A continuación te voy a explicar en qué consisten y cómo realizar los giros en el sistema diédrico. Veremos cómo realizar paso a paso giros de puntos y rectas en diédrico. Con ejercicios resueltos paso a paso.
En el sistema diédrico, cualquier elemento, ya sea un punto, una recta o una figura, queda representada mediante sus proyecciones. En muchos casos, ocurre que debido a la posición que ocupa en el espacio, no podemos medir elementos directamente en verdadera magnitud.
En estos casos, se recurren a los giros para posicionar el elemento de tal forma que quede en verdadera magnitud en el alguno de los dos planos de proyección.
Dicho esto, vamos a ver qué son los giros en diédrico y cómo hacerlos paso a paso.
¡Empezamos!
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Que son los giros en el sistema diédrico
Un giro en el sistema diédrico consiste en girar elemento, un determinado ángulo, alrededor de un eje. Al realizar el giro, la figura queda en una posición más asequible para poder interpretarla.
Por ejemplo, tenemos el siguiente prisma representando en sistema diédrico, en el que por medio de sus proyecciones, podemos ver que su base es paralela al plano horizontal, pero su cara frontal no es paralela al plano vertical, por lo que en esta posición, sus caras en el plano vertical no aparecen en verdadera magnitud:
Vamos a girar el prisma para que su cara frontal sea paralela al plano vertical.
Para ello, en primer lugar vamos a colocar un eje (que es una recta vertical) que pase por la C-G. En el plano vertical, la proyección vertical del eje queda representada como una recta perpendicular a la línea de tierra que pasa por la arista C”-G” y en el plano vertical, un punto que coincide con los vértices C’ y G’:
Ahora giramos el prisma alrededor del eje e, de forma que el punto B se quede en la misma horizontal que C y así, el segmento B-C sea paralelo al plano vertical:
La figura girada queda de la siguiente manera:
Ahora todas sus caras están en verdadera magnitud, tanto en el plano vertical como en el plano horizontal y podemos medir cualquier longitud en verdadera magnitud en ambos planos de proyección.
En los siguientes apartados, vamos a ver paso a paso cómo girar un punto y una recta en el sistema diédrico.
Giro de un punto
Vamos a empezar explicando cómo se realiza el giro de un punto en el espacio, para tener una visión más clara del concepto, para después entender mejor el giro de un punto en el sistema diédrico.
Debemos tener en cuenta que un punto A que gira un determinado ángulo α, alrededor de un eje, se encuentra siempre en un plano perpendicular al eje, que pasa por el punto:
Partiendo de esta premisa, vamos a ver qué pasa con las proyecciones del punto girado.
Tenemos un punto A y sus proyecciones sobre los planos de proyección:
Lo giramos alrededor de un eje vertical, un ángulo α.
La nueva ubicación del punto A1, se encuentra dentro del plano perpendicular al eje y que pasa por el mismo punto, tal y como hemos comentado antes, que se trata un plano horizontal, ya que el eje es vertical:
En la posición girada, la proyección vertical del punto A1”, se encuentra en el mismo plano horizontal que A” y la proyección horizontal A1′ se encuentra dentro de la circunferencia que se describe al girar el punto, con radio en el eje:
Cómo realizar el giro de un punto con eje vertical en el sistema diédrico
Vamos a ver qué pasos hay que dar para girar un punto en el sistema diédrico cuando el eje de giro es vertical.
