Operaciones con números complejos en forma polar. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo operar con números complejos en forma polar. Con ejemplos resueltos paso a paso.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Suma y resta de números complejos en forma polar

No es posible sumar y restar números complejos en forma polar. Por tanto, para poder sumar o restar números complejos en forma polar, debemos pasarlos a su forma binómica.

Por ejemplo:

El primer número complejo:

Lo pasamos a su forma binómica:

Y operamos:

El segundo número complejo:

Lo pasamos a su forma binómica:

Y operamos:

Por tanto, la suma de los dos números complejos anteriores:

La realizamos con los números en su forma binómica:

Donde sumamos por un lado la parte real y por otro la parte imaginaria. Nos queda:

Después, podemos volver a pasar el número complejo a su forma polar, en función de lo que requiera cada ejercicio en concreto.

Multiplicación de números complejos en forma polar

Para multiplicar dos números complejos en forma polar, se multiplican los módulos y se suman los argumentos:

Por ejemplo: Realizar la siguiente multiplicación:

Por un lado multiplicamos los módulos y por otro sumamos los argumentos:

Nos queda:

También podemos multiplicar tres números complejos en forma polar, siguiendo el mismo procedimiento. Por ejemplo:

Multiplicamos los módulos por un lado y por otro sumamos los tres argumentos:

Nos queda:

División de números complejos en forma polar

Para dividir dos números en forma polar, se divididen sus módulos y se restan sus argumentos:

Por ejemplo:

Dividimos los módulos por un lado y restamos los argumentos por otro:

Quedando como resultado final:

Potencias de números complejos en forma polar

Vamos a ver ahora cómo realizar potencias con números complejos en forma polar.

Cuando tenemos un número complejo en forma polar elevado a un exponente, el módulo queda elevado al exponente y el argumento queda multiplicado por el exponente:

Por ejemplo:

En este caso, elevamos el módulo al cubo, multiplicamos el argumento por 3 y operamos:

En caso de que tengamos un número complejo en forma binómica elevado a un exponente mayor a 2, conviene pasar primero ese número complejo a su forma polar para realizar la potencia.

Por ejemplo:

Pasamos el número complejo en forma binómica a su forma polar:

Ahora elevamos el módulo a 4, multiplicamos por 4 el exponente y operamos:

Como nos ha quedado un argumento mayor a 360 grados, podemos restarle 360º para que el argumento se quede entre 0º y 360º:

Finalmente, podemos volver a pasar el número a su forma binómica:

Quedando como resultado:

Ejercicios resueltos de operaciones con números complejos en forma polar

Vamos a realizar ahora unos ejercicios para practicar lo aprendido.

Realiza las siguientes operaciones con números complejos, operando y expresando el resultado en forma polar:

Empezamos por el apartado a:

Pasamos los números complejos a forma polar:

Multiplicamos los módulos y sumamos los argumentos:

Operamos y nos queda:

Como el argumento es mayor a 360 º, le restamos 360º para que quede entre 0º y 360º:

Seguimos con el apartado b:

En primer lugar, pasamos los números complejos a forma polar:

Realizamos la potencia del numerador, elevando al cuadrado el módulo y multiplicando por dos el argumento:

Operamos en el numerador:

Ahora dividimos los módulos y restamos los argumentos:

Operamos y nos queda:

Al no dar un número exacto, dejamos el módulo en forma de fracción y el denominador en forma de raíz, aunque también puedes trabajar con decimales si quieres.

Le restamos 360º al argumento:

Por último, el apartado c:

Pasamos el número en forma binómica a forma polar:

Elevamos el módulo a 4 y multiplicamos el argumento por 4:

Operamos:

En este caso, el argumento es mucho mayor que 360º, por tanto le vamos restando 360º hasta que quede entre 0º y 360º:

Falta otra operación más, que son las raíces con números complejos, que la tienes explicada dentro del Curso de Números Complejos.

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