A continuación vamos a ver qué son las funciones simétricas y cómo las podemos identificar, con ejercicios resueltos paso a paso. Veremos qué tipos de funciones simétricas existen.
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Qué son las funciones simétricas
Las funciones simétricas son aquellas funciones cuya gráfica es simétrica respecto a alguna referencia de los ejes de coordenadas, como puede ser el eje «y» o el origen de coordenadas. En otras palabras, es como si esa referencia funcionara igual que un espejo.
Por ejemplo, tenemos la función:
Cuya gráfica es:
Vemos que el punto (1,-3) y su simétrico respecto al eje «y» (-1,-3), es decir, el punto que está a la misma distancia del eje «y», pero en el lado contrario, pertenecen ambos a la gráfica de la función:
Si tomáramos cualquier punto perteneciente a la gráfica, en la parte derecha de los ejes de coordenadas, su punto simétrico en la parte izquierda estaría también dentro de la gráfica.
En este caso, la función es simétrica respecto del eje «y», que es lo que vamos a ver a continuación.
Función simétrica respecto del eje «y»
Una función es simétrica con respecto al eje «y», cuando al dividir la función en dos partes desde el eje «y» y voltear la parte derecha hacia la parte izquierda, su forma es la misma:
¿Cómo saber si una función es simétrica con respecto al eje «y» si no tenemos su gráfica?
Podemos saber si una función es simétrica con respecto al eje «y» cuando se cumple que f(x) es igual a f(-x). A una función simétrica respecto al eje «y» se le llama función par:
Una función es par y por tanto simétrica con respecto al eje «y» cuando todos sus exponentes son pares.
Por ejemplo:
Determinar si la siguiente función es una función par:
Tenemos que comprobar si f(x) es igual a f(x).
En primer lugar tenemos que hallar f(-x). Para ello, sustituimos la x de la función original por -x:
Operamos y queda:
Por tanto, f(x) es igual a f(-x):
Así que la función es par y simétrica con respecto al eje «y».
También hubiéramos sabido que la función es par, sin necesidad de realizar ningún cálculo, ya que el único exponente que tiene es par.
Función simétrica respecto al origen de coordenadas
Las funciones también pueden ser simétricas con respecto al origen de coordenadas.
Una función es simétrica con respecto al origen de coordenadas, cuando al dividir la función en dos partes desde el origen de coordenadas, si giramos una parte de la función con centro en el origen, llega a coincidir con la otra parte de la función:
¿Cómo podemos saber si una función es simétrica con respecto al origen de coordenadas si no tenemos su gráfica?
Podemos saber si una función es simétrica con respecto al origen de coordenadas cuando se cumple que f(-x) es igual a -f(x). A una función simétrica respecto al origen de coordenadas también se le llama función impar:
Una función es impar y por tanto simétrica con respecto al origen de coordenadas cuando todos sus exponentes son impares.
Por ejemplo:
Determinar si la siguiente función es simétrica con respecto al origen de coordenadas:
Tenemos que comprobar si f(-x) es igual a -f(x).
En primer lugar, obtenemos f(-x) sustituyendo la x por -x:
Operamos y nos queda:
Ahora obtenemos -f(x), multiplicando la función por -1, poniendo un signo menos delante de la función y encerrando la misma entre paréntesis:
Operamos para eliminar el paréntesis y nos queda:
En este caso, f(-x) es igual a -f(x):
Por tanto, la función es impar o simétrica respecto al origen de coordenadas.
También hubiéramos sabido que la función es impar, sin necesidad de realizar ningún cálculo, ya que el único sus exponentes son impares.
¿Para qué nos interesa saber si una función es simétrica o no?
Es posible que te estés preguntando que para que sirve saber si una función es simétrica o no.
Es interesante saber si una función es simétrica sobre todo a la hora de representar su gráfica, ya que sabremos qué forma tiene la gráfica tan solo dibujando la mitad.
Ejercicios resueltos sobre simetría de funciones
Para terminar, vamos a estudiar la simetría de algunas funciones. Estudiar la simetría significa justificar si son simétricas respecto el eje «y», respecto del origen de coordenadas o no son simétricas.
Ejercicio resuelto 1
Estudiar la simetría de la siguiente función:
Empezamos calculando f(-x), que es que lo que podemos comparar con f(x) para saber si es par o con -f(x) para saber si es impar. Sustituimos -x por la x de la función original:
Operamos y nos queda:
Que es igual a la función original. Por tanto, la función es par y simétrica con respecto al eje «y»:
Ejercicio resuelto 2
Estudiar la simetría de la siguiente función:
Calculamos f(-x), sustituyendo la x por -x:
Eliminamos el paréntesis y queda:
Que no es igual a la función original:
Por tanto, la función no es simétrica con respecto al eje «y».
Calculamos ahora -f(x) para ver si la función es impar:
Operamos para eliminar el paréntesis y queda:
f(-x) tampoco es igual a -f(x):
La función tampoco es impar o simétrica con respecto al origen.
Por tanto, la función no es simétrica.
Ejercicio resuelto 3
Estudiar la simetría de la siguiente función:
Calculamos f(-x):
Que no es igual a la función original:
Seguimos calculando -f(x):
Que es igual a f(-x), por lo que la función es impar y simétrica con respecto al origen de coordenadas:
Ejercicio resuelto 4
Estudiar la simetría de la siguiente función:
Obtenemos f(-x):
Operamos y nos queda:
No es igual a f(x):
Por tanto, la función no es par.
Vamos a comprobar si es impar obteniendo -f(x):
f(-x) es igual a -f(x), por lo que la función es impar o simétrica respecto al origen de coordenadas:
Ejercicio resuelto 5
Estudiar la simetría de la siguiente función:
Empezamos como siempre obteniendo f(-x):
Operamos:
La función obtenida es igual a f(x), por lo que la función es par o simétrica respecto al eje «y»:
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