Ejercicios de sistemas de ecuaciones resueltos de examen de selectividad y EBAU

A continuación veremos cómo resolver ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales de examen de selectividad, PAU o EBAU o de un examen de acceso a la universidad si no eres de España.

Mientras los resuelvo, te iré indicando los conceptos que necesitas saber y dominar para poder entender los pasos que voy dando.

¡Empezamos!

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver y necesitas clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Ejercicio 1 – Examen selectividad Madrid, Junio 2006, opción A, ejercicio 2

Dadas las matrices A y P:

encontrar las matrices que cumplan la siguiente igualdad:

En primer lugar, vamos a ver cuál es el resultado de multiplicar A.P:

Ahora vamos ver qué matriz obtenemos de multiplicar P.A:

Como A.P tiene que ser igual a P.A, igualamos las matrices que acabamos de calcular:

Igualando elemento a elemento nos quedan las siguientes cuatro ecuaciones:

De la primera ecuación:

Podemos despejar «c», ya que «a» se anula y nos queda:

En la segunda ecuación:

Se anula «b» y nos queda la siguiente igualdad:

La tercera y cuarta ecuación no nos aportan nada, ya que la tercera nos dice que c=c y la cuarta, al sustituir c=0, nos queda que d=d.

Por tanto, en cualquiera de las matrices obtenidas anteriormente (yo voy a utilizar la primera):

Sustituimos «c» por 0 y «d» por «a» y nos queda:

Tenemos una matriz que está en función de los parámetros «a» y «b», que pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto de los números reales.

Ejercicio 2 – Examen selectividad Andalucía, Junio 2006, opción B, ejercicio 3

Resuelve la siguiente expresión matricial:

Para resolver este ejercicio, debes tener muy claro cómo resolver ecuaciones matriciales. En la lección del enlace explico por qué se dan cada uno de los pasos con más detalle.

Primero pasamos la matriz numérica que está sumando al segundo miembro restando, para dejar únicamente en el primer miembro el término que contiene a la matriz con las incógnitas:

Y operamos en el segundo miembro:

Ahora multiplicamos por la inversa de la matriz de 3×3, por la izquierda, en el primer miembro y hacemos lo mismo en el segundo miembro, es decir, multiplicamos por la izquierda por la misma matriz inversa:

En el primer miembro, una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad, por lo que nos queda sólo la matriz incógnita:

Para calcular el valor de la matriz incógnita, antes debemos hallar el valor de la matriz inversa (en esta lección te explico cómo calcular la matriz inversa por el método de Gauss y aquí usando determinantes). Vamos a calcularla en este caso con el método de Gauss.

Tenemos la matriz, a la que llamaremos A:

Le añadimos en la parte derecha la matriz identidad:

Debemos realizar operaciones para conseguir que en la parte izquierda quede la matriz identidad. Una vez llegados a ese punto, la matriz que quede en la parte derecha será la matriz inversa de A.

Tenemos que conseguir que el primer elemento de la primera fila se un 1. Para ello intercambiamos la fila 1 por la fila 2:

Nos queda:

Ahora vamos a hacer que debajo del 1 de la primera columna nos queden ceros. Para ello a la fila 2 le restamos dos veces la fila 1, dejando el resultado en la fila 2:

Y a la fila 3 le sumamos la fila 1, dejando el resultado en la fila 3:

La matriz queda:

Lo siguiente es conseguir que en el segundo elemento de la segunda columna tengamos un 1. Para ello dividimos la fila 2 entre -2:

La matriz queda:

Ahora hay que hacer que el resto de elementos de la segunda columna sean ceros (menos el segundo que queremos que sea un 1). Para conseguirlo, a la primera fila le restamos la segunda fila y dejamos el resultado en la primera fila:

Y a la fila 3 le restamos dos veces la fila 2, dejando el resultado en la fila 3:

La matriz queda:

