A continuación vamos a resolver ejercicios de sucesiones y progresiones paso a paso, sabiendo cúando aplicar la fórmula que corresponda en cada caso.
¡Empezamos!
Si has llegado hasta aquí es porque quieres aprender cómo resolver algún ejercicio que no entiendes. ¿Has pensado en apuntarte a clases de matemáticas online?. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entender las matemáticas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o suscribirte e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
Ejercicios resueltos de sucesiones y progresiones
Ejercicio 1
Averigua el criterio con el que se han formado las siguientes sucesiones y escribe tres términos más en cada una de ellas:
En este tipo de ejercicios, en los que tienes que adivinar con qué criterio se crean las sucesiones, lo más fácil es empezar siempre comprobando si se trata de una progresión aritmética.
Eso lo hacemos comprobando si existe una diferencia que se suma para hallar el término siguiente.
La diferencia la calculamos restando a un término el término anterior:
Así que, al segundo término, le vamos a restar el primer término:
Sustituimos a2 y a1 por sus valores y operamos:
Nos queda que la diferencia es igual a -2.
Comprobamos a ver si los siguientes términos se obtienen sumando -2 (o restando 2) al término siguiente y vemos que sí se cumple, por lo que estamos ante una progresión aritmética de diferencia d=-2
Por tanto, para obtener los siguientes tres términos, vamos sumando -2.
Para hallar a5 sumamos -2 a a4:
Para hallar a6 sumamos -2 a a5:
Y para hallar a7 sumamos -2 a a5:
La progresión aritmética nos queda:
En este caso, si analizamos la sucesión nos damos cuenta de que los términos no se obtienen sumando una cantidad fija al término anterior, pero si que van aumentando con cierta lógica.
Una vez hemos descartado que es una progresión aritmética, el siguiente paso es comprobar si se trata de una progresión geométrica.
Eso lo hacemos comprobando si existe una razón que se multiplique al término para hallar el término siguiente.
Para ello, calculamos la razón como la división de un término entre el término anterior:
Dividimos el segundo término entre el primero y nos queda:
Comprobamos si multiplicando cada término por esta razón se obtiene el término siguiente y vemos que efectivamente es así, por tanto estamos ante una progresión geométrica de razón r=1/2
Para hallar los siguientes tres términos, vamos multiplicando el término que tenemos por 1/2.
Para obtener a5, multiplicamos a4 por 1/2:
Para obtener a6, multiplicamos a5 por 1/2:
Para obtener a7, multiplicamos a6 por 1/2:
La progresión geométrica queda:
Empezamos comprobando si se trata de una progresión aritmética, calculando la diferencia:
Vemos que los términos se obtienen sumando 0,4 al anterior.
Así que calculamos los siguientes tres términos de la misma forma:
La progresión aritmética queda:
No es posible obtener los siguientes términos sumando una cantidad fija, ni tampoco multiplicando por otra cantidad fija (compruébalo), así que no es ni una progresión aritmética ni una progresión geométrica.
En estos casos, para adivinar el criterio que se sigue, vamos a ir escribiendo cada término por separado, para ver si se puede obtener el término general de alguna forma.
Para ello, tal vez te resulte más fácil darte cuenta si el primer término lo escribimos así:
Escribimos cada término por separado.
El primer término es:
El segundo término:
El tercer término:
Llegados a este punto, ya puedes darte cuenta de que la posición del término coincide con el denominador de la fracción, por lo que el término general lo podemos expresar de la siguiente forma:
Por tanto, para hallar los siguientes tres términos, hay que seguir escribiendo el denominador según la posición que corresponda:
La sucesión nos queda:
Comprobamos que no es una progresión aritmética, pero nos damos cuenta al calcular la razón de que es una sí que es una progresión geométrica, cuya razón es 1,5:
Podemos calcular los siguientes términos multiplicando el término anterior por 1,5:
La progresión geométrica nos queda:
Adivinar el criterio de la sucesión 0, 3, 8, 15 la verdad que no es nada fácil.
