Intervalo de confianza para la media poblacional. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación te voy a explicar qué es y cómo calcular el intervalo de confianza para la media poblacional, con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Empezamos!

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Qué es el intervalo de confianza para la media poblacional

Supongamos que queremos obtener la estatura media de los habitantes de un determinado país. No podemos medir la estatura de todos los habitantes, por lo que se toma una muestra y se calcula la media de esa muestra, es decir, la media muestral.

¿La media muestral será igual a la media poblacional μ?

La respuesta es no. No por haber cogido por ejemplo una muestra de 100 personas, su media muestral no tiene por qué ser igual a la media poblacional.

Si tengo la media muestral, puedo encontrar dos valores entre los cuales se encontrará la media poblacional con una cierta seguridad.

Como sabemos que las medias de las muestras tienen una distribución normal, se puede llegar a conocer el porcentaje de confianza de ese intervalo y ese porcentaje es lo que llamamos el intervalo de confianza para la media poblacional:

Por tanto, a partir de la media muestral, puedo generar un intervalo de confianza dentro del cual tenemos cierta seguridad de que estará la media poblacional μ, es decir, no se puede determinar con total seguridad el valor de la media poblacional, pero se puede dar un porcentaje de seguridad de que la media poblacional se encuentra entre dos valores.

Cómo calcular el intervalo de confianza para la media poblacional

En la lección anterior, ya te expliqué a calcular intervalos de confianza en una distribución normal N(0,1) donde obteníamos los valores de -z de α/2 y z de α/2

Ahora lo que queremos es encontrar dos valores X1 y X2, que generen ese mismo intervalo, entre los cuáles se encuentre la media poblacional. Como yo tengo la media de las muestras, la distribución normal tendrá la misma media que la población, pero la desviación típica estará dividida entre raíz de N:

Y si lo representamos en una curva de distribución normal y lo comparamos con la curva de distribución normal N(0,1) tenemos:

Por lo tanto, para poder calcular el intervalo de confianza para la media poblacional vamos a tipificar los valores de x1 y x2 para transformarlos en -z de α/2 y z de α/2 y poder así utilizar la tabla de distribución normal N(0,1):

Tipificamos el valor de x1, teniendo en cuenta que la media es la media muestral y la desviación típica se divide entre raíz de N:

De esta expresión despejo x1:

Ahora tipifico x2:

Y despejo x2:

Si te das cuenta, las expresiones donde he despejado x1 y x2 son iguales a la media muestral y se le suma o se le resta z de α/2 multiplicado por la desviación típica se dividida entre raíz de N (en color azul):

A esa expresión de color azul es lo que se llama el error:

Y por tanto, x1 será igual a la media muestral menos el error y x2 será igual a la media muestral más el error:

Por tanto, el intervalo de confianza que quiero calcular se encuentra entre x1 y x2:

O lo que es lo mismo entre la media muestral menos el error y entre la media muestral más el error:

Que sustituyendo el error por su expresión el intervalo de confianza para la media poblacional nos queda:

Vamos a analizar un poco más con detalle la fórmula del error:

Al estar el número de individuos N dividiendo en el denominador, cuando mayor sea N, más pequeño será el error, lo que quiere decir que cuanto mayor sea la muestra, el intervalo de confianza será más fiable ya que tendremos menos error y por tanto, el intervalo de confianza será más específico.

Ejercicio resuelto sobre el intervalo de confianza para la media poblacional

Tenemos el siguiente ejercicio:

El tiempo diario que los adultos de una determinada ciudad dedican a actividades deportivas, expresado en minutos, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica σ=20 minutos.

a) Para una muestra aleatoria simple de 25o habitantes se ha obtenido un tiempo medio de dedicación a actividades deportivas de 90 minutos diarios. Calcular un intervalo de confianza al 90% para la media poblacional μ.

b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de la media poblacional μ por la media muestral sea menor que 1 minuto con el mismo nivel de confianza del 90%

Apartado a:

Tengo la población que sigue una distribución normal de la que no conozco la media, pero sí la desviación típica que es igual a 20:

Se toma una muestra de 250 personas, cuya media muestral es igual a 90:

Nos preguntan el intervalo de confianza al 90% para la media poblacional μ:

Por tanto, quiero dos valores que entre los cuales, me encierren un porcentaje del 90%, por lo que ha cada lado, me quedará un 5%:

Por tanto, en la tabla tengo que buscar el valor de z que me deje a la izquierda el 95%, que será el valor de z α/2:

Busco en la tabla de distribución normal N(0,1) el valor que deje a la izquierda 0,95 y obtengo que está entre z=1,64 y z=1,65, por lo que me quedo con 1,645. Este es z de α/2:

Con este valor de z de α/2 calculo el error cuya fórmula es:

Sustituyo z de α/2, σ y N por sus valores y calculo:

El intervalo de confianza se encuentra entre la media muestral menos el error y entre la media muestral más el error:

Para calcular nuestro intervalo de confianza al 90%, a nuestra media muestral que es 90, le restamos y le sumamos el error:

Operamos y nos queda:

Por lo que al 90% de seguridad, podemos decir que la media de la población se encuentra entre 87,92 minutos y 92,08 minutos.

Apartado b:

Nos piden el tamaño de la muestra N, para que el error sea menor que 1, para un intervalo de confianza al 90%, es decir:

Si sustituimos el error por su fórmula nos queda:

z de α/2 y σ siguen teniendo los mismos valores, que los sustituimos en la expresión anterior y N es lo que tenemos que calcular:

Vamos a despejar N.

Primero pasamos raíz de N multiplicando al segundo miembro:

Operamos en el primer miembro:

La raíz del segundo miembro pasa a elevar al cuadrado al primer miembro

Operamos y nos queda que N debe ser mayor o igual a 1082,41, que redondeando nos queda que el tamaño de la muestra N debe ser igual a 1083 personas para que el error sea menor que 1:

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