Medidas de centralización: Media, mediana y moda. Ejercicios resueltos

A continuación vamos a ver cómo calcular lo que se llaman medidas de centralización en estadística, como son la media aritmética, la mediana y la moda. Lo veremos para datos agrupados y no agrupados. Todo con ejercicios resueltos paso por paso.

A la media, la mediana y la moda se les llama medidas de centralización porque alrededor de ellas se distribuyen los datos.

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Cómo calcular la media aritmética

La media aritmética de un conjunto de datos se obtiene sumando los datos y dividiendo entre el número total de datos.

Por ejemplo, para variables discretas o datos aislados (o no agrupados) como éstss:

Para calcular la media aritmética sumamos todos los valores y los dividimos entre la cantidad de datos, que es 5:

Cómo calcular la media aritmética en tablas de frecuencias para datos no agrupados

Vamos a ver ahora cómo calcular la media aritmética utilizando las tablas de frecuencias. En estos casos, tenemos un número más alto de datos no agrupados y además, estos datos pueden repetirse.

Podríamos calcular la media sumando todos los valores y dividiendo entre el número total, pero sería una operación muy larga.

En su lugar, construimos una tabla de frecuencias con los datos, donde añadiremos una columna para multiplicar cada valor por su frecuencia absoluta.

La media será la suma de cada dato por su frecuencia absoluta, dividida entre el número de datos:

Vamos a verlo más despacio con un ejemplo.

Tenemos los siguientes datos no agrupados y nos piden calcular la media aritmética:

Colocamos los datos en la primer columna de la tabla de frecuencias (que explico cómo construirla en la segunda lección del curso de estadística) y su frecuencia absoluta en la segunda columna:

Ahora añadimos una tercera columna, donde iremos añadiendo la multiplicación de cada dato por su frecuencia absoluta:

Para la primera fila sería: 1.3=3

Para la segunda fila: 2.4=8

Y así con todas las filas.

En la última fila, realizamos la suma de toda la columna:

Una vez tenemos esta tabla, aplicamos la fórmula de la media aritmética:

Donde el numerador es igual a la suma de cada elemento por su frecuencia, que es 42 y lo tenemos calculado en la última fila de la tercera columna y el denominador el la suma de las frecuencias absolutas, calculada en la última fila de la segunda columna y que es igual a 15:

Cómo calcular la media aritmética para datos agrupados

Cuando tengamos variables de tipo continuo, expresadas en intervalos, la media aritmética también la calcularemos con la siguiente fórmula:

Pero en este caso, la x corresponde a la marca de clase de cada intervalo, es decir, al punto medio de cada intervalo.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Tenemos los siguientes datos y nos piden calcular la media aritmética:

Construimos la tabla de frecuencias, determinando previamente el número de intervalos y contando los valores que pertenecen a cada intervalo para obtener su frecuencia absoluta. La última fila la dejamos para la suma total:

Añadimos una tercera columna, donde colocaremos la marca de clase de cada intervalo:

La marca de clase de cada intervalo la obtenemos calculando su punto medio, dividiendo entre 2 la suma del límite inferior más límite superior:

Por ejemplo, para el primer intervalo sería:

Haciendo lo mismo para el resto de intervalos, la tabla nos queda:

Ahora, añadimos otra columna más, en la que multiplicaremos la marca de clase de cada intervalo por su frecuencia absoluta:

Añadimos el resultado de cada multiplicación en su fila correspondiente y en la última fila realizamos la suma de  toda la columna:

Ahora ya podemos aplicar la fórmula de la media aritmética:

Donde el numerador es igual a la suma de cada marca de clase por su frecuencia, que es 169,5, calculado en la última fila de la cuarta columna y el denominador el la suma de las frecuencias absolutas, calculada en la última fila de la segunda columna y que es igual a 24:

Cómo calcular la mediana

La mediana de un conjunto ordenado de menor a mayor de datos, es el valor que está en el medio, es decir, tiene los mismos datos delante que detrás. Si el número de datos es par y por tanto, no hay ningún valor que se quede en el medio, la mediana se le asigna el valor medio de los dos datos centrales.

