Eliminación de parámetros en sistemas de ecuaciones lineales. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar qué es la eliminación de parámetros en un sistema de ecuaciones lineales y cómo se realiza, con ejercicios resueltos paso a paso.

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Eliminación de parámetros

La eliminación de parámetros es el proceso inverso a resolver un sistema de ecuaciones que sea compatible indeterminado, es decir, los sistemas que tienen infinitas ecuaciones y que su solución depende de uno o más parámetros.

En general, las soluciones de un sistema de ecuaciones expresadas en parámetros es:

También encontramos parámetros en las ecuaciones paramétricas de una recta o en las ecuaciones paramétricas de un plano.

Cómo eliminar los parámetros de un sistema de ecuaciones

Eliminar los parámetros es resolver el nuevo sistema equivalente que queda al considerar los parámetros (t1, t2, t3…) como incógnitas y pasar a considerar las anteriores incógnitas (x, y, z…) como términos independientes

Dejamos las nuevas incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo miembro:

Nos queda un nuevo sistema con más ecuaciones que incógnitas, el cual debemos obligar a que tenga solución (ya veremos cómo en los ejercicios resueltos de abajo) para obtener las ecuaciones lineales del sistema compatible indeterminado original que originan esas soluciones, donde las incógnitas son x1, x2, x3… (o x, y, z…)

El número de ecuaciones que se obtiene después de eliminar parámetros será igual al número de incógnitas (m) menos el rango de la matriz de los coeficientes.

El número de ecuaciones obtenidas corresponden con las condiciones que deben tener las incógnitas x1, x2, x3… (o x, y, z…) para que el sistema tenga solución.

Ejercicios resueltos de eliminación de parámetros

Vamos a resolver algunos ejemplos, donde veremos cómo aplicar la teoría para eliminar los parámetros de los sistemas de ecuaciones paso a paso.

Ejercicio resuelto 1

Vamos a eliminar los parámetros del siguiente sistema:

En primer lugar, consideramos t1 y t2 como las nuevas incógnitas y x, y, y z como términos independientes. Dejamos las nuevas incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo miembro:

La matriz de los coeficientes de este sistema es:

Y la matriz ampliada es:

Vamos a calcular el rango de la matriz de los coeficientes.

Para ello, tenemos que encontrar una submatriz cuadrada contenida en A, cuyo determinante sea distinto de cero. Probamos con la submatriz de orden 2, formada por las filas 1 y 2 y por las columnas 1 y 2:

Cuyo determinante es:

El determinante es distinto de cero, por lo que el rango de A es igual a 2:

Por otro lado, el número de ecuaciones que vamos a obtener, cuyas incógnitas serán x, y y z va a ser 1, ya que es el número de incógnitas menos el rango de A:

Para que el sistema sea compatible indeterminado y tenga solución, vamos a obligar a que el rango de la matriz ampliada sea igual al al rango de la matriz de los coeficientes:

Para ello, el determinante de la matriz ampliada, que es de orden 3, debe ser igual a ero. Así el rango de la matriz ampliada será también 2:

Por tanto, igualamos el determinante de la matriz ampliada a cero:

En el primer miembro desarrollamos el determinante mediante la regla de Sarrus:

Operamos:

Y reordenamos términos:

Y nos queda la ecuación resultante de eliminar los parámetros, con incógnitas, x, y y z, que corresponde con la condición que deben cumplir x, y y z para que la ecuación tenga solución.

Ejercicio resuelto 2

Eliminar los parámetros de este sistema:

Consideramos t1, t2 y t3 como las nuevas incógnitas y x, y, y z como términos independientes.

Dejamos las nuevas incógnitas en el primer miembro y pasamos los términos independientes al segundo miembro:

La matriz de los coeficientes es:

La matriz ampliada es:

Empezamos calculando el rango de A, que en este caso es una matriz cuadrada de orden 3. Calculamos su determinante:

Desarrollamos el determinante:

Y operamos:

El determinante es igual a cero, lo que significa que el rango de A va a ser menor que 3:

Tenemos que encontrar una submatriz cuadrada contenida en A, cuyo determinante sea distinto de cero. Probamos con la submatriz de orden 2, formada por las filas 1 y 2 y por las columnas 1 y 2:

El determinante de esta submatriz cuadrada es:

Que es distinto de cero, por lo que el rango de A es igual a 2:

El número de ecuaciones que vamos a obtener después de eliminar parámetros es:

Que en este caso corresponde a 1, ya que tenemos 3 incógnitas y el rango de A es 2:

Obligamos a que el sistema tenga solución haciendo que el rango de la matriz ampliada sea igual al al rango de la matriz de los coeficientes:

Para que el rango de la matriz ampliada sea 2, como el de la matriz de los coeficientes, el determinante de cualquier matriz de orden 3, debe ser igual a cero:

Tenemos tres posibles submatrices de orden 3 dentro de la matriz ampliada.

La primera es la que forma las columnas 2, 3 y 4. Igualamos su determinante a cero:

En el primer miembro, desarrollamos su determinante:

Simplificamos la ecuación obtenida:

Vamos a ver qué pasa si elegimos otra submatriz de orden 3 contenida en la matriz ampliada, como la formada por las columnas 1, 3 y 4. Igualamos su determinante a cero:

Desarrollamos el determinante en el primer miembro y queda:

Que es la misma ecuación obtenida en la submatriz anterior.

Con la submatriz que nos queda, que es la formada por las columnas 1, 2 y 4, hacemos lo mismo y la igualamos a cero:

Desarrollamos el determinante en el primer miembro:

Y si simplificamos la ecuación nos queda:

En los tres casos hemos obtenido la misma ecuación, ya que el número de ecuaciones que nos debe salir es 1, que es la única condición que han de cumplir x, y y z para que tengan solución.

Ejercicio resuelto 3

Vamos con el último ejercicio resuelto: Eliminar los parámetros del siguiente sistema:

Consideramos m y n como las nuevas incógnitas del sistema y x, y, z y t como términos independientes, así que dejamos las nuevas incógnitas en el primer miembro y pasamos los términos independientes al segundo miembro:

La matriz de los coeficientes es:

Y la matriz ampliada:

Calculamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Tomamos una submatriz cuadrada contenida en A, cuyo determinante sea distinto de cero. Probamos con la submatriz de orden 2, formada por las filas 1 y 2 y por las columnas 1 y 2:

Cuyo determinante es:

El determinante es distinto de cero, luego el rango de la matriz de los coeficientes es 2:

El número de ecuaciones que obtendremos después de eliminar parámetros es:

Que en este caso serán 2, ya que tenemos 4 incógnitas y el rango de A es 2:

El sistema debe tener solución, luego debemos obligar a que el rango de la matriz ampliada también sea 2:

Para ello, igualamos el determinante de la matriz ampliada a cero:

Tomamos la submatriz de orden 3 formada por las filas 1, 2 y 3 e igualamos su determinante a cero:

Desarrollando el determinante en el primer miembro nos queda la siguiente ecuación:

Tomamos ahora la submatriz de orden 3 formada por las filas 1, 2 y 4 e igualamos su determinante a cero:

De donde se obtiene la segunda ecuación:

Estas dos ecuaciones son las ecuaciones resultantes de eliminar los parámetros. Si tomáramos otra submatriz de orden 3, se repetiría alguna de estas dos ecuaciones, tal y como pasaba en el ejemplo anterior.

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