Por último, tenemos que conseguir que el tercer elemento de la tercera columna sea un 1 y para ello fila 3 la dividimos entre 8:

Nos queda:

También tenemos que hacer que el primer y segundo elemento de la tercera columna sean ceros. Eso lo conseguimos restando a la fila 1 la fila 3 multiplicada por 5/2 y dejando el resultado en la fila 1:

Y a la fila 1, le sumamos la fila 3 multiplicada por 9/2, dejando el resultado en la fila 2:

La matriz queda:

Ya tenemos la matriz identidad en la parte izquierda, luego en la parte derecha tenemos la matriz inversa de A:

La colocamos en nuestra ecuación matricial:

Y finalmente, multiplicamos las matrices para obtener el valor de la ecuación incógnita:

Ejercicio 3 – Examen selectividad Asturias, Junio 2008, bloque 1

Se consideran las siguientes matrices:

a) Halla los valores de x, y y z para los que A no tiene inversa

b) Determina los valores de «a» para que el sistema BA=C tenga solución

c) Resuelve el sistema anterior en los casos que sea posible

Apartado a:

Para que la matriz A no tenga inversa, su determinante debe ser igual a 0:

Por tanto, lo que tenemos que hacer es calcular el determinante de A e igualarlo a 0 para determinar qué valores de x, y y z cumplen esa premisa.

El determinante de A es:

Lo desarrollamos mediante la regla de Sarrus:

Operamos:

Y extraemos y² como factor común:

Esta expresión obtenida de desarrollar el determinante de A, la igualamos a 0:

De donde obtenemos las siguientes soluciones:

Por tanto, para que A no tenga inversa, y y z deben ser iguales a 0 y x puede tomar cualquier valor, ya que no influye para que A tenga inversa o no.

Apartado b:

Vamos a calcular los valores de «a» para que la siguiente expresión tenga solución:

En la expresión anterior, sustituimos cada letra por su correspondiente matriz:

Multiplicamos matrices en el primer miembro e igualamos los elementos de cada miembro para pasar de la forma matricial a las ecuaciones siguientes:

Vamos estudiar este sistema y ver para que valores de «a» tiene solución, es decir, vamos a discutir el sistema.

Operamos para que los términos sin incógnita queden en el segundo miembro, que en este caso, solamente hay que operar en la primera ecuación:

Obtenemos la matriz de los coeficientes:

Y la matriz ampliada:

Para que tenga solución, el rango de A, debe ser igual al rango de A ampliada y ambos rangos deben ser igual a 3 que es igual que el número de incógnitas. En ese caso el sistema será compatible determinado:

Para calcular el rango de A, debemos comprobar que su determinante sea distinto de cero. Por tanto calculamos el determinante de A:

El resultado del determinante debe ser por tanto distinto de 0, de donde obtenemos que «a» debe ser distinto de 0:

Como decíamos anteriormente, cuando «a» es distinto de 0, el determinante es distinto de cero y por tanto el rango de A y de A* son iguales a 3, que son el número de incógnitas:

Y por tanto, el sistema es compatible determinado, o lo que es lo mismo, tiene solución:

Si necesitas una explicación más detallada sobre la discusión de sistemas la puedes encontrar en esta lección.

Apartado c:

Vamos a resolver el sistema anterior en función del parámetro «a»:

Para ello, vamos a utilizar la regla de Cramer. En primer lugar calculamos del determinante de los coeficientes, que ya sabemos su valor, ya que lo hemos calculado en el apartado anterior:

x es igual al determinante asociado de x entre el determinante de A. Desarrollamos el determinante asociado de x y operamos:

«y» es igual al determinante asociado de «y» entre el determinante de A. Desarrollamos el determinante asociado de «y» y operamos:

z es igual al determinante asociado de z entre el determinante de A. Desarrollamos el determinante asociado de z y operamos:

Por tanto, para cualquier valor de «a» distinto de 0, la solución del sistema en función del parámetro «a» es la siguiente:

Para tener un resultado numérico de la solución, tan solo tenemos que sustituir «a» por cualquier valor distinto de 0.

