¿Qué es la imagen de una función? ¿Cómo se calcula la imagen de una función? A continuación te explicaré paso a paso qué es la imagen de una función y te enseñaré cómo calcularla. Por supuesto, para entender esta lección, debes comprender qué es una función
Si has llegado hasta aquí es porque quieres aprender a resolver algún ejercicio. ¿Has pensado en apuntarte a clases de matemáticas online?. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
En este vídeo tienes ejercicios resueltos paso a paso de cómo calcular la imagen de una función:
https://youtu.be/KLtDKc_QfrM
Y si sigues leyendo lo tienes todo explicado paso a paso
Qué es la imagen de una función
Para entender muy bien qué es la imagen de una función, antes hay que tener muy claro qué es el dominio de una función.
Te recuerdo que el dominio de una función es el rango de valores de x para los que existe f(x), es decir, los valores de x, para los que f(x) tiene un resultado.
Gráficamente, el dominio se mira en el eje x, ya que son los valores de x para los que la función existe, es decir, la función está representada encima.
Por ejemplo, tenemos la siguiente función:
¿Cuál será su dominio?
Su dominio es el rango de valores de x para los que la función está representada encima (la función existe). Te lo marco en color azul:
Por tanto, el domino de esa función es:
Ahora bien, ¿cuál es la imagen de esta función? Y por cierto. ¿qué es la imagen de una función?
Se designa como Im f:
A la imagen de una función también se le puede llamar recorrido o rango.
Dicho con otras palabras, son los valores de f(x) en los que existe la función.
Gráficamente se mira en el eje y, (ya que f(x) e y, es lo mismo). Por tanto, la imagen de la función del ejemplo anterior, son los valores que están en el eje y, para los cuales existe la función. Te lo marco en verde:
Por lo que la imagen de esa función sería:
¿Cómo se calcula la imagen de una función?
La imagen está muy relacionada con el dominio de una función, ya que para calcular la imagen, es necesario calcular previamente el dominio.
La forma de calcularlo va a depender del tipo de función. Vamos a verlo:
Imagen de funciones polinómicas
En estas funciones, el dominio es todo R, por lo que la imagen también es todo R:
f(x) existe siempre, su dominio es todo R, por tanto la imagen es:
Siempre que el dominio sea todo R, la imagen será todo R, a excepción de las funciones cuadráticas (de segundo grado), que te lo explico al final de la lección.
Imagen de funciones irracionales
En las funciones irracionales como por ejemplo:
Para calcular la imagen debemos calcular antes su dominio.
El domino de esta función es:
Una vez tenemos el dominio, calculamos el valor de f(x) para cada extremo del dominio:
Estos dos valores de f(x), corresponden a los extremos del rango de valores de la imagen, por lo que la imagen de esa función es:
Por cierto, este ejemplo de función irracional corresponde a la gráfica del ejemplo anterior. Puedes comprobar cómo coinciden el domino y la imagen calculados con los que obteníamos gráficamente.
Imagen de funciones logarítmicas
La imagen de las funciones logarítmicas es todo R, por definición, independientemente de cuál sea su dominio.
Imagen de funciones racionales
Calcular la imagen de las funciones racionales, es algo más complejo que los casos anteriores. Para calcular el dominio de una función racional, debemos calcular previamente su función inversa, que se designa como:
Entre una función y su inversa se cumplen estas dos condiciones:
1- El dominio de la función inversa es igual a la imagen de f:
2- La imagen de f-1 es el dominio de f:
Por tanto, una vez hemos obtenido la función inversa, tenemos que calcular su dominio, ya que el dominio de la función inversa será la imagen de la función original.
Vamos a ver un ejemplo paso a paso: ¿Cuál es la imagen de la siguiente función?
Vamos a calcular su función inversa. El dominio de la función inversa será la imagen de esta función.
Pasos para calcular la inversa de una función:
A f(x) le llamamos y:
Ahora hay que despejar la x, es decir, hay que dejarla sola en el primer miembro. Para ello, el denominador 1-x lo pasamos multiplicando al primer miembro y la y la pasamos dividiendo al 1 en el segundo miembro:
Ahora dejamos la x sola, pasando el 1 restando al segundo miembro:
Una vez tenemos la x despejada, intercambiamos las incógnitas: a la x le llamamos y, y a la y le llamamos x:
Y esta es la función inversa. Por tanto a y le llamamos f elevada a -1:
Ahora que tenemos la función inversa, ya podemos calcular su dominio:
El dominio de la función inversa es la imagen de la función original:
Imagen de una función exponencial
La imagen de una función exponencial siempre es desde 0 (sin incluirlo) hasta infinito:
Ya que su gráfica puede ser así:
O así:
Imagen de funciones cuadráticas o funciones de segundo grado.
Para calcular la imagen de las funciones de segundo grado, se podría calcular también obteniendo el dominio de su función inversa, pero lo vamos a calcular con otro método.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Entonces:
- Si su vértice está apuntando hacia abajo, su vértice marcará el punto mínimo en el eje de las y
- Si su vértice está apuntando hacia arriba, su vértice marcará el punto máximo en el eje de las y
Vamos a verlo con un ejemplo. Calcular la imagen de la siguiente función:
En una función cuadrática de la forma:
El valor de x donde se encuentra el vértice se calcula con la siguiente fórmula:
En nuestra función, el valor de x donde se encuentra el vértice es:
Por tanto, el vértice estará en x=-1
¿Cuánto vale la función en ese punto?
Sustituimos la x por -1 en la función:
En x=-1, la función (el valor de y) es 0. Por tanto, el vértice se encuentra en el punto (-1,0)
¿El 0 es el valor máximo o el mínimo de la función?
Vamos a darle un valor cualquiera a x, para ver si la función toma un valor más grande o más pequeño que 0. Le damos por ejemplo el valor de x=1:
La función da 4, que es mayor que 0, por lo que 0 es el valor mínimo.
Por tanto como la imagen se mira en el eje de las y, y 0 es el valor más pequeño que puede valer la función, la imagen será:
Te dejo la gráfica de la función para que te quede más claro:
Ocurre lo mismo con las funciones bicuadráticas como por ejemplo:
Y en general en las funciones en las que el grado del primer término es el doble que el grado del segundo término como:
Cuando las funciones cuadráticas no están completas, también lo podemos calcular la imagen a partir de su función inversa. Por ejemplo:
Calculamos su función inversa:
Hallamos el dominio de la función inversa:
Por tanto, la imagen de la función original es:
¿Necesitas clases de matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?
Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.
He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.
Con mi método:
- Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
- Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión
Suena bien ¿no?
¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?
Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más: