Medidas de dispersión: Recorrido, desviación media, varianza y desviación típica. Ejercicios resueltos

En esta lección te voy a explicar las llamadas medidas de dispersión, como son el recorrido, la desviación media, la varianza y la desviación típica. Lo veremos con ejercicios resueltos paso a paso.

Estas medidas son medidas de dispersión porque sirven para medir la dispersión de los datos, es decir, cómo de separados están unos de otros.

¡Empezamos!

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Cómo calcular el recorrido o rango

El recorrido o rango es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de un conjunto de datos.

medidas de dispersion desviacion media

Vamos a ver un ejemplo:

Cuatro amigos han sacando las siguientes notas:

desviacion media

Todos tienen una nota media de 5 (lo puedes comprobar), sin embargo, unas están más dispersas que otras. Vamos a ir calculando a lo largo de la lección cada una de las medidas de dispersión.

Empezamos calculando el recorrido para el Amigo A. Su nota más alta es 7 y su nota más baja es 3, por lo tanto, su recorrido es:

desviacion media medidas de dispersion

El recorrido para el Amigo B es 8, para el Amigo C es 9 y para el Amigo D es 3.

Cuanto mayor sea el recorrido, más dispersos están los datos.

Cómo calcular la desviación media

Cada dato, se encuentra a una cierta distancia de la media:

medidas de dispersion varianza ejemplos

Cada distancia de un punto a la media, es la desviación de ese punto con respecto a la media. Se calcula como el valor absoluto del valor menos la media:

medidas de dispersion ejercicios resueltos

Cada distancia se mide en valor absoluto, ya que si no es así, los puntos que quedaran a la izquierda de la media, serían negativas y las distancias siempre deben ser positivas.

Si sumamos todas las distancias de cada dato con respecto a la media, es decir, de todas las desviaciones y la dividimos entre el número total de datos, estaremos calculando la desviación media.

medidas de dispersion

La desviación media es el promedio de las distancias de cada uno de los datos a la media. Es la media de lo que se desvía el conjunto de datos con respecto a la media.

La fórmula anterior también podemos ponerla en forma de sumatorio (el signo Σ se utiliza para indicar la suma de varios sumandos):

varianza ejercicios paso a paso

Ejemplo de cómo calcular la desviación media

Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular la desviación media. Vamos a calcular la desviación media de las notas del Amigo C:

medidas de dispersion para datos agrupados ejercicios resueltos

Vamos a utilizar tablas, ya que así el procedimiento para calcular la desviación media te sirve para cuando tengas muchos datos y para cuando tengas pocos.

En primer lugar, ordenamos los datos en una tabla con la frecuencia absoluta de cada uno de ellos, dejando la última fila para la suma total de elementos de datos:

desviacion media y rango como medidas de dispersion

Vamos a empezar calculando la media, ya que la necesitamos para obtener las desviaciones. Añadimos una tercera columna para escribir el resultado de multiplicar cada dato por su frecuencia absoluta. En la última fila sumamos los resultados:

desviacion media para que sirve

Ya tenemos los datos que necesitamos para calcular la media, según la fórmula, que son la suma de las multiplicaciones de cada dato por su frecuencia absoluta y el número total de datos:

desviacion media y tipica

La suma de las multiplicaciones de los datos por la frecuencia absoluta es 25 y lo tenemos en la última fila de la tercera columna. El número total de datos es 5 y lo tenemos al final de la segunda columna:

desviacion media varianza

La media es 5.

Una vez tenemos la media, ya podemos calcular la distancia o la desviación de cada dato, como el valor absoluta de la diferencia entre cada dato con la media:

ejercicios de medidas de dispersion

Para ello, añadimos una cuarta columna donde iremos escribiendo la distancia de cada dato:

medidas de dispersión: rango, varianza y desviación típica; para datos agrupados y no agrupados

Por ejemplo, para el dato 1, la distancia sería:

problemas resueltos de medidas de dispersion

Lo hacemos igual para el resto de datos y los vamos escribiendo en la columna. En la última fila, realizamos la suma de todas las distancias:

medidas de dispersion rango y desviacion media

Ya tenemos los datos que necesitamos para calcular la desviación media, según la fórmula, que son la suma de las distancias de cada dato y el número total de datos:

medidas de dispersion varianza

La suma de las distancias es 12 y lo tenemos en la última fila de la cuarta columna. El número total de datos es 5, que lo tenemos al final de la segunda columna:

medidas de dispersion recorrido

Por tanto, la desviación media para el Amigo C es 2,4.

Las desviaciones medias para el resto de amigos son:

  • Desviación media Amigo A= 1,2
  • Desviación media Amigo B= 2,8
  • Desviación media Amigo D= 1,2

La mayor desviación media es del Amigo B, lo que significa que sus notas están muy dispersas. Para el Amigo A y el Amigo D, la desviación media es menor, lo que significa que sus notas están más cerca de su nota media, que es 5.