Ejercicio 4 – Examen selectividad Castilla y León, Junio 2008, prueba b, problema 1

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Discutir el sistema en función de valor de «a»

b) Resolver el sistema para a=0

c) Resolver el sistema para a=1

Apartado a:

Vamos a discutir el sistema en función de «a». La matriz de los coeficientes es:

La matriz ampliada es:

Calculamos en primer lugar el determinante de A, mediante la regla de Sarrus:

El determinante de A es igual a 0, luego el rango de A es menor que 3

Vamos a ver si el rango de A es igual a 2. Para ello tomamos la submatriz formada por las columnas 1 y 2 y las filas 1 y 2 y calculamos su determinante:

Es distinto de 0, luego el determinante de A es igual a 2:

Vamos a calcular ahora el rango de A* y comprobar en qué casos es igual a 3. Para ello debemos encontrar una matriz de orden 3 cuyo determinante sea distinto cero.

Elegimos la matriz formada por las columnas 1, 2 y 4 y cuyo determinante es:

Hemos obtenido el desarrollo del determinante en función del parámetro «a». Debemos encontrar qué valores de «a» hacen que el determinante sea 0 y para ello, igualamos a cero la expresión obtenida:

Tenemos una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:

Por tanto, cuando «a» sea distinto de 1 el determinante de esta submatriz de orden 3, será distinto de cero:

Y si el determinante es distinto de cero, su rango será igual a 3:

Por tanto, el rango de A es igual a 2 y el rango de A* es igual a 3, es decir, son distintos, por lo que el sistema no tiene solución y es un sistema incompatible:

Por otro lado, cuando «a» es igual a 1, el determinante de la submatriz de orden 3 es igual a 0:

En este caso el rango de A* va a ser menor que 3. Elegimos la misma submatriz de orden 2 de antes, contenida también en A*, cuyo determinante es distingo de cero:

Por tanto, el rango de A* es igual a 2 cuando «a» es igual a 1:

Y en este caso, el rango de A y el rango de A* son iguales a 2, que es menor que el número de incógnitas y por tanto el sistema es compatible indeterminado:

Apartado b:

Cuando a=0 no es necesario resolver el sistema porque sabemos que para cualquier valor de «a» que sea distinto de 1, el sistema es incompatible y por tanto no tiene solución:

Apartado c:

Vamos a resolver el sistema para a=1:

Por el apartado anterior, sabemos que cuando a=1, el sistema es compatible indeterminado y por tanto va a tener infinitas soluciones.

Que el rango de A y A* sea 2 quiere decir que el sistema tiene 2 ecuaciones linealmente independientes y por tanto, la tercera ecuación es combinación lineal de las otras 2 y no aporta nada a la solución, por lo que podemos eliminarla.

Para resolver este sistema compatible indeterminado, nos quedamos con las dos ecuaciones que forman la submatriz de orden 2 con determinante distinto de cero que hemos elegido:

Por tanto, las incógnitas del sistema son las correspondientes a los coeficientes de las columnas 1 y 2, es decir, “x” e “y” y la “z” se considera como otro término independiente más, así que pasamos las z al segundo miembro con los términos independientes:

La solución de las incógnitas quedará en función de z, que le asignamos el valor de λ:

Sustituyendo este valor de z en la segunda ecuación tenemos el valor de «y»:

Sustituimos el valor de «y» en la primera ecuación:

Operamos y obtenemos el valor de x:

Por tanto, la solución del sistema cuando a=1 es:

Tienes más información y ejercicios resueltos sobre cómo resolver este tipo de sistemas en esta lección donde te hablo de cómo resolver sistemas homogéneos.

