Ejercicios de números complejos resueltos paso a paso

A continuación vamos a resolver ejercicios de números complejos paso a paso, en los que aprenderás a aplicar la fórmula que corresponda en cada caso.

¡Empezamos!

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Ejercicios resueltos de números complejos

Ejercicio 1

Sean los siguientes números complejos:

Escribe el numerador y el denominador en forma polar y realiza el cociente:

Solución

Empezamos con z1, expresando el numerador y el denominador en forma polar (aquí tienes un lección donde explico cómo pasar de forma binómica a polar). El numerador es real puro y el denominador imaginario puro:

Dividimos los módulos y restamos los argumentos:

Operamos y nos queda:

Aquí explico cómo realizar operaciones con números complejos en forma polar

Seguimos con z2.

El numerador es un número real puro:

Vamos a pasar a forma polar el número complejo del denominador. Primero calculamos el módulo:

Y seguidamente calculamos el argumento:

El número complejo z2 nos queda:

Ahora dividimos los módulos y restamos los argumentos:

Operamos y nos queda:

Ejercicio 2

Sean los siguientes números complejos:

a) Expresarlos en forma binómica

b) Realiza las siguientes operaciones

Solución

Apartado a

En este apartado tenemos que simplificar los números complejos que nos dan, realizando el cociente en cada uno de ellos. De esta forma, quedarán expresados en forma binómica.

Empezamos con z3.

Para dividir dos números complejos en forma binómica, tenemos que multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

Operamos en el numerador y en el denominador. En el numerador vamos multiplicando término a término como si una multiplicación de binomios se tratara. En el denominador nos queda una diferencia de cuadrados:

Sustituimos i² por -1 y operamos:

Finalmente el 2 del numerador se anula con el 2 del denominador y me queda:

Seguimos con z4:

Para poder realizas la división, vamos a resolver la potencias. Según las potencias de i, i elevado al cubo es igual a -i:

Sustituimos i elevado al cubo por -1:

Ahora ya podemos dividir. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:

Multiplicamos, sustituimos i² por -1 y operamos para obtener el resultado final:

Seguimos con z5:

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:

En el numerador, multiplico el 3 por cada uno de los términos del paréntesis y en el denominador me queda una diferencia de cuadrados:

Realizamos los cuadrados del denominador:

Sustituimos i² por -1 y operamos:

Finalmente, separamos la parte real y la parte imaginaria separando la fracción que tenemos en dos fracciones con el mismos denominador:

Por tanto, los números complejos en forma binómica, ya simplificados son:

Apartado b

Vamos a realizar las operaciones que nos piden, con los números complejos ya simplificados:

Sustituimos z3 y z4 por sus valores y operamos. El número i del numerador se anula con el denominador:

Sustituimos z3, z4 y z5 por sus valores:

Eliminamos el paréntesis cambiando de signo los términos de su interior:

Agrupamos los términos reales por un lado y los imaginarios por otro, dejando os coeficientes de los términos imaginarios entre paréntesis y multiplicados por i:

Operamos dentro del paréntesis y nos queda:

Sustituimos z3 y z4 por sus valores, así como los valores de sus conjugados donde proceda:

Multiplicamos en cada término:

Sustituimos i² por -1:

Y operamos:

Ejercicio 3

Representa sobre el mismo planos complejo los números complejos de los ejercicios 1 y 2: z1, z2, z3, z4 y z5:

Solución

Nos quedamos con la expresión en forma binómica de cada número complejo:

Los representamos en el mismo plano complejo, tal y como indico en primera lección cuando explico cómo representar números complejos:

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