Imagen de una función. Qué es y como calcularla paso a paso. Ejercicios resueltos.

¿Qué es la imagen de una función? ¿Cómo se calcula la imagen de una función?

A continuación te explicaré paso a paso qué es la imagen de una función y te enseñaré cómo calcularla.

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Qué es la imagen de una función

Para entender muy bien qué es la imagen de una función, antes hay que tener muy claro qué es el dominio de una función.

Te recuerdo que el dominio de una función es el rango de valores de x para los que existe f(x), es decir, los valores de x, para los que f(x) tiene un resultado.

Gráficamente, el dominio se mira en el eje x, ya que son los valores de x para los que la función existe, es decir, la función está representada encima.

Por ejemplo, tenemos la siguiente función:

imagen de una función

¿Cuál será su dominio?

Su dominio es el rango de valores de x para los que la función está representada encima (la función existe). Te lo marco en color azul:

Por tanto, el domino de esa función es:

Ahora bien, ¿cuál es la imagen de esta función? Y por cierto. ¿qué es la imagen de una función?

La imagen es el rango de valores de f(x) para los que existe un valor de x

Se designa como Im f:

A la imagen de una función también se le puede llamar recorrido o rango.

Dicho con otras palabras, son los valores de f(x) en los que existe la función.

Gráficamente se mira en el eje y, (ya que f(x) e y, es lo mismo). Por tanto, la imagen de la función del ejemplo anterior, son los valores que están en el eje y, para los cuales existe la función. Te lo marco en verde:

imagen de una función

Por lo que la imagen de esa función sería:

imagen de una función

¿Cómo se calcula la imagen de una función?

La imagen está muy relacionada con el dominio de una función, ya que para calcular la imagen, es necesario calcular previamente el dominio.

La forma de calcularlo va a depender del tipo de función. Vamos a verlo:

Imagen de funciones polinómicas

En estas funciones, el dominio es todo R, por lo que la imagen también es todo R:

f(x) existe siempre, su dominio es todo R, por tanto la imagen es:

imagen de una función

Siempre que el dominio sea todo R, la imagen será todo R, a excepción de las funciones cuadráticas (de segundo grado), que te lo explico al final de la lección.

Imagen de funciones irracionales

En las funciones irracionales como por ejemplo:

Para calcular la imagen debemos calcular antes su dominio.

El domino de esta función es:

Una vez tenemos el dominio, calculamos el valor de f(x) para cada extremo del dominio:

Estos dos valores de f(x), corresponden a los extremos del rango de valores de la imagen, por lo que la imagen de esa función es:

imagen de una función

Por cierto, este ejemplo de función irracional corresponde a la gráfica del ejemplo anterior. Puedes comprobar cómo coinciden el domino y la imagen calculados con los que obteníamos gráficamente.

Imagen de funciones logarítmicas

La imagen de las funciones logarítmicas es todo R, por definición, independientemente de cuál sea su dominio.

Imagen de funciones racionales

Calcular la imagen de las funciones racionales, es algo más complejo que los casos anteriores. Para calcular el dominio de una función racional, debemos calcular previamente su función inversa, que se designa como:

Entre una función y su inversa se cumplen estas dos condiciones:

1- El dominio de la función inversa es igual a la imagen de f:

2- La imagen de f-1 es el dominio de f:

Por tanto, una vez hemos obtenido la función inversa, tenemos que calcular su dominio, ya que el dominio de la función inversa será la imagen de la función original.

Vamos a ver un ejemplo paso a paso: ¿Cuál es la imagen de la siguiente función?

Vamos a calcular su función inversa. El dominio de la función inversa será la imagen de esta función.

Pasos para calcular la inversa de una función:

A f(x) le llamamos y:

Ahora hay que despejar la x, es decir, hay que dejarla sola en el primer miembro. Para ello, el denominador 1-x lo pasamos multiplicando al primer miembro y la y la pasamos dividiendo al 1 en el segundo miembro:

Ahora dejamos la x sola, pasando el 1 restando al segundo miembro:

Una vez tenemos la x despejada, intercambiamos las incógnitas: a la x le llamamos y, y a la y le llamamos x:

Y esta es la función inversa. Por tanto a y le llamamos f elevada a -1:

Ahora que tenemos la función inversa, ya podemos calcular su dominio:

El dominio de la función inversa es la imagen de la función original:

imagen de una función

Imagen de funciones cuadráticas o funciones de segundo grado.

Para calcular la imagen de las funciones de segundo grado, se podría calcular también obteniendo el dominio de su función inversa, pero lo vamos a calcular con otro método.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Entonces:

  • Si su vértice está apuntando hacia abajo, su vértice marcará el punto mínimo en el eje de las y
  • Si su vértice está apuntando hacia arriba, su vértice marcará el punto máximo en el eje de las y

Vamos a verlo con un ejemplo. Calcular la imagen de la siguiente función:

En una función cuadrática de la forma:

El valor de x donde se encuentra el vértice se calcula con la siguiente fórmula:

En nuestra función, el valor de x donde se encuentra el vértice es:

Por tanto, el vértice estará en x=-1

¿Cuánto vale la función en ese punto?

Sustituimos la x por -1 en la función:

imagen de una función

En x=-1, la función (el valor de y) es 0. Por tanto, el vértice se encuentra en el punto (-1,0)

¿El 0 es el valor máximo o el mínimo de la función?

Vamos a darle un valor cualquiera a x, para ver si la función toma un valor más grande o más pequeño que 0. Le damos por ejemplo el valor de x=1:

La función da 4, que es mayor que 0, por lo que 0 es el valor mínimo.

Por tanto como la imagen se mira en el eje de las y, y 0 es el valor más pequeño que puede valer la función, la imagen será:

Te dejo la gráfica de la función para que te quede más claro:

Ocurre lo mismo con las funciones bicuadráticas como por ejemplo:

Y en general en las funciones en las que el grado del primer término es el doble que el grado del segundo término como:

Cuando las funciones cuadráticas no están completas, también lo podemos calcular la imagen a partir de su función inversa. Por ejemplo:

Calculamos su función inversa:

Hallamos el dominio de la función inversa:

Por tanto, la imagen de la función original es:

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