Tenemos un punto A representado en el sistema diédrico:
Trazamos una recta vertical en una posición cualquiera, que será el eje de giro vertical:
Trazamos un plano auxiliar horizontal α, que pase por A”, plano que también contendrá a la proyección vertical del punto girado. Hemos trazado un plano horizontal, ya que debe ser perpendicular al eje, que es vertical:
El eje e corta al plano auxiliar α en el punto M. Este punto M será el centro de la circunferencia de giro, que en el plano horizontal coincide con el eje:
Unimos el punto A con el punto M, dando lugar a la recta h, que corresponde al radio de la circunferencia de giro:
En el plano horizontal, con centro en M y radio h, trazamos el arco de circunferencia correspondiente al ángulo que queramos girar el punto, dando lugar a la proyección horizontal del punto girado A1′:
Para obtener la proyección vertical del punto girado A1”, desde A1′ trazamos una línea vertical hasta cortar con el plano α:
Cómo realizar el giro de un punto con eje horizontal en el sistema diédrico
El giro de un punto en sistema diédrico utilizando un eje horizontal se realiza de manera similar a lo explicado para el eje vertical.
Tenemos un punto A representado en diédrico:
Trazamos una recta horizontal en una posición cualquiera, que será el eje de giro horizontal:
Trazamos un plano auxiliar vertical α, que pase por A’, que también contendrá a la proyección horizontal del punto girado. El plano auxiliar es vertical, ya que debe ser perpendicular al eje, que es horizontal:
Unimos el punto A con el punto M, dando lugar a la recta h, que corresponde al radio de la circunferencia de giro:
En el plano vertical, con centro en M y radio h, trazamos el arco de circunferencia correspondiente al ángulo que queramos girar el punto, dando lugar a la proyección vertical del punto girado A1”, obteniendo A1′ mediante una línea vertical hasta cortar al plano α:
Cómo realizar el giro de una recta en sistema diédrico
Una vez que sabemos cómo girar un punto, vamos a ver cómo se realiza el giro de una recta en el sistema diédrico.
Girando dos puntos pertenecientes la recta
Para girar una recta en sistema diédrico, podemos elegir dos puntos que pertenezcan a la recta y luego girar cada punto por separado el mismo ángulo, desde el mismo eje, para más tarde unir los puntos en la nueva posición y obtener la recta girada.
Vamos a realizar el giro de una recta siguiendo este método paso a paso.
Tenemos la recta r representada en diédrico:
Elegimos dos puntos cualquiera A y B, que pertenezcan a la recta:
Giramos el punto A, siguiendo el procedimiento explicado más arriba:
Giramos el punto B el mismo ángulo que hemos girado el punto A y utilizando el mismo eje de giro:
Y finalmente unimos las proyecciones de ambos puntos girados para obtener las proyecciones de la recta girada r1′ y r1”:
Con el eje que corte a la recta y un punto que pertenezca a ella
Podemos simplificar el procedimiento anterior, haciendo que el eje corte a la recta, con el fin de que sólo tenga que girar uno de los puntos, ya que el otro coincidirá con el eje y permanecerá fijo fijo.
Vamos a ver cómo hacerlo paso a paso.
Tengo la recta r en diédrico:
Trazo un punto A que pertenezca a la recta y un eje que corte a la recta en un punto cualquiera P:
Giramos el punto A alrededor del eje:
Y por último, unimos A1 con P para obtener la recta girada r1:
Cómo convertir una recta oblicua en una recta frontal u horizontal mediante giros
Una recta se gira en el sistema diédrico cuando queremos hallar su verdadera magnitud, ya que podemos convertir una recta oblicua en una recta frontal u horizontal, obteniendo sobre el plano vertical o el plano horizontal, respectivamente, las proyecciones de dichas rectas en verdadera magnitud.
Girar una recta oblicua para convertirla en una recta horizontal
Vamos a ver cómo convertir una recta cualquiera en una recta horizontal en el sistema diédrico. Para ello utilizaremos un eje vertical.
Tenemos la recta r:
Elegimos un punto A que pertenezca a la recta y un eje vertical que corte a la recta en un punto cualquiera P:
Giramos el punto A, de tal forma que A1′ quede en la misma horizontal que P’, quedando paralela a la línea de tierra y al plano de proyección vertical:
Por último, trazamos r1 uniendo P y A1, siendo r1 una recta horizontal y por tanto, está en verdadera magnitud en el plano vertical:
Girar una recta oblicua para convertirla en una recta vertical
Seguimos viendo cómo convertir una recta oblicua en una recta vertical en el sistema diédrico, para lo que utilizaremos un eje horizontal.
Tenemos representada la recta r:
Elegimos un punto A que pertenezca a la recta y un eje horizontal que corte a la recta en un punto cualquiera P:
Giramos el punto A dejando A1” en la misma horizontal que P”, quedan paralela a la línea de tierra y al plano de proyección horizontal:
Finalmente, trazamos r1 uniendo P y A1, siendo r1 una recta vertical y por tanto, se encuentra en verdadera magnitud en el plano horizontal:
Ejercicios sobre giros de rectas en diédrico
Vamos a resolver unos ejercicios para practicar con los giros de rectas en diédrico.
Ejercicio 1
Dada la recta r y los puntos A y B contenidos en ella, halla la distancia del segmento A-B, siguiendo los siguientes procedimientos:
a) Mediante un giro de la recta
b) Siguiendo el procedimiento general para hallar la distancia entre dos puntos
Apartado a
Vamos a hallar la distancia entre los puntos A y B girando la recta r.
Trazamos el eje vertical en el punto B:
Giramos el punto A al rededor del eje e, hasta que el segmento M’-A’ sea paralelo a la línea de tierra:
Trazamos r1 uniendo A1 con B, siendo r1 una recta horizontal:
Como r1 es una recta horizontal, está en verdadera magnitud en el plano vertical, por lo que podemos medir directamente el segmento A”-B” en ese plano, que corresponde a la distancia que existe entre los puntos A y B:
Apartado b
Ahora vamos a hallar la distancia entre los puntos A y B siguiendo el procedimiento general para hallar la distancia entre dos puntos.
Desde A” trazamos una horizontal que corte con la línea de proyección del punto B. La distancia que existe entre este punto de corte y B” corresponde a la diferencia de cotas C:
Desde B’, trazamos una perpendicular la recta r’, de longitud C, obteniendo el punto (B’):
Unimos A’ y (B), obteniendo la verdadera magnitud entre los puntos A y B:
Pensarás que siguiendo este segundo procedimiento es mucho más rápido que girando la recta. En el caso de tener que saber la distancia entre dos puntos, conviene hacerlo por este método, pero si tenemos que realizar más medidas en la recta, tendríamos que repetir este método una y otra vez. Sin embargo, al girar la recta, ya podemos medir directamente cualquier distancia.
Por tanto, conviene girar la recta cuando tengamos que obtener varias medidas en verdadera magnitud.
Ejercicio 2
Dada la recta r, convertir dicha recta en una recta paralela a la línea de tierra, realizando los giros que sean necesarios.
Para convertir la recta r, que es una recta oblicua, en una recta paralela a la línea de tierra, realizaremos dos giros. En el primer giro, convertiremos la recta en una recta horizontal utilizando un eje vertical y en el segundo giro, terminaremos de convertirla en una recta paralela a la línea de tierra, utilizando un eje horizontal.
Empezamos realizando un primer giro para convertir la recta en una recta horizontal.
Para ello, elegimos un punto cualquiera de la recta:
Y trazamos un eje vertical de forma que corte a la recta r en un punto cualquiera:
Giramos el punto A, para que el segmento que une el centro del eje con A1′ se quede paralelo a la línea de tierra:
Ahora unimos el punto P con A1, para trazar la recta girada r1, que ahora es una recta horizontal:
Vamos a realizar una segundo giro para terminar de convertir la recta en una recta paralela a la línea de tierra.
Utilizamos ahora un eje horizontal, que lo trazamos en el mismo punto de corte de la recta con el anterior eje (punto P):
Giramos el punto A hasta que el el segmento que une el centro del eje con A2” se quede paralelo a la línea de tierra:
Y por último, unimos el punto P con A2, para trazar la recta girada r2, que ahora ya es una recta paralela a la línea de tierra:
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