▷ Interpretación geométrica de la derivada. Ejercicio resuelto.

Interpretación geométrica de la derivada. Ejercicio resuelto.

En esta lección voy a explicarte la interpretación geométrica de la derivada, es decir, qué es una derivada desde el punto de vista gráfico.

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A continuación, te demostraré qué es la derivada geométricamente y resolveremos un ejercicio aplicando lo aprendido.

¡Vamos allá!

Demostración de la interpretación geométrica de la derivada

Este es el concepto más importante que te tienes que aprender de esta lección:

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

Vamos a demostrar por qué esto es así.

Supongamos que tenemos una función, a la que cortamos con una recta secante en dos puntos A y B, cuyas coordenadas son:

interpretacion geometrica de la derivada

Representándolo quedaría de la siguiente manera:

interpretacion geometrica dela derivada

Por cierto, se le llama recta secante porque corta a la función en dos puntos. La pendiente de esa recta secante (y de cualquier recta) se calcula como el cociente entre el incremento entre valores de “y” entre el incremento de valores de x:

interpretación geométrica de la derivada

Por otro lado, se puede formar un triángulo rectángulo con la recta secante entre los puntos A y B, trazando una línea horizontal desde A y una línea vertical desde B, donde vemos que la recta secante forma un ángulo α con la horizontal:

interpretacion geometrica dela derivada ejercicios resueltos

La tangente de un ángulo se calcula con la siguiente fórmula:

interpretacion geometrica

En nuestro caso, el cateto opuesto al ángulo es la diferencia entre las coordenadas “y” y el cateto adyacente al ángulo es la diferencia entre las coordenadas x, por lo que la tangente de α la podemos expresar como:

interpretación geométrica de la derivada ejemplos

Es decir, el mismo valor que la pendiente de la recta secante.

Por tanto, la pendiente de la recta secante es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal:

interpretacion geometrica de las derivadas

Ahora, a la coordenada x del punto A, la llamaremos X0 y para controlar cuánto aumenta la coordenada B cuando nos movemos hacia el punto B, a ese aumento le llamaremos “h” y por tanto la coordenada x del punto B será X0+h. Lo nombramos así para controlar el aumento de la coordenada x de B con respecto a la de A.

La coordenada “y” del punto A, corresponde al valor de la función cuando X=X0 es decir f(X0) y por tanto, siguiendo la misma lógica, la coordenada “y” del punto B sería f(X0+h)

interpretación geometrica de la derivada

Si te das cuenta, las coordenadas de los puntos A y B siguen siendo las mismas, tan sólo les he cambiado el nombre. Las nuevas coordenadas de los puntos A y B serían:

la interpretación geométrica de la derivada

Igual que antes, podemos formar un triángulo rectángulo con la recta secante, donde ahora el cateto opuesto al ángulo toma el valor de f(X0+h)-f(X0) y el cateto adyacente al ángulo toma el valor de “h”, que era el aumento de la coordenada x de B, con respecto a la de A:

interpretacion geometrica dela derivada ejemplos

Con esta nomenclatura, la pendiente de la recta secante la expresamos como:

interpretacion geometrica dela derivada calculo diferencial

Que coincide con la expresión de la tasa de variación media.

La tangente del ángulo α se expresa como:

interpretacion grafica de la derivada

Hasta aquí tan solo te he explicado como se puede expresar la pendiente de una recta, que la expresamos en función de las coordenadas x de dos puntos, teniendo en cuenta la diferencia entre ellas (h).

Vamos a ver qué pasa cuando el punto B se aproxima al punto A siguiendo la función:

interpretacion de la derivada

Conforme el punto B se aproxima al punto A, la diferencia entre sus coordenadas x, h, se va haciendo cada vez más pequeña.

Si B se aproximara tanto a A, que se confundiera con el punto A, o dicho de otra forma, cuando h tiende a 0, la recta secante se convierte en una recta tangente, que solamente corta a al función en el punto A:

interpretacion geometrica de una derivada

En ese caso, la pendiente de la recta tangente en el punto A, sería le límite de cuando h tiende a cero de la fórmula de la pendiente:

derivada geometrica

Que coincide con la fórmula de la derivada de una función en un punto:

definicion geometrica de la derivada

Por tanto, la pendiente de la recta tangente a una función en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto, que también coincide con la tangente del ángulo que forma la recta tangente con la horizontal:

interpretacion geometrica de la primera derivada

Ejercicio resuelto de cálculo de la recta tangente en un punto

Vamos a resolver un ejercicio aplicando todo lo que acabamos de ver.

Los ejercicios habituales para aplicar la interpretación geométrica de la derivada es calcular la recta tangente a una determinada función en un punto.

La ecuación de una recta tiene esta forma:

interpretacion geometrica y fisica de la derivada

Por tanto, nos obliga a obtener la pendiente m, y es ahí donde la calculamos con la derivada de la función en ese punto, según su definición, tal y como acabamos de ver:

cual es la interpretacion geometrica de la derivada

La ecuación de la recta la obtendremos mediante la ecuación punto-pendiente:

interpretación geométrica de la derivada.

Por lo que también necesitaremos las coordenadas del punto donde la recta es tangente a la función:

aplicacion geometrica de la derivada

Se mezclan, por tanto, conceptos de geometría y de calculo de derivadas

Vamos a ver un ejemplo para que quede todo mucho más claro:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

interpretacion geometrica derivada

en el punto de abcisa x=-1.

Tal y como te acabo de indicar, la ecuación de la recta la calcularemos con la ecuación punto-pendiente:

representacion geometrica de la derivada

Por tanto, necesitamos saber las coordenadas de un punto, que sea tangente a la curva y que pase por la recta:

interpretación geométrica

Y la pendiente de la recta, que coincide con la derivada en ese punto:

definicion geometrica de derivada

Empezamos calculando las coordenadas del punto P.

Ya sabemos la coordenada x, ya que nos la da el enunciado. Para calcular la coordenada “y”, sólo tenemos que calcular el valor de al función en el punto x=-1, sustituyendo la x por -1:

derivada interpretacion geometrica

Por lo tanto, las coordenadas del punto P, donde la recta es tangente son:

interpretacion geometrica de la derivada ejercicios

Ahora vamos a calcular la pendiente, que es igual a la derivada en x=-1:

ejercicios de interpretacion geometrica dela derivada

Calculamos la derivada en x=-1 usando la definición de derivada:

derivadas geometricas

Sustituimos (-1+h) y (-1) en sus funciones correspondientes:

interpretacion geometrica de la derivada de una funcion

Operamos en el numerador:

concepto geometrico de la derivada

Sacamos factor común a la h para poder eliminarla en el numerador y en el denominador:

la interpretacion geometrica de la derivada

Y finalmente resolvemos el límite:

que es la interpretacion geometrica dela derivada

La pendiente por tanto es igual a -2:

interpretacion geométrica de la derivada

Sustituimos el valor de la pendiente y las coordenadas del punto en la ecuación punto-pendiente:

interpretación de la derivada

Operamos para eliminar paréntesis:

interpretacion geometrica dela derivada parcial ejercicios resueltos

definicion geometrica dela derivada

Y despejamos la “y”, llegando finalmente a la ecuación de la recta tangente que nos están pidiendo:

cual es la interpretacion geometrica dela derivada

Ejercicios propuestos

1- Dada la siguiente función:

derivadas interpretacion geometrica

Calcula la ecuación de la recta tangente a la función en el punto x=1

2 – Calcula la ecuación de la recta tangente a la parábola:

interpretacion geometrica dela derivada de una funcion

en los puntos donde la parábola corta al eje x de coordenadas.

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