealmente independientes es igual a 1, que coincide con el rango de la matriz:

Si m es distinto de cero, entonces el rango de la matriz es 3, ya que no tendría ninguna fila con todos sus elementos igual a cero:

Apartado b: Para m=-1, calcular la matriz X.

En la matriz A, sustituimos m por -1 y nos queda:

Ahora de la ecuación que nos dan:

Vamos a despejar la matriz X.

Primero pasamos la matriz A restando al segundo miembro, para dejar sólo el término que contiene la matriz X:

Multiplicamos por la inversa de A por la derecha en ambos miembros:

En el primer miembro nos queda X multiplicada por I y en el segundo miembro operamos para eliminar el paréntesis:

En el primer miembro desaparece I y en el segundo miembro, la multiplicación de A por su inversa la sustituimos por la matriz identidad:

Para hallar el valor de X, sólo nos queda saber el valor de la inversa de A, que es lo que vamos a calcular:

Intercambiamos la fila 2 por la fila 3:

Multiplicamos todas las filas por -1:

La matriz inversa de A coincide con A:

Finalmente vamos a calcular el valor de X:

Sustituimos las matrices por sus valores:

Y operamos:

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