Si seguimos los procedimientos antes descritos, seguramente no lleguemos a ninguna conclusión. Si no has visto antes esta sucesión, es muy difícil caer en el criterio, así que te voy a explicar como se obtiene, para que si te la vuelves a encontrar, sepas cómo obtener los siguientes términos.
Para hallar los términos de esta sucesión, vamos a necesitar la lista de los números primos:
Que para identificarlos, podemos tratarlos como una sucesión donde cada término lo llamamos p con el subíndice de la posición que le corresponda:
El término general de esta sucesión, el cual nos permitirá calculas los siguientes términos es:
Es decir, cada término está calculado como la suma del término anterior más el número primo que le corresponda en la misma posición.
De esta forma, el segundo término es la suma del primer término más el número primo que está en la posición 2:
El primer término es 0:
Y el segundo número primo es 3:
Sustituimos valores, operamos y nos queda:
El tercer término se calcula el siguiente criterio:
En este caso, el tercer número primo es 5:
Y al operar nos queda:
El cuarto término se ha obtenido de la misma forma:
Y siguiendo el mismo criterio obtenemos los tres siguientes términos.
El quinto término es:
El sexto término es:
El séptimo término es:
Por tanto, la sucesión nos queda:
Una vez que conoces el término general es fácil obtener los términos siguientes, pero como te he comentado antes, si no lo has visto antes, es muy difícil caer.
Ejercicio 2
Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones:
En este ejercicio tenemos sucesiones recurrentes, en las cuales, los términos siguientes se calculan a partir de los anteriores.
Nos preguntan por la ley de recurrencia, que no es más que calcular el término general.
En esta primera sucesión, hay que darse cuenta de que el tercer término es la resta del segundo término menos el primer término:
En este caso se cumple que el término general se obtiene como la resta del término anterior menos el anterior a éste:
Vamos a ver si esto se cumple para el cuarto término.
Sustituimos la n por 4:
Sustituimos los valores de los términos y operamos:
Para el cuarto término se cumple y para los siguientes términos también se cumple, por lo que el término general de la sucesión recurrente es:
Observamos la sucesión y vemos si podemos calcular el tercer término a partir de los dos primeros. Si restamos el primero menos el segundo, da como resultado el tercero:
El termino general se calcula como la resta del término que está dos posiciones por delante menos el anterior al término que queramos calcular:
Vemos si se cumple también para el cuarto término.
Sustituimos la n por 4:
Sustituimos los valores de los términos y operamos:
Se cumple para el cuarto término también y como consecuencia, también se cumplirá en los siguientes, así que el término general es:
En esta sucesión, el tercer término no es posible calcularla restando los dos términos anteriores de ninguna forma.
Si te das cuenta, el tercer término es igual que el segundo, por lo que la única operación que podemos realizar con los dos primeros términos es dividir el segundo entre el primero, que es 1:
El término general sería dividir el término anterior entre el término de 2 posiciones atrás:
Veamos si se cumple en el cuarto término.
Sustituimos la n por 4:
Y operamos:
También se cumple y por tanto se cumplirá en todos, por lo que el término general es:
Los términos de esta sucesión no se obtienen operando con los términos anteriores igual que los anteriores casos.
Si te das cuenta, para obtener el segundo término se suman 2, para obtener el tercero se suman 3, para obtener el cuarto se suman 4 y así sucesivamente:
Por tanto, para calcular el término general, al término anterior le sumamos la posición que queremos calcular:
Vamos a comprobarlo con el tercer término, que será igual al segundo término más 3:
Operamos y nos queda:
Por tanto, se cumple el término general.
Ejercicio 3
La población de un cierto país aumenta por término medio un 2,5% anual. Si la población actual es de 3 millones, ¿cuál será dentro de 10 años?