Por ejemplo, vamos a calcular la mediana de los siguientes datos:

En primer lugar, hay que ordenar los datos de menor a mayor, ya que de otra forma no podríamos saber cuál es la mediana:

Tenemos 7 datos, es decir, un número impar de datos, luego la mediana es el dato que se queda justo en el medio:

Por tanto, en este caso, la mediana es el 3.

Vamos a ver cómo calcular la mediana si tenemos un número par de datos, como por ejemplo:

En primer lugar los ordenamos de menor a mayor:

Ahora tenemos 8 datos, luego tenemos que sacar la media de los dos datos centrales, que en este caso son 2 y 3:

La mediana será el valor medio de estos dos datos centrales:

La mediana es 2,5.

Cómo calcular la mediana en tablas de frecuencias

Si tenemos muchos valores, la mediana la obtenemos ordenando los datos previamente en una tabla de frecuencias, utilizando la columna de frecuencia absoluta acumulada.

Por ejemplo, vamos a suponer que a partir de unos datos hemos construido esta tabla de frecuencias:

Para saber en que posición debe caer la mediana, dividimos el número total de elementos entre 2, lo cual nos dará la posición que ocupa el punto medio. En este caso tenemos 25 elementos:

La mediana es el valor, cuya frecuencia absoluta acumulada esté inmediatamente por encima a la mitad del número de datos.

La mitad del número de datos es 12,5. El valor que tiene una frecuencia absoluta acumulada inmediatamente por encima es el 3, que tiene una frecuencia absoluta acumulada de 15:

Por tanto la mediana es 3.

Cómo calcular la mediana en variables cualitativas

La mediana también se puede calcular en las variables cualitativas ordinales (que se pueden ordenar). En este caso, la mediana la obtenemos también mediante una tabla de frecuencias, donde tenemos los datos ordenados, utilizando la columna de frecuencia absoluta acumulada.

Por ejemplo, suponemos que tenemos la siguiente tabla de frecuencias, construida a partir de variables cualitativas:

Al igual que antes, dividimos el número total de datos entre 2, para saber dónde está el punto medio:

La mediana es el valor, cuya frecuencia absoluta acumulada esté inmediatamente por encima a la mitad del número de datos.

La mitad del número de datos es 20. El valor que tiene una frecuencia absoluta acumulada inmediatamente por encima es “Aprobado”, que tiene una frecuencia absoluta acumulada de 23:

Por lo que la mediana en este caso es “Aprobado”.

Cómo calcular la moda

La moda es el valor que más veces se repite, o dicho de otra forma, con mayor frecuencia.

Vamos a verlo con un ejemplo.

¿Cuál es la moda en estos datos?

El valor más repetido es el 1, que se repite tres veces, luego la moda es el 1.

Hay que tener en cuenta que en un conjunto de datos puede haber dos o más modas.

Por ejemplo, ¿cuál es la moda en este conjunto de datos?

El 1 se repite tres veces y el 3 se repite otras tres veces, luego las modas es 1 y 3.

Cómo calcular la moda en una tabla de frecuencias

Si los datos los tenemos ordenados en una tabla de frecuencias, la moda será aquel o aquellos valores que tengan mayor frecuencia absoluta.

Por ejemplo, en este caso, las modas son 1 y 5, ya que la frecuencia absoluta de ambas es 6 y es la mayor de todas las frecuencias:

En el caso de que tengamos variables cualitativas se procede de igual forma, es decir, la moda será el dato con mayor frecuencia.

Por ejemplo, en este caso, la moda es “Aprobado”, ya que su frecuencia es 15 y es la mayor:

Cómo calcular la moda en datos agrupados

Si tenemos los datos agrupados en intervalos, la moda será el intervalo con mayor frecuencia. Por ejemplo, en este caso la moda es el intervalo [7 – 7,5):

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