A continuación vamos a ver qué es la mediatriz de un segmento, cómo se realiza y cómo se utiliza para resolver ejercicios de geometría plana en dibujo técnico. Con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Qué es un lugar geométrico
Antes de empezar con la mediatriz, necesitas conocer el concepto de lugar geométrico.
Se llama lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen unas determinadas condiciones.
Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico cuyos puntos tienen la misma distancia R, a un punto fijo, O, donde O es el centro de la circunferencia y R es el radio:
Por tanto, cualquier punto que pertenezca a la circunferencia está a la misma distancia del centro O, concretamente a una distancia R.
Conocer la circunferencia como un lugar geométrico, nos ayudará a entender cómo se construye la mediatriz de un segmento y lo que es más importante, a entender sus propiedades.
Cómo trazar la mediatriz de un segmento
Vamos a ver cómo dibujar la mediatriz de un segmento paso a paso.
Tenemos el segmento AB:
Con centro en A, dibujamos con el compás un arco de circunferencia, cuyo radio puedes ser cualquiera, con la única condición de que debe ser mayor a la mitad del segmento AB:
Teniendo en cuenta que las propiedades de la circunferencia como lugar geométrico, todos los puntos pertenecientes a este arco que acabamos de dibujar, están a la misma distancia del extremo A.
Con el mismo radio que dibujamos el arco con centro en A, dibujamos otro arco con centro en B:
Todos los puntos pertenecientes a este segundo arco, están a la misma distancia del extremo B.
Los puntos de corte de ambos arcos (puntos 1 y 2) están a la misma distancia del extremo A y del extremo B, ya que son los puntos donde se cumplen las condiciones de ambos arcos, considerados como lugares geométricos:
La mediatriz será la recta m que pase por los puntos 1 y 2:
Corta al segmento en el punto M, que es el punto medio del segmento y por tanto también está a la misma distancia de ambos extremos y además la mediatriz es perpendicular al segmento.
Qué es la mediatriz de un segmento
Normalmente se dice que la mediatriz de un segmento es la recta que corta al segmento por su punto medio y que además es perpendicular al segmento, tal y como acabamos de ver:
Sin embargo, de esta definición concluimos que al mediatriz es perpendicular al segmento y que lo corta en dos partes iguales, pero nos falta más información, como veremos a continuación.
Como he comentado antes, los puntos 1 y 2 se encuentran a la misma distancia de los extremos A y B, es decir, en el siguiente dibujo, los segmentos r y r’ tienen la misma longitud:
Si trazáramos de nuevo un arco de circunferencia desde cada extremo, con el mismo radio, mayor que la mitad del segmento, pero distinto al anterior, vemos que los arcos se cortan en los puntos 3 y 4:
Los puntos 3 y 4, también pertenecen a la mediatriz y por tanto, están a la misma distancia de los extremos A y B.
De todo esto se deduce que cualquier punto que pertenezca a la mediatriz está a la misma distancia de los extremos del segmento. Si tomamos un punto cualquiera (punto 5), vemos que efectivamente es equidistante a los extremos A y B, o dicho de otra forma, la longitud de los segmentos t y t’ son iguales::
Por tanto, la mediatriz también se puede definir como el lugar geométrico, en el cual los puntos que pertenezcan a él tienen la misma distancia a los extremos del segmento y como consecuencia, es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por los puntos A y B:
Y esta definición de mediatriz como lugar geométrico es la que nos ayudará a resolver ejercicios más complejos de geometría plana.
Mediatriz: Ejercicios resueltos
Vamos a ver cómo resolver algunos ejercicios con lo aprendido en esta lección:
Ejercicio 1
Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano que distan una distancia r de un punto dado P.
Ejercicio 2
Hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r que pasen por un punto fijo P:
Ejercicio 3
Trazar las circunferencias de radio r que pasen por dos puntos dados A y B:
Ejercicio 4
Trazar la perpendicular a una recta dada r que pase por un punto P de la misma:
Ejercicio 5
Trazar la perpendicular a una recta dada r que pase por un punto exterior P:
Ejercicio 6
Hallar la distancia del punto P a la recta r:
Ejercicio 7
Hallar la circunferencia que pase por tres puntos dados no alineados A, B y C:
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