Ejercicios de números complejos resueltos paso a paso

Empezamos con z1, expresando el numerador y el denominador en forma polar (aquí tienes un lección donde explico cómo pasar de forma binómica a polar). El numerador es real puro y el denominador imaginario puro:

Dividimos los módulos y restamos los argumentos:

Operamos y nos queda:

Aquí explico cómo realizar operaciones con números complejos en forma polar

Seguimos con z2.

El numerador es un número real puro:

Vamos a pasar a forma polar el número complejo del denominador. Primero calculamos el módulo:

Y seguidamente calculamos el argumento:

El número complejo z2 nos queda:

Ahora dividimos los módulos y restamos los argumentos:

Operamos y nos queda:

Apartado a

En este apartado tenemos que simplificar los números complejos que nos dan, realizando el cociente en cada uno de ellos. De esta forma, quedarán expresados en forma binómica.

Empezamos con z3.

Para dividir dos números complejos en forma binómica, tenemos que multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

Operamos en el numerador y en el denominador. En el numerador vamos multiplicando término a término como si una multiplicación de binomios se tratara. En el denominador nos queda una diferencia de cuadrados:

Sustituimos i² por -1 y operamos:

Finalmente el 2 del numerador se anula con el 2 del denominador y me queda:

Seguimos con z4:

Para poder realizas la división, vamos a resolver la potencias. Según las potencias de i, i elevado al cubo es igual a -i:

Sustituimos i elevado al cubo por -1:

Ahora ya podemos dividir. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:

Multiplicamos, sustituimos i² por -1 y operamos para obtener el resultado final:

Seguimos con z5:

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:

En el numerador, multiplico el 3 por cada uno de los términos del paréntesis y en el denominador me queda una diferencia de cuadrados:

Realizamos los cuadrados del denominador:

Sustituimos i² por -1 y operamos:

Finalmente, separamos la parte real y la parte imaginaria separando la fracción que tenemos en dos fracciones con el mismos denominador:

Por tanto, los números complejos en forma binómica, ya simplificados son:

Apartado b

Vamos a realizar las operaciones que nos piden, con los números complejos ya simplificados:

Sustituimos z3 y z4 por sus valores y operamos. El número i del numerador se anula con el denominador:

Sustituimos z3, z4 y z5 por sus valores:

Eliminamos el paréntesis cambiando de signo los términos de su interior:

Agrupamos los términos reales por un lado y los imaginarios por otro, dejando os coeficientes de los términos imaginarios entre paréntesis y multiplicados por i:

Operamos dentro del paréntesis y nos queda:

Sustituimos z3 y z4 por sus valores, así como los valores de sus conjugados donde proceda:

Multiplicamos en cada término:

Sustituimos i² por -1:

Y operamos:

Nos quedamos con la expresión en forma binómica de cada número complejo:

Los representamos en el mismo plano complejo, tal y como indico en primera lección cuando explico cómo representar números complejos:

Tenemos dos números complejos, los cuales queremos hallar y de los que desconocemos tanto su parte real como su parte imaginaria, por lo que las denominados con los coeficientes a, b, c y d:

Por tanto, en el ejercicio vamos a calcular los valores de a, b c y d.

En primer lugar realizamos al diferencia de los números complejos:

Eliminamos el paréntesis cambiando de signo los términos de su interior:

Agrupamos parte real por un lado y parte imaginaria por otro:

El enunciado nos dice que el resultado de la diferencia de los números complejos tiene la parte imaginaria igual a 0, por lo que igualamos a 0 la parte imaginaria de nuestro resultado:

De donde podemos despejar b en función de d:

Ahora realizamos la suma de números complejos:

Eliminamos el paréntesis, que en este caso los términos no varían por ir precedido de un signo más:

Agrupamos parte real por un lado y parte imaginaria por otro:

El enunciado nos dice que la suma tiene de parte real 2, por lo que igualamos la parte real a 2:

Y despejamos «a» en función de c:

Ahora realizamos su producto, cuyo resultado es igual a -51+8i:

Operamos en el primer miembro:

Sustituimos i² por -1:

Agrupamos por un lado parte real y por otro parte imaginaria en el primer miembro:

Igualamos las partes reales de ambos miembros:

Y las partes imaginarias de ambos miembros:

Ahora en ambas ecuaciones sustituimos los valores despejados para a y b:

En la primera ecuación sustituyo «a» y c por las expresiones anteriores y opero:

Hago lo mismo en la segunda ecuación:

En este caso, puedo despejar el valor de d:

Una vez tengo el valor de d, puedo despejar también el de b:

En la primera ecuación, que dejamos en función de c y d:

También sustituimos d por su valor:

Operamos y reordenamos términos:

Me queda una ecuación de segundo grado cuya soluciones son:

Con ambos valores de c, sustituimos en la expresión donde despejamos «a» para obtener el valor de «a»:

Para c=7:

Para c=-5

Finalmente me queda que a=-5, b=4, c=7 y d=4 o bien a=7, b=4, c=-5 y d=4. En ambos casos, los números complejos son los mismos, cuyos valores son: