Forma polar de un número complejo. Representación gráfica. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo se representa un número complejo. Además veremos cómo expresar un número complejo en forma polar y te explicaré cómo pasar un número complejo de forma binómica a forma polar y cómo pasar un número complejo de forma polar a forma binómica.

Con ejemplos resueltos paso a paso.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

QUIERO APRENDER MATEMÁTICAS

Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Representación gráfica de un número complejo

Los números complejos se representan en un plano, llamado plano complejo, formado por unos ejes de coordenadas, donde al eje x, se le llama eje real y al eje “y” se la llama eje imaginario.

La parte real del número complejo se representa en el eje real (eje x) y la parte imaginaria del número complejo se representa en el eje imaginario (eje y).

Vamos a verlo con varios ejemplos.

Vamos a representar el número complejo Z1:

La parte real del número complejo es 2, luego desde el punto 2 del eje real, trazamos una línea vertical. La parte imaginaria es -4, por lo que desde el punto -4 del eje imaginario trazamos una línea horizontal.

El punto donde se corten ambas líneas, será el extremo del número complejo, llamado afijo:

Representamos ahora el número complejo Z2:

Ahora la parte real del número complejo es -5, por tanto, desde el punto -5 del eje real, trazamos una línea vertical. La parte imaginaria es 3, por lo que desde el punto 3 del eje imaginario trazamos una línea horizontal. Nos queda:

Por último, vamos a representar el número Z3:

La parte real del número complejo es -1, por tanto, desde el punto -1 del eje real, trazamos una línea vertical. La parte imaginaria es -4, por lo que desde el punto -4 del eje imaginario trazamos una línea horizontal.

El punto donde se unen ambas líneas nos da el extremo del número complejo Z3:

Forma polar de un número complejo

Otra forma de expresar un número complejo es en forma polar.

La forma polar de un número complejo es la siguiente:

Donde “r”, corresponde al módulo (también puedes verlo representado con la letra m), que es la longitud que mide el vector que forma el número complejo:

Por otro lado α es el argumento:

El argumento es el ángulo que forma el número complejo con el semieje positivo del eje x, medido siempre en sentido contrario de las agujas del reloj.

El número complejo en forma polar, se representa de la siguiente forma:

Vamos a representar unos cuantos números complejos en forma polar:

En este caso, el módulo, es decir, la longitud del vector es 2 y forma un ángulo de 60º con el semieje positivo del eje x:

Seguimos representando el siguiente número complejo en forma polar:

En este caso, la longitud del vector es 4 (date cuenta que el doble de largo que el anterior) y forma un ángulo de 135º con el semieje positivo del eje x:

Por último, representaremos el siguiente número complejo:

En este caso, el módulo es 3 y forma un ángulo de 240º:

Como ves, para representar números complejos en forma polar, dibujamos directamente  su longitud y su inclinación nos la da el ángulo que forma con el semieje positivo del eje x. No es necesario unir dos puntos como cuando se representan en forma binómica.

Sin embargo, aunque el número complejo esté en forma binómica o en forma polar, su representación debe ser la misma, ya que el número complejo es el mismo, solo que expresado en dos formas diferentes.

Cómo pasar un número complejo de forma binómica a forma polar

Vamos a ver cómo pasar un número complejo que tenemos expresado en forma binómica, a su forma polar.

Partimos de un número complejo en forma binómica:

Al representarlo, tomando su parte real en el eje real y su parte imaginaria en el eje imaginario, queda de la siguiente manera:

Tal y como tenemos la representación este número complejo, la longitud que mide corresponde al módulo y el ángulo que forma con el semieje positivo del eje x, corresponde al argumento:

Por tanto, podemos calcular el módulo a partir de las componentes del número complejo en forma binómica, mediante la siguiente fórmula:

Esta fórmula se obtiene mediante Pitágoras, con el triángulo rectángulo que se forma con el vector, el eje x y la línea vertical que dibujamos desde el punto a.

Por otro lado, podemos calcular el argumento mediante la tangente de ese ángulo, ya que conocemos lo que miden cada uno de los catetos de ese triángulo (el cateto contiguo mide b y el cateto opuesto mide a). Por tanto:

Esta fórmula no nos da directamente el valor del argumento, ya que tenemos dos posibles valores que se diferencian en 180º y que tienen la misma tangente.

Para saber cuál de los dos ángulos es el correcto, tenemos que representar el número complejo, lo cual nos permitirá saber el cuadrante donde se encuentra el ángulo.

Vamos a verlo con unos ejemplos.

Pasar el siguiente número complejo en forma binómica a forma polar:

En primer lugar calculamos el módulo con la fórmula:

Sustituimos “a” por -4 que es la parte real y “b” por 3, que es la parte imaginaria:

Y operamos:

El módulo es igual a 5.

Ahora vamos a calcular el argumento, con la fórmula:

Sustituimos a y b, por -4 y 3 respectivamente:

Hemos obtenido un posible valor del argumento. Vamos a ver si es el correcto o no.

Como te he indicado antes, existen dos ángulos para los cuales, el valor de su tangente es la misma. Y la calculadora solamente nos da uno de ellos.