Ejercicio 5 – Examen selectividad Comunidad Valenciana, Junio 2008, bloque 1, problema 1

Dado el siguiente sistema de ecuaciones que depende del parámetro α:

a) Determinar razonadamente los valores de α para lo que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) Resolver el sistema cuando es compatible determinado

c) Obtener razonadamente la solución cuando α=0

Apartado a:

Vamos a discutir el sistema una vez más. La matriz de los coeficientes es:

Y la matriz ampliada es:

Para calcular el rango de A, necesitamos calcular su determinante:

Para resolverlo, vamos a utilizar las propiedades de los determinantes. Sumamos las tres columnas y el resultado lo dejamos en la primera columna:

El determinante queda:

Ahora sacamos fuera del determinante el factor (α+2):

En la primera columna vamos a hacer que los elementos 2 y 3 sean iguales a 0. Para ello, a la fila 2 le restamos la fila 1, dejando el resultado en la fila 2:

Y a la fila 3 le restamos la fila 1, dejando el resultado en la fila 3:

Nos queda:

Un determinante que es igual a la suma de los productos de los elementos de una columna cualquiera (o una fila), por sus respectivos adjuntos. Por tanto, si aplicamos esto en la primera columna, sólo tenemos que multiplicar el primer elemento por su adjunto:

Finalmente resolvemos el determinante 2×2 que nos queda:

Para calcular el determinante de A, también podríamos haber utilizado la regla de Sarrus y después descomponer el polinomio obtenido por Ruffini, pero de esta forma hemos simplificado cálculos.

Igualamos la expresión obtenida a cero y obtenemos sus soluciones:

Por tanto, cuando α sea distinta de -2 y de 1, el rango de A será 3.

Para calcular el rango de A*, vamos a tomar también la submatriz contenida en A* formada por las columnas 1, 2 y 4, cuyo determinantes es:

Lo calculamos también con las propiedades de los determinantes. Vamos a hacer que en la primer columna todos los elementos sean 0, menos el primero.

Para ello, a la columna 1 le restamos la columna 3 y dejamos el resultado en la columna 1:

Y a la columna 2 le restamos la columna 3 y dejamos el resultado en la columna 2:

El determinante nos queda:

Operando llegamos al siguiente resultado:

Igualamos a 0 y obtenemos el valor de α:

Por tanto, sabemos que si α es distinto de -2 y de 1, es decir, que pertenece al conjunto de los números reales menos -2 y 1, entonces todos los determinantes de orden 3 son distintos de 0:

Entonces, el rango de A y de A* son igual a 3, que es igual al número de incógnitas y por tanto, en este caso el sistema es compatible determinado:

Si α=-2, entonces el determinante de A es 0 y el determinante de A1 es distinto de 0:

Por tanto, el rango de A es 2 y el de A* es 3, por lo que el sistema es incompatible al ser los rangos distintos:

Si α=1, ambos determinantes son 0:

Por tanto, el rango de A y de A* son iguales a 1, menos que el número de incógnitas y el sistema es incompatible:

Apartado b:

El sistema es compatible determinado para cualquier valor distinto de -2 y de 1:

Para resolver el sistema utilizamos la regla de Cramer.

El determinante de A es:

x es igual al determinante asociado de x entre el determinante de A. Desarrollamos el determinante asociado de x y operamos:

«y» es igual al determinante asociado de x entre el determinante de A. Desarrollamos el determinante asociado de «y» y operamos:

z es igual al determinante asociado de x entre el determinante de A. Desarrollamos el determinante asociado de z y operamos:

Por tanto, la solución del sistema es:

donde α puede tomar cualquier valor menos -2 y  1.

Apartado c:

Vamos a resolver el sistema cuando α=0.

En este caso, α es distinto de -2 y de 1:

Por tanto, para hallar la solución sólo tenemos que sustituir α por 0 en la solución obtenida en el apartado anterior y calcular. La solución para α=0 es:

Todos los conceptos que necesitas saber para resolver ejercicios estos tipos los tienes explicados en el Curso de Determinantes y en el Curso de Resolución Sistemas de Ecuaciones por Determinantes.

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