Cómo resolver límites con indeterminación infinito entre infinito.

A continuación te voy a explicar cómo resolver la indeterminación infinito entre infinito en el cálculo de límites.

Normalmente, para resolver el límite, tan sólo tenemos que sustituir la x por el valor al que tiende.

No obstante hay veces que nos encontramos con que al sustituir, el resultado sea una indeterminación y en ese caso, debemos utilizar el método de cálculo que corresponda en cada caso.

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Cómo calcular límites con indeterminaciones del tipo infinito entre infinito. Ejercicios resueltos.

Este tipo de indeterminación lo encontramos en los límites de cuando x tiende a infinito (o menos infinito) de funciones racionales y al sustituir nos queda ∞/∞.

En general son tienen esta forma:

indeterminaciones infinito entre infinito

Cuando tengamos la indeterminación de límites infinito entre infinito, tenemos que eliminar términos del numerador y del denominador y dejar sólo los términos de mayor grado arriba y abajo.

Una vez lo tenemos los términos de mayor grado, podemos operar y eliminar las x que se repitan tanto en el numerador como en el denominador.

Al operar, la indeterminación desaparece y debemos sustituir de nuevo la x por el número al que tiende para llegar al resultado.

Para resolver y entender muy bien este tipo de indeterminaciones es importantes dominar tanto los polinomios como las fracciones algebraicas. Si no es tu caso, antes de seguir te aconsejo hacer el Curso de Polinomios y el Curso de Fracciones Algebraicas.

Vamos a ir viéndolo paso a paso con varios ejercicios resueltos como ejemplo. Empezamos con este límite:

indeterminación infinito entre infinito

Todos los límites empiezan resolviéndose igual: sustituyendo la x por el número al que tiende, es decir, no se resuelve sabiendo antes de empezar que va a ser una indeterminación. Eso no tenemos por qué saberlo.

Una vez hemos sustituido la x y operando, entonces podemos llegar a un resultado concreto o llegar a la conclusión de que es una indeterminación.

En primer lugar, sustituimos la x por infinito y nos queda una indeterminación:

indeterminación infinito partido infinito

Para resolver este tipo de indeterminación dejamos en el numerador y en el denominador sólo el término de mayor grado:

indeterminaciones infinito partido infinito

Una vez hemos dejado el término de mayor grado, operamos y eliminamos los factores que se repitan tanto en el numerador como en el denominador. En este caso, podemos eliminar una x en cada lado:

infinito partido por infinito

Y finalmente, hemos sustituido otra vez la x por infinito, pero esta vez, ya no tenemos ninguna indeterminación y el resultado es infinito entre un número, que es igual a infinito.

Vamos a ver otro ejemplo:

indeterminaciones infinito sobre infinito

Empezamos sustituyendo la x por infinito y nos queda:

infinito entre infinito

Esta vez tenemos un infinito negativo en el denominador, pero sigue siendo el mismo tipo de indeterminación.

Dejamos el término de mayor grado en el numerador y el denominador:

indeterminación infinito sobre infinito con raices

Operamos eliminando una x del numerador y otra del denominador y sustituimos otra vez la x por infinito, llegando al resultado de menos infinito, ya que estamos dividiendo por un número negativo:

indeterminación infinito sobre infinito ejercicios resueltos

Seguimos con otro ejemplo:

indeterminaciones infinito

Sustituimos la x por infinito y llegamos a la indeterminación infinito entre infinito:

limites indeterminados infinito sobre infinito

Dejamos el término de mayor grado en el numerador y en el denominador:

límites indeterminados infinito sobre infinito ejercicios resueltos

Operamos y podemos eliminar una x tanto en el numerador como en el denominador. Esta vez en el numerador no tenemos ninguna x, por lo que a la hora de sustituir, el infinito nos queda sólo en el denominador y por tanto, un número entre infinito, da como resultado cero:

infinito entre menos infinito

Vamos a terminar la indeterminación infinito partido por infinito con este ejemplo:

Sustituimos la x por infinito y queda la indeterminación infinito partido por infinito:

Dejamos el término de mayor grado arriba y abajo:

Al operar, podemos eliminar x elevado al cuadrado tanto en el numerador como en el denominador, por lo que desaparecen las x. Por tanto, a la hora de volver a sustituir la x por infinito, como no tenemos x, el resultado es el mismo número que nos ha quedado:

Indeterminación infinito entre infinito con raíces

Cuando nos encontramos radicales en los límites suele causar confusión. Vamos a ver cómo resolverlos si tenemos la indeterminación de infinito entre infinito con raíces.

Por ejemplo:

indeterminación infinito entre infinito con raíces

Sustituimos la x por infinito y llegamos a la conclusión de que es una indeterminación:

Nos quedamos con el término de mayor grado, pero ahora hay que tener cuidado con los radicales. En el numerador, el término de mayor grado es el primero, ya que el segundo término está dentro de otra raíz y por tanto el grado es menor.

En el denominador, el término de mayor grado es el de la raíz.

Nos queda por tanto el mismo término arriba y abajo:

Al operar, nos queda que la función es igual a 1, ya que ambos términos se pueden dividir entre sí, y por tanto, el límite de la función cuando x tiende a infinito es igual a 1:

Vamos a ver otro ejemplo:

Sustituimos la x por infinito y nos queda la indeterminación de infinito partido por infinito

Dejamos el término de mayor grado en el numerador y en el denominador:

Y ahora tenemos que operar, pero no se ve tan claro cómo operar para eliminar una de las x, como en el resto de ejemplos que hemos visto.

En primer lugar la raíz la pasamos a exponente fraccionario:

Y ahora, para operar con las x las consideramos como una división de potencias de la misma base, donde mantenemos la x y restamos los exponentes:

Y nos queda una sola x en el numerador, que al sustituir por infinito, el resultado es infinito:

Conclusión de la indeterminación infinito entre infinito

Con la indeterminación de infinito entre infinito,  el resultado va a depender del grado de los polinomios del numerador y del denominador:

  • Si el grado de P(x) es menor  que el grado de Q(x) el resultado va a ser cero
  • Si el grado de P(x) es mayor  que el grado de Q(x) el resultado va a ser infinito o menos infinito
  • Si el grado de P(x) es igual  que el grado de Q(x) el resultado va a ser un número

En los ejemplos resueltos que hemos ido resolviendo a lo largo de la lección, hemos visto al mismo tiempo cada uno de los casos.

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