Cómo calcular la varianza y la desviación típica

Definimos la varianza como la media de los cuadrados de las distancias de los datos a la media, es decir, la suma de cada distancia al cuadrado, dividida entre el número de datos total:

problemas de medidas de dispersion

También podemos encontrar la fórmula en forma de sumatorio:

desviacion tipica varianza

La varianza no se puede comparar con la media aritmética, ya que el resultado de la varianza está en unidades cuadradas y el resultado de la media en unidades lineales. Por esta razón, utilizamos la desviación típica, que no es más que la raíz cuadrada de la varianza:

medidas de dispersion desviacion media ejemplos

La desviación típica se designa con la letra griega “sigma” σ.

La fórmula de la desviación típica, sustituyendo la varianza por su expresión es:

rango y desviacion media ejemplos resueltos

Que también la podemos expresar en forma de sumatorio:

medidas de dispersión desviacion media

Con la desviación típica, determinamos de forma única la dispersión de un conjunto de datos.

Ejemplo de cómo calcular la desviación típica

Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular la desviación típica. Vamos a calcular la desviación típica de las notas del Amigo C:

rango desviacion media y varianza

A la tabla que ya teníamos antes:

calcula y explica el significado del rango y la desviación media

Le vamos a añadir una quita columna con los cuadrados de las distancias:

desviacion tipica ejercicios

Por ejemplo, para el dato 1 sería:

medidas de dispersión ejercicios resueltos

Lo hacemos igual para el resto de datos y los vamos escribiendo en esa columna. En la última fila, realizamos la suma de todos los resultados:

desviación media

Ya tenemos los datos que necesitamos para calcular la desviación típica, según la fórmula, que son la suma de las distancias al cuadrado de cada dato y el número total de datos:

dispersión de un conjunto de datos

La suma de las distancias al cuadrado es 50 y lo tenemos en la última fila de la quinta columna. El número total de datos es 5, que lo tenemos al final de la segunda columna:

medidas de dispersion desviacion

Por tanto, la desviación típica para el Amigo C es 3,16

Las desviaciones típicas para el resto de amigos son:

  • Desviación típica Amigo A= 2
  • Desviación típica Amigo B= 3,03
  • Desviación típica Amigo D= 1,26

El Amigo A y el Amigo D tenían la misma desviación media, pero ahora, cada uno tiene una desviación típica distinta, ya que esta determina de forma única la dispersión, por lo que con más seguridad podemos decir que el Amigo D tiene los datos menos dispersos de todos.

Cálculo de la la desviación media, la varianza y la desviación típica con datos agrupados

Voy a explicarte cómo calcular las medidas de dispersión como la desviación media, la varianza y la desviación típica cuando tenemos datos agrupados.

Tenemos los siguientes datos y nos piden calcular la desviación media, la varianza y la desviación típica:

desviacion media de un conjunto de datos

Ordenamos los datos en una tabla, determinando los intervalos necesarios y incluyendo los valores que pertenecen a cada intervalo, con el fin de obtener su frecuencia absoluta (tienes explicado cómo crear esta tabla más detalladamente en la segunda lección del curso de estadística):

ejercicios de medidas de dispersion resueltos

Añadimos la tercera columna para la marca de clase:

coeficiente de variacion para datos agrupados

La marca de clase de cada intervalo es el punto medio de cada intervalo:

ejercicios de rango y desviacion media

Rellenamos la tabla para cada intervalo:

varianza y desviacion tipica

Añadimos otra columna más done multiplicamos cada marca de clase por su frecuencia absoluta, sumando en la última fila todos los resultados:

desviacion media ejemplo

Con estos datos, podemos calcular la media:

desviacion media y varianza

La suma de las marcas de clase por su frecuencia la tenemos en la última fila de la cuarta columna, que es 169,5 y la suma de todos los elementos en la última fila de la segunda columna, que es 24:

ejemplos medidas de dispersion

Añadimos una quinta columna donde iremos escribiendo la distancia de cada intervalo, haciendo la resta de la marca de clase menos la media:

desviacion media y desviacion tipica

Tenemos la suma de las distancias de cada intervalo y el número total de datos, los cuales nos sirven para calcular la desviación media:

ejercicios resueltos de desviacion media

La suma de las distancias es 6,31, que la tenemos en la última fila de la quinta columna y el número total de datos es 24, que lo tenemos al final de la segunda columna:

desviacion media ejercicios

Por último, le añadimos una quinta columna con el cuadrado de la distancia:

como calcular la varianza y la desviacion tipica

Con la suma de las distancias al cuadrado de cada intervalo y el número total de datos, podemos calcular la desviación típica:

desviacion media para datos agrupados

La suma de las distancias al cuadrado es 7,68 y lo tenemos en la última fila de la sexta columna. El número total de datos es 24, que lo tenemos al final de la segunda columna:

desviacion media ejercicios resueltos

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación es una medida estadística que se calcula dividiendo la desviación típica entre el valor absoluto de la media y multiplicando por 100 (para obtener el resultado en tanto por ciento):

varianza

Por ejemplo, el coeficiente de variación del ejemplo anterior sería:

como se calcula la desviacion media

El coeficiente de variación se utiliza para comparar datos de una misma población, que se miden en magnitudes diferentes.

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