A continuación vamos a ver cómo se realiza la intersección entre una recta y un plano en el sistema diédrico, con ejemplos explicados paso por paso. Veremos primero el procedimiento general y luego un caso particular de una intersección de un plano oblicuo con una recta de perfil.
¡Empezamos!
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Intersección entre una recta y un plano
Antes de empezar a ver cómo se realiza la intersección entre una recta y un plano en el sistema diédrico, debemos tener claro cual es el resultado de dicha intersección.
Si te fijas en el esquema en tres dimensiones, puedes comprobar que el resultado de intersecar una recta y un plano es un punto:
En este esquema, la intersección de la recta r con el plano α es el punto I.
Cómo realizar la intersección de una recta y un plano en diédrico
Vamos a ver ahora cómo realizar la intersección de una recta y un plano en el sistema diédrico con un ejemplo, paso a paso.
Para obtener la intersección entre una recta y un plano, lo que hacemos es dibujar un plano auxiliar que contenga a la recta dada. La intersección entre estos dos planos dará como resultado una nueva recta que cortará a la recta dada en un punto. Dicho punto será el punto intersección entre la recta y el plano dados.
El procedimiento es el siguiente:
- En primer lugar, trazamos un plano auxiliar que contenga a la recta
- Hallamos la recta intersección del plano auxiliar con el plano dado
- La intersección entre la recta intersección de los planos y la recta dada será el punto que estamos buscando
Por ejemplo, vamos a hallar la intersección entre la recta r y el plano α representados en el sistema diédrico:
Empezamos trazando un plano auxiliar γ que contenga a la recta dada r, que es un plano proyectante del plano vertical:
Se utiliza un plano proyectante (en este caso del plano vertical, pero también se puede utilizar del plano horizontal) por comodidad, ya que de esta forma se simplifican muchas líneas y además, si la recta no tiene alguna de sus trazas localizable, el plano proyectante resuelve ese problema.
Seguimos hallando la intersección entre el plano α y el plano γ.
El punto donde se cortan las trazas verticales de los planos α2 y γ2, será la traza vertical de la recta intersección V’ ‘ y el punto donde se cortan las trazas horizontales de los planos α1 y γ1, será la traza horizontal de la recta intersección H’:
Desde V’ ‘ y H’ trazamos dos líneas verticales hasta la línea de tierra para obtener V’ y H’ ‘:
Unimos V’ ‘ con H’ ‘ para obtener la proyección vertical de la recta intersección s» y unimos V’ con H’ para obtener la proyección horizontal de la reta intersección s’:
Ya tenemos la recta s, que como es la recta intersección de los dos planos, también está contenida en el plano α, por lo que la intersección de la recta s con la recta r, es la misma que la intersección del plano α con la recta r.
Así pues, obtenemos la intersección de las rectas r y s. Las proyecciones horizontales r’ y s’ dan lugar a I’ y desde I’, trazamos una línea vertical hasta r’ ‘ y s’ ‘ (que coinciden) para hallar I’ ‘:
Y ya tenemos el punto intersección I, que es la intersección entre el plano α y la recta r.
Cómo realizar la intersección de un plano oblicuo con una recta de perfil
Vamos a ver ahora cómo realizar una intersección de un plano oblicuo cualquiera de una recta de perfil en el sistema diédrico. Para que la recta de perfil quede bien definida, debemos saber o bien sus trazas o bien dos puntos de la recta.
Vamos a realizar un ejemplo paso a paso, donde en este caso, tenemos un plano oblicuo α y una recta de perfil r, de la que conocemos dos puntos A y B:
Veremos dos procedimientos.
Procedimiento 1
Para hallar su intersección vamos a seguir el procedimiento general, solo que en este caso utilizaremos un plano de perfil como plano auxiliar. La intersección del plano auxiliar y el plano oblicuo dará una nueva recta de perfil, que se corta con la recta de perfil dada en un punto y para encontrar la solución, es necesario abatir ambas rectas y luego desabatir para situar el punto en su posición original.
Vamos a verlo más despacio, paso a paso.
En primer lugar vamos a abatir la recta sobre el plano vertical para poder visualizar su inclinación. Para ello, con ayuda de un compás, con centro en el punto de corte entre la recta y la línea de tierra y radio desde ese centro hasta la proyección horizontal del punto A, A’, realizamos un arco, y donde se corte ese arco con la línea de tierra será el punto A’ abatido (A’):
Ahora desde (A’) trazamos una línea vertical hacia arriba y desde A’ ‘ trazamos una línea vertical hacia la derecha. Donde se corten ambas líneas será el punto A’ ‘ abatido (A’ ‘):
Hacemos lo mismo con el punto B:
Trazamos la recta t (que es la recta r abatida), uniendo los puntos abatidos (A’ ‘) y (B’ ‘) y la prolongamos en ambos sentidos hasta cortar con la recta r y la línea de tierra. El punto donde se corte con la recta r será la traza vertical V’ ‘ y el punto donde se corte con la línea de tierra será la traza horizontal H’ ‘:
Ya tenemos la recta r abatida.
Ahora dibujamos un plano auxiliar de perfil γ que contenga a la recta r:
El punto de corte de α1 con γ1 es el punto H’ y el punto de corte de α2 con γ2 es el punto V’ ‘:
La recta intersección es una recta de perfil, que no visualizamos. Vamos a abatirla también, para poder encontrar el punto de corte con la recta r abatida.
Abatimos la traza horizontal H’ sobre el plano vertical, obteniendo (H’):
Unimos V’ ‘ con (H’) para obtener la recta intersección abatida i:
El punto de corte de la recta t con la recta i dan lugar al punto I, que coincide con el punto de corte de la recta r y el plano α:
Para situar el punto I en su ubicación original, desabatimos dicho punto, siguiendo los pasos inversos que seguimos para abatir, obteniendo sus proyecciones I’ y I’ ‘:
Por tanto, las proyecciones I’ y I’ ‘, corresponden a las proyecciones del punto de corte de la recta de perfil y el plano oblicuo.
Procedimiento 2
En este procedimiento, vamos a resolver el ejercicio a partir de la obtención de las trazas de la recta. Se empieza igual que el procedimiento anterior, hasta llegar al siguiente paso, donde obtenemos las trazas de la recta:
Desabatimos la traza horizontal de la recta H» para situarla en su posición original:
Llegados a este punto, tenemos una recta de perfil con sus trazas y un plano oblicuo cualquiera, que también puedes ser el comienzo del ejercicio.
Trazamos un plano auxiliar cualquiera γ, que contenga a la recta r, es decir, que la traza vertical γ2 pase por V’ ‘ y la traza horizontal γ1 pase por H’, compartiendo el mismo vértice γ1 y γ2:
Ahora hallamos la intersección de los planos α y γ, obteniendo en primer lugar las trazas de la recta intersección:
Y uniendo H’ ‘ con V’ ‘ para trazas i’ ‘ y H’ con V’ para trazar i’:
El punto de intersección de la recta i (intersección de los planos α y γ) con la recta r es el punto I que estamos buscando:
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