El enunciado nos dice que la población aumenta un 2,5% anual, es decir, para calcular la población del año siguiente tenemos que multiplicar por el aumento porcentual del 2,5%.
Como siempre multiplicamos por la misma cantidad, estamos ante una progresión geométrica.
Lo que hay que tener claro en este ejercicio es cuál es la razón de la progresión geométrica, así que vamos a ver cómo calcularla.
Tal y como indico la lección donde explico los aumentos porcentuales, el aumento porcentual es igual a 1 más el porcentaje de aumento en forma decimal (dividido entre 100).
En nuestro caso, el porcentaje de aumento es 2,5%, por lo que a 1 le sumamos 2,5/100 y operamos:
Por tanto, la progresión geométrica del ejercicio tiene una razón de 1,025:
Su primer término es igual a 3 millones:
La población de dentro de 10 años es lo mismo que preguntar por el término en la posición 10 de la progresión:
Así que vamos a calcular ese término.
La fórmula del término general de una progresión geométrica es:
Sustituimos n por 10, a1 por 3000000 y r por 1,025:
Y operamos:
Por tanto, dentro de 10 años la población será de 3746588,91 habitantes.
Ejercicio 4
En una progresión geométrica se conocen a1 = 64 y r = 0,75.
a) Calcula el primer término no entero.
b) Ayudándote de la calculadora, di cuál es el primer término menor que 1.
Estamos ante una progresión geométrica, cuyo primer término y la razón es:
Para poder resolver este ejercicio, vamos a expresar tanto el primer término como la razón en forma de potencia. Luego verás por qué.
Descomponemos en factores el primer término y me queda:
Ahora la razón, la pasamos de decimal a fracción, simplificamos y descomponemos el denominador:
Por otro lado, la fórmula para calcular el término general de una progresión geométrica es:
Vamos calcular el segundo término aplicando la fórmula. Sustituimos n por 2 y a1 y r por sus valores en forma de potencia:
En este caso la razón queda elevada a 1 por lo que se queda igual:
Si te das cuenta, en el denominador me queda una potencia de base 2, que divide a la potencia correspondiente al primer termino, es decir, se mantiene la base y se restan los exponentes:
La clave está en darse cuenta de que para calcular el término en cada posición, al trabajar con potencias, debemos restar los exponentes de las potencias en base 2.
Cuando el exponente de denominador sea mayor que el del numerador, que es 6, entonces quedará la potencia de 2 dividiendo a la potencia de 3 y el resultado será un número no entero.
Vamos a verlo más despacio.
En la fórmula del término general, sustituimos a1 y r por sus valores en forma de potencia y la dejamos en función de n:
Ahora eliminamos el paréntesis, multiplicando (n-1) por cada uno de los exponentes de la fracción:
Ahora dividimos las potencias de 2, manteniendo la base y restando los exponentes:
Operamos en el exponente del 2 para eliminar el paréntesis:
Nos queda el término general expresado en función de potencias de 2 y 3, donde n está en el exponente:
Para que un término sea no entero, el exponente de la potencia de 2 deberá ser menor que 0, para que quede dividiendo a la potencia de base 3, es decir:
De esta inecuación despejamos n:
Por tanto, cuando n sea mayor que 4, la potencia de 2 quedará en el denominador y el resultado será un número decimal.
Vamos a comprobarlo.
El primer número mayor que 4 es el 5, por lo que vamos a calcular el quinto término de la progresión.
Sustituimos la n por 5 en la fórmula anterior:
Operamos en los exponentes:
Pasamos el exponente a positivo, bajándolo al denominador, resolvemos las potencias y operamos:
Por tanto, el primer término no entero es el quinto término y es igual a 20,25.
Con respecto al apartado b, con la calculadora, vamos multiplicando por 0,75 y sale que el primer término menor que 1 es el que está en la posición 16, que es igual a 0,85:
¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?
Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.
He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.
Con mi método:
- Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
- Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión
Suena bien ¿no?
¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?
Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más: