Cómo pasar de forma binómica a polar y de polar a binómica. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar cómo pasar un número complejo de forma binómica a forma polar y cómo pasar un número complejo de forma polar a forma binómica. Con ejercicios resueltos paso a paso.

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Cómo pasar un número complejo de forma binómica a forma polar

Vamos a ver cómo pasar un número complejo que tenemos expresado en forma binómica, a su forma polar.

Partimos de un número complejo en forma binómica:

Al representarlo, tomando su parte real en el eje real y su parte imaginaria en el eje imaginario, queda de la siguiente manera:

Tal y como tenemos la representación este número complejo, la longitud que mide corresponde al módulo y el ángulo que forma con el semieje positivo del eje x, corresponde al argumento:

Por tanto, podemos calcular el módulo a partir de las componentes del número complejo en forma binómica, mediante la siguiente fórmula:

Esta fórmula se obtiene mediante Pitágoras, con el triángulo rectángulo que se forma con el vector, el eje x y la línea vertical que dibujamos desde el punto a.

Por otro lado, podemos calcular el argumento mediante la tangente de ese ángulo, ya que conocemos lo que miden cada uno de los catetos de ese triángulo (el cateto contiguo mide b y el cateto opuesto mide a). Por tanto:

Esta fórmula no nos da directamente el valor del argumento, ya que tenemos dos posibles valores que se diferencian en 180º y que tienen la misma tangente.

Para saber cuál de los dos ángulos es el correcto, tenemos que representar el número complejo, lo cual nos permitirá saber el cuadrante donde se encuentra el ángulo.

Vamos a verlo con unos ejemplos.

Pasar el siguiente número complejo en forma binómica a forma polar:

En primer lugar calculamos el módulo con la fórmula:

Sustituimos «a» por -4 que es la parte real y «b» por 3, que es la parte imaginaria:

Y operamos:

El módulo es igual a 5.

Ahora vamos a calcular el argumento, con la fórmula:

Sustituimos a y b, por -4 y 3 respectivamente:

Hemos obtenido un posible valor del argumento. Vamos a ver si es el correcto o no.

Como te he indicado antes, existen dos ángulos para los cuales, el valor de su tangente es la misma. Y la calculadora solamente nos da uno de ellos.

Representamos el número complejo:

Representar el número complejo, nos permite saber el cuadrante donde se encuentra el ángulo que buscamos.

El ángulo correcto está en el segundo cuadrante, mientras que el ángulo de -36,86º obtenido está en el cuarto cuadrante.

Para hallar ese ángulo correcto, sólo tenemos que sumar 180º al ángulo que hemos obtenido obtenido:

Si te das cuenta, ambos ángulos tienen la misma tangente (puedes comprobarlo con la calculadora):

En general, los ángulos que se diferencian en 180º tienen la mima tangente.

Por tanto, el número complejo anterior expresado en forma polar es:

Vamos a ver otro ejemplo: Expresar en forma polar el siguiente número complejo:

Empezamos calculando el módulo con la formula:

Sustituimos «a» por 5 y «b» por -12:

Y operamos:

El módulo es 13.

Ahora calculamos el argumento con la fórmula:

Sustituimos «a» y «b» por sus valores correspondientes:

Obtenemos un posible valor del argumento, que se encuentra en el cuarto cuadrante. Tenemos que comprobar si es correcto o no.

Representamos el número complejo:

Vemos que el ángulo correcto se encuentra en el cuarto cuadrante. Sin embargo, no podemos expresar el valor del argumento de en un ángulo negativo, ya que se expresa desde el semieje positivo del eje x, en sentido contrario a las agujas del reloj.

Por tanto, ese ángulo lo calculamos restándolo a 360º:

En realidad es el mismo ángulo, pero expresado de forma positiva.

Por tanto, el número expresado en forma polar es:

Vamos a ver un tercer ejemplo: Pasar a forma polar el siguiente número complejo:

Calculamos su módulo, mediante la fórmula:

Sustituimos «a» y «b» por sus valores:

Y operamos:

En este caso dejamos el módulo en forma de raíz ya que su resultado no da exacto.

Calculamos el argumento con la fórmula:

Sustituimos «a» y «b» por sus valores:

Nos queda un ángulo en el prime cuadrante.

Representamos el número para comprobar el cuadrante correcto:

El cuadrante correcto es el tercer cuadrante, por lo que para hallar el ángulo correspondiente, le sumamos 180º al ángulo que calculamos:

Por tanto, el número en forma polar es:

Cómo pasar un número complejo de forma polar a forma binómica

Vamos a ver ahora cómo pasar un número que tenemos expresado en forma polar, a forma binómica.

Partimos de un número complejo en forma polar:

Del que conocemos su módulo y su argumento.

Queremos calcular las componentes real e imaginaria del número complejo en forma polar, es decir «a» y «b».

Se forma un triángulo rectángulo con el vector, el eje x y la línea vertical que dibujamos desde el punto «a»:

Donde el cateto opuesto al ángulo mide «b», el cateto contiguo al ángulo mide «a» y la hipotenusa mide «r»

El coseno del ángulo es igual a:

De donde podemos despejar el valor de «a», es decir, de la parte real, que es igual al módulo por el coseno del argumento:

Por otro lado, el seno del ángulo es igual a:

De donde podemos despejar el valor la parte imaginaria «b», que será igual al módulo por el seno del argumento:

Obteniendo así los valores de «a» y «b» correspondientes a la parte real e imaginaria del número complejo en su forma binómica.

Vamos a ver un ejemplo:

Pasar a forma binómica el siguiente número complejo en forma polar:

La parte real lo calculamos con la fórmula del módulo por el coseno del argumento:

Sustituimos el módulo y el argumento por su valor y operamos:

La parte real es igual a 3,53.

La parte imaginaria es igual al módulo por el seno del argumento:

Sustituimos el módulo y el argumento por su valor y operamos:

La parte imaginaria es igual a 3,53i.

Por tanto, el número complejo en forma binómica es:

Vamos a ver otro ejemplo:

Pasar a forma binómica el siguiente número complejo:

Calculamos la parte real:

Y después la parte imginaria:

En este caso, solamente tenemos parte real, por lo que el número complejo en forma binómica queda:

Por último, un ejemplo más:

Calculamos la parte real con la fórmula:

La parte real es igual a 2.

Y calculamos la parte imaginaria con la fórmula:

La parte imaginaria es igual a-3,46i.

Por tanto, el número complejo en forma binómica es:

En el Curso de Números Complejos, tienes explicado cómo realizar operaciones con números complejos tanto en forma polar como en forma binómica, con ejercicios resueltos paso a paso y explicaciones al detalle.

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