Operaciones con vectores. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar cómo realizar operaciones con vectores libres. Te enseñaré cómo sumar vectores, cómo restar vectores y cómo multiplicar un vector por un número, tanto analítica como gráficamente.

Además iremos viendo ejercicios resueltos en cada uno de los casos.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

QUIERO APROBAR MATEMÁTICAS

Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Suma de vectores

¿Cómo se suman dos vectores?

Para sumar dos vectores se suman las coordenadas x por un lado y las coordenaadas “y” por otro.

Por tanto, si tenemos los vectores:

La suma de vectores será:

Vamos a ver un ejemplo: Sumar los vectores u y v siguientes:

Sumamos la coordenada x del vector v con la coordenada x del vector u y también la coordenada “y” del vector v con la coordenada “y” del vector u:

Quedando, como vector resultante:

Vamos a ver ahora cómo realizar la suma de vectores gráficamente.

Suma gráfica de vectores

La suma gráfica de vectores puede realizarse de dos maneras:

Vamos con la primera forma:

1 – Tenemos los vectores u y v:

Queremos sumar gráficamente v+u. Por tanto, colocamos el origen de u en el extremo de v:

Unimos el origen de v con el extremo de u y obtenemos el vector resultante v+u:

Intenta tú mismo realizar la suma gráfica de u+v y verás que el resultado es el mismo ;).

Vamos con la segunda forma de sumar vectores gráficamente:

2 – Tenemos los vectores u y v:

Colocamos los dos vectores en el mismo origen:

Se forma un paralelogramo, con estos dos vectores y trazando una línea paralela al vector u, en el extremo del vector v y una línea paralela al vector v en el extremo del vector u, quedando de la siguiente forma:

La unión del origen de ambos vectores con la intersección de las líneas que acabamos de dibujar, será el vector suma u+v:

Pasamos a ver ahora la resta de vectores.

Resta de vectores

La resta de vectores se realiza de forma análoga a la suma de vectores.

Para restar dos vectores se restan las coordenadas x por un lado y las coordenaadas “y” por otro.

Si tenemos los vectores:

La resta de los vectores v-u será:

Vamos a verlo con un ejemplo: Restar la resta v-u, siendo v y u los siguientes vectores:

Para hallar la resta de los vectores v-u restamos por un lado, a la coordenada x de v la coordenada x de u y por otro lado, a la coordenada “y” de v le restamos la coordenada “y” de u:

Operamos dentro de cada coordenada, teniendo mucho cuidado con los signos y el vector resultante v-u queda:

La resta de vectores también se puede realizar gráficamente. Te lo explico en el siguiente apartado.

Resta gráfica de vectores

Al igual que pasaba con la suma gráfica de vectores, la resta gráfica de vectores puede realizarse de dos maneras. Verás que es muy similar a la suma pero teniendo en cuenta un detalle muy importante.

Primera forma:

Sean los vectores v y u siguientes:

Como queremos realizar la resta v-u, el primer paso es cambiar el sentido del vector u:

Ahora seguimos el mismo procedimiento que en la suma gráfica de vectores, con la diferencia de que el sentido del vector u es contrario a su sentido original. Es lo mismo que sumar (-u).

Colocamos el origen del vector u con el sentido contrario en el extremo del vector v:

Unimos el origen del vector v con el extremo del vector u con el sentido contrario y obtenemos el vector resultante v-u:

Seguimos con la segunda forma.

Tenemos los vectores v y u:

Igual que antes, como queremos realizar la resta v menos u (v-u), al vector u le cambiamos el sentido:

Ahora colocamos el vector v y el vector u con el sentido contrario en el mismo origen:

Formamos un paralelogramo, con estos dos vectores y trazando una línea paralela al nuevo vector u, en el extremo del vector v y una línea paralela al vector v en el extremo de este vector u, quedando de la siguiente forma:

La unión del origen de ambos vectores con la intersección de las líneas dibujadas, será el vector resultante de restar u-v:

Tanto con una forma como con la otra, ten en cuenta que debes cambiar el sentido del vector que quieres restar (no olivdes nunca esto) y luego el procedimiento es el mismo que con la suma.

Producto de un vector por un número

Para realizar la multiplicación de un vector por un número, hay que multiplicar ese número por cada una de las coordenadas del vector.

Sea el vector:

Y lo queremos multiplicar por un número (que pertenece al conjunto de los números reales):

La multiplicación del número por el vector se representa así:

Y se multiplica el número por cada una de las coordenadas del vector:

Es igual que cuando se multiplica un número por un polinomio.

Vamos a verlo con un ejemplo. Tenemos el siguiente vector:

Y lo queremos multiplicar por 3:

Para multiplicar el vector por 3, lo representamos así primero:

Multiplicamos el 3 por cada una de las coordenadas del vector y operamos dentro de cada coordenada para obtener el vector resultante:

Cuando el vector a multiplicar es el vector nulo:

Entonces, la multiplicación de cualquier número con el vector nulo sera igual a cero:

Si el vector por que se multiplicar el número es distinto del vector nulo, es decir, cualquier otro vector que no sea el vector nulo:

Entonces, si el número que multiplica al vector es cero, entonces el producto del número por el vector será cero:

Si el número que multiplica al vector es mayor que cero:

El vector resultante de la multiplicación del número por el vector será un vector con la misma dirección y sentido que el vector v, pero su tamaño será tantas veces mayor como el valor del número.

Por ejemplo, si tenemos el vector v y lo multiplicamos por 3, el vector resultante será 3 veces mayor:

Además el módulo del vector resultante del producto de un número por un vector es igual a ese número por el módulo del vector:

Por el contrario, si el  número por el que se multiplica el vector es menor que cero:

El vector resultante será un vector con la misma dirección pero con sentido contrario.

En este caso, el módulo del vector resultante de la multiplicación de un número por un vector es igual al valor absoluto del número por el módulo de vector:

Mucho cuidado con no confundir el módulo, con el valor absoluto, ya que ambos casos se representan igual (encerrando al elemento entre dos barras).

¿Necesitas clases de matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?

Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.

He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.

Con mi método:

  • Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
  • Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión

Suena bien ¿no?

¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?

Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más:

ENSÉÑAME MATEMÁTICAS

Uso de cookies

Usamos cookies propias y de terceros (Google) para que usted tenga la mejor experiencia de usuario, por lo que los terceros reciben información sobre tu uso de este sitio web.

Si continúas navegando, consideramos que aceptas el uso de las cookies. Puedes obtener más info o saber cómo cambiar la configuración en nuestra Política de Cookies.

ACEPTAR
Aviso de cookies