En ocasiones, no es posible obtener el resultado de una potencia directamente, como es el caso de una potencia de exponente fraccionario. Por eso, a continuación te voy a explicar cómo resolver este tipo de potencias. Te voy a hablar de la forma exponencial de las raíces, es decir, cómo pasar de raíz a potencia y viceversa.
Por otro lado, pasar una raíz a su forma de potencia puede serte muy útil en un momento determinado si lo tuyo es trabajar con potencias.
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En este vídeo tienes ejercicios resueltos sobre cómo resolver potencias con exponentes fraccionarios (también te indico qué tienes que hacer cuando tienes exponentes fraccionarios negativos):
Y si sigues leyendo lo tienes todo explicado paso a paso:
Potencias con exponente fraccionario. Cómo resolver un número elevado a una fracción
Para resolver una potencia de exponente fraccionario, debes pasar de la potencia a forma de raíz según esta fórmula:
Cuando tienes una potencia con exponente fraccionario, es lo mismo que si tuvieras una raíz, donde el denominador del exponente es el índice de la raíz y el numerador del exponente es el exponente del radicando (contenido de la raíz).
Vamos a ver unos cuantos ejemplos de cómo resolver potencias con exponente fraccionario para que te quede más claro:
Aplicamos la fórmula anterior: el 2 pasa a ser el radicando (contenido de la raíz), el 4 pasa a ser el índice de la raíz y el 7 se queda como exponente del 2:
En este caso, la raíz no tiene solución entera por lo que se queda así. Simplemente la hemos pasado de potencia a raíz para expresar el resultado de otra forma, pero no ha servido para obtener el resultado de la raíz.
No va a pasar lo mismo con esta otra potencia:
Directamente no puedes calcular el resultado, pero al transformarlo a raíz si:
El 2 pasa a ser el índice de la raíz y el 1 para a elevar al 4. Como ya sabes, el índice de las raíces cuadradas no se escribe, ni cuando el exponente es igual a 1 en una potencia tampoco, así que tenlo en cuenta. Yo solamente los he puesto para que te dieras cuenta.
Cuando el exponente fraccionario tenga un 1 como numerador, en el radicando no aparecerá ningún exponente:
Exponentes fraccionarios negativos
Por supuesto, debes tener mucho cuidado con los signos menos. Los puedes tener en el exponente o en la base y cuando están en la base, pueden estar afectados por el exponente o no.
Vamos a ver más despacio cada uno de estos casos.
Empezamos con el caso de cuando tengamos un signo negativo en el exponente, como por ejemplo:
Lo primero que debes hacer es pasar el exponente de negativo a positivo y eso se hace pasando la potencia al denominador.
Una vez tienes la potencia en el denominador, tienes un exponente positivo en forma de fracción, que ya puedes transformar a raíz, pero ten en cuenta que se queda en el denominador:
Otro caso es que tengas el signo negativo en la base de la potencia:
En éste caso, el signo menos está fuera de la potencia, es decir, es equivalente a que la potencia esté multiplicada por -1.
Por tanto, el signo menos se mantiene y se pasa la potencia a forma de raíz, para obtener su resultado:
Si el signo menos está encerrado entre paréntesis, entonces sí que está afectado por el exponente:
En este caso, el signo menos pasa a formar parte del radicando tal y como estaba en la base de la potencia.
Al ser una raíz con índice par no tiene solución real.
Recuerda con sólo las raíces con índice impar tienen resultado cuando el radicando es negativo.
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Potencias con exponente fraccionario con bases formadas por varios factores o términos
Igual que sucede cuando el signo menos precede a la potencia, es decir, que no está afectado por el exponente y es como si estuviera multiplicado por -1, la potencia con exponente fraccionario puede estar multiplicada por un número o una variable, como por ejemplo:
Este caso se resuelve muy fácilmente, puesto que solamente tenemos que mantener el 3 y pasar a forma de raíz la potencia a la que multiplica, quedando:
Puede darse también el caso de que en la base de la potencia tengas varios números y variables. Para que todos formen parte de la base, tienen que estar encerrados entre paréntesis.
Vamos a ver un ejemplo:
Como ves, todos los factores pasan a formar parte del radicando, tal y como estaban en la base de la potencia.
Luego el 7 pasa a elevar a todos los factores, por lo que otra vez deben ir encerrados entre paréntesis
La base también puede estar formada por varios términos como esta potencia:
Al igual que en el caso anterior, la base que es la que está encerrada entre paréntesis, pasa a ser el radicando, que a su vez está elevado a 3, que era el numerador del exponente fraccionario. El 5 pasa a ser el índice de la raíz.
Todo lo que acabas de ver puede estar mezclado entre sí, hasta el punto de que te puedas encontrar potencias con bases formadas con varios términos, que a su vez tienen varios factores y que están elevados a una fracción negativa.
Tan sólo debes ir paso a paso, resolviendo sólo un problema en cada paso.
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