Representamos el número complejo:

Representar el número complejo, nos permite saber el cuadrante donde se encuentra el ángulo que buscamos.

El ángulo correcto está en el segundo cuadrante, mientras que el ángulo de -36,86º obtenido está en el cuarto cuadrante.

Para hallar ese ángulo correcto, sólo tenemos que sumar 180º al ángulo que hemos obtenido obtenido:

Si te das cuenta, ambos ángulos tienen la misma tangente (puedes comprobarlo con la calculadora):

En general, los ángulos que se diferencian en 180º tienen la mima tangente.

Por tanto, el número complejo anterior expresado en forma polar es:

Vamos a ver otro ejemplo: Expresar en forma polar el siguiente número complejo:

Empezamos calculando el módulo con la formula:

Sustituimos “a” por 5 y “b” por -12:

Y operamos:

El módulo es 13.

Ahora calculamos el argumento con la fórmula:

Sustituimos “a” y “b” por sus valores correspondientes:

Obtenemos un posible valor del argumento, que se encuentra en el cuarto cuadrante. Tenemos que comprobar si es correcto o no.

Representamos el número complejo:

Vemos que el ángulo correcto se encuentra en el cuarto cuadrante. Sin embargo, no podemos expresar el valor del argumento de en un ángulo negativo, ya que se expresa desde el semieje positivo del eje x, en sentido contrario a las agujas del reloj.

Por tanto, ese ángulo lo calculamos restándolo a 360º:

En realidad es el mismo ángulo, pero expresado de forma positiva.

Por tanto, el número expresado en forma polar es:

Vamos a ver un tercer ejemplo: Pasar a forma polar el siguiente número complejo:

Calculamos su módulo, mediante la fórmula:

Sustituimos “a” y “b” por sus valores:

Y operamos:

En este caso dejamos el módulo en forma de raíz ya que su resultado no da exacto.

Calculamos el argumento con la fórmula:

Sustituimos “a” y “b” por sus valores:

Nos queda un ángulo en el prime cuadrante.

Representamos el número para comprobar el cuadrante correcto:

El cuadrante correcto es el tercer cuadrante, por lo que para hallar el ángulo correspondiente, le sumamos 180º al ángulo que calculamos:

Por tanto, el número en forma polar es:

Cómo pasar un número complejo de forma polar a forma binómica

Vamos a ver ahora cómo pasar un número que tenemos expresado en forma polar, a forma binómica.

Partimos de un número complejo en forma polar:

Del que conocemos su módulo y su argumento.

Queremos calcular las componentes real e imaginaria del número complejo en forma polar, es decir “a” y “b”.

Se forma un triángulo rectángulo con el vector, el eje x y la línea vertical que dibujamos desde el punto “a”:

Donde el cateto opuesto al ángulo mide “b”, el cateto contiguo al ángulo mide “a” y la hipotenusa mide “r”

El coseno del ángulo es igual a:

De donde podemos despejar el valor de “a”, es decir, de la parte real, que es igual al módulo por el coseno del argumento:

Por otro lado, el seno del ángulo es igual a:

De donde podemos despejar el valor la parte imaginaria “b”, que será igual al módulo por el seno del argumento:

Obteniendo así los valores de “a” y “b” correspondientes a la parte real e imaginaria del número complejo en su forma binómica.

Vamos a ver un ejemplo:

Pasar a forma binómica el siguiente número complejo en forma polar:

La parte real lo calculamos con la fórmula del módulo por el coseno del argumento:

Sustituimos el módulo y el argumento por su valor y operamos:

La parte real es igual a 3,53.

La parte imaginaria es igual al módulo por el seno del argumento:

Sustituimos el módulo y el argumento por su valor y operamos:

La parte imaginaria es igual a 3,53i.

Por tanto, el número complejo en forma binómica es:

Vamos a ver otro ejemplo:

Pasar a forma binómica el siguiente número complejo:

Calculamos la parte real:

Y después la parte imginaria:

En este caso, solamente tenemos parte real, por lo que el número complejo en forma binómica queda:

Por último, un ejemplo más:

Calculamos la parte real con la fórmula:

La parte real es igual a 2.

Y calculamos la parte imaginaria con la fórmula:

La parte imaginaria es igual a-3,46i.

Por tanto, el número complejo en forma binómica es:

En el Curso de Números Complejos, tienes explicado cómo realizar operaciones con números complejos tanto en forma polar como en forma binómica, con ejercicios resueltos paso a paso y explicaciones al detalle.

¿Necesitas ayuda con las matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja paso a paso?

Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.

He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.

Con mi método:

  • Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
  • Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión

Suena bien ¿no?

¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?

Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más:

ENSÉÑAME MATEMÁTICAS

Uso de cookies

Usamos cookies propias y de terceros (Google) para que usted tenga la mejor experiencia de usuario, por lo que los terceros reciben información sobre tu uso de este sitio web.

Si continúas navegando, consideramos que aceptas el uso de las cookies. Puedes obtener más info o saber cómo cambiar la configuración en nuestra Política de Cookies.

ACEPTAR
Aviso de cookies