Operaciones con vectores. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar cómo realizar operaciones con vectores libres. Te enseñaré cómo sumar vectores, cómo restar vectores y cómo multiplicar un vector por un número, tanto analítica como gráficamente.

Además iremos viendo ejercicios resueltos en cada uno de los casos.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Suma de vectores

¿Cómo se suman dos vectores?

Para sumar dos vectores se suman las coordenadas x por un lado y las coordenaadas “y” por otro.

Por tanto, si tenemos los vectores:

operaciones con vectores

ejercicios de vectores

La suma de vectores será:

vectores ejercicios

Vamos a ver un ejemplo: Sumar los vectores u y v siguientes:

ejercicios resueltos de vectores

ejercicios de vectores resueltos

Sumamos la coordenada x del vector v con la coordenada x del vector u y también la coordenada “y” del vector v con la coordenada “y” del vector u:

suma y resta de vectores ejercicios resueltos

Quedando, como vector resultante:

suma de vectores ejercicios

Vamos a ver ahora cómo realizar la suma de vectores gráficamente.

Suma gráfica de vectores

La suma gráfica de vectores puede realizarse de dos maneras:

Vamos con la primera forma:

1 – Tenemos los vectores u y v:

vectores ejercicios resueltos

Queremos sumar gráficamente v+u. Por tanto, colocamos el origen de u en el extremo de v:

suma de vectores ejercicios resueltos

Unimos el origen de v con el extremo de u y obtenemos el vector resultante v+u:

ejercicios de vectores resueltos graficamente

Intenta tú mismo realizar la suma gráfica de u+v y verás que el resultado es el mismo ;).

Vamos con la segunda forma de sumar vectores gráficamente:

2 – Tenemos los vectores u y v:

operaciones con vectores ejercicios

Colocamos los dos vectores en el mismo origen:

ejercicios de suma de vectores

Se forma un paralelogramo, con estos dos vectores y trazando una línea paralela al vector u, en el extremo del vector v y una línea paralela al vector v en el extremo del vector u, quedando de la siguiente forma:

ejercicios con vectores

La unión del origen de ambos vectores con la intersección de las líneas que acabamos de dibujar, será el vector suma u+v:

operaciones de vectores

Pasamos a ver ahora la resta de vectores.

Resta de vectores

La resta de vectores se realiza de forma análoga a la suma de vectores.

Para restar dos vectores se restan las coordenadas x por un lado y las coordenaadas “y” por otro.

Si tenemos los vectores:

ejercicios resueltos de suma de vectores

vectores fisica ejercicios resueltos

La resta de los vectores v-u será:

operaciones con vectores ejercicios resueltos

Vamos a verlo con un ejemplo: Restar la resta v-u, siendo v y u los siguientes vectores:

metodo del paralelogramo ejercicios resueltos

ejercicios vectores

Para hallar la resta de los vectores v-u restamos por un lado, a la coordenada x de v la coordenada x de u y por otro lado, a la coordenada “y” de v le restamos la coordenada “y” de u:

operaciones entre vectores

Operamos dentro de cada coordenada, teniendo mucho cuidado con los signos y el vector resultante v-u queda:

operaciones con vectores ejemplos

La resta de vectores también se puede realizar gráficamente. Te lo explico en el siguiente apartado.

Resta gráfica de vectores

Al igual que pasaba con la suma gráfica de vectores, la resta gráfica de vectores puede realizarse de dos maneras. Verás que es muy similar a la suma pero teniendo en cuenta un detalle muy importante.

Primera forma:

Sean los vectores v y u siguientes:

suma de vectores metodo analitico ejercicios resueltos

Como queremos realizar la resta v-u, el primer paso es cambiar el sentido del vector u:

modulo del vector resultante ejercicios resueltos

Ahora seguimos el mismo procedimiento que en la suma gráfica de vectores, con la diferencia de que el sentido del vector u es contrario a su sentido original. Es lo mismo que sumar (-u).

Colocamos el origen del vector u con el sentido contrario en el extremo del vector v:

problemas de vectores resueltos

Unimos el origen del vector v con el extremo del vector u con el sentido contrario y obtenemos el vector resultante v-u:

calculo de vectores ejercicios resueltos

Seguimos con la segunda forma.

Tenemos los vectores v y u:

ejercicios de vectores resueltos fisica

Igual que antes, como queremos realizar la resta v menos u (v-u), al vector u le cambiamos el sentido:

multiplicacion de vectores ejercicios resueltos

Ahora colocamos el vector v y el vector u con el sentido contrario en el mismo origen:

suma de vectores ejemplos

Formamos un paralelogramo, con estos dos vectores y trazando una línea paralela al nuevo vector u, en el extremo del vector v y una línea paralela al vector v en el extremo de este vector u, quedando de la siguiente forma:

multiplicacion de vectores ejemplos resueltos

La unión del origen de ambos vectores con la intersección de las líneas dibujadas, será el vector resultante de restar u-v:

problemas resueltos de vectores

Tanto con una forma como con la otra, ten en cuenta que debes cambiar el sentido del vector que quieres restar (no olivdes nunca esto) y luego el procedimiento es el mismo que con la suma.

Producto de un vector por un número

Para realizar la multiplicación de un vector por un número, hay que multiplicar ese número por cada una de las coordenadas del vector.

Sea el vector:

suma de vectores metodo grafico ejercicios resueltos

Y lo queremos multiplicar por un número (que pertenece al conjunto de los números reales):

problemas de vectores

La multiplicación del número por el vector se representa así:

ejercicios suma de vectores

Y se multiplica el número por cada una de las coordenadas del vector:

ejercicios resueltos de vectores fisica basica

Es igual que cuando se multiplica un número por un polinomio.

Vamos a verlo con un ejemplo. Tenemos el siguiente vector:

operaciones con vectores fisica

Y lo queremos multiplicar por 3:

ejemplos de operaciones con vectores

Para multiplicar el vector por 3, lo representamos así primero:

ejercicios de operaciones con vectores

Multiplicamos el 3 por cada una de las coordenadas del vector y operamos dentro de cada coordenada para obtener el vector resultante:

como resolver vectores fisica paso a paso

Cuando el vector a multiplicar es el vector nulo:

resta de vectores ejercicios resueltos

Entonces, la multiplicación de cualquier número con el vector nulo sera igual a cero:

operaciones de vectores suma resta y multiplicacion

Si el vector por que se multiplicar el número es distinto del vector nulo, es decir, cualquier otro vector que no sea el vector nulo:

ejercicios de suma y resta de vectores

Entonces, si el número que multiplica al vector es cero, entonces el producto del número por el vector será cero:

suma y resta de vectores ejercicios

Si el número que multiplica al vector es mayor que cero:

ejercicios de vectores resueltos fisica 1

El vector resultante de la multiplicación del número por el vector será un vector con la misma dirección y sentido que el vector v, pero su tamaño será tantas veces mayor como el valor del número.

Por ejemplo, si tenemos el vector v y lo multiplicamos por 3, el vector resultante será 3 veces mayor:

multiplicacion de vectores

Además el módulo del vector resultante del producto de un número por un vector es igual a ese número por el módulo del vector:

suma de vectores metodo del poligono ejercicios resueltos

Por el contrario, si el  número por el que se multiplica el vector es menor que cero:

ejercicios resueltos vectores

El vector resultante será un vector con la misma dirección pero con sentido contrario.

En este caso, el módulo del vector resultante de la multiplicación de un número por un vector es igual al valor absoluto del número por el módulo de vector:

ejemplos de suma de vectores

Mucho cuidado con no confundir el módulo, con el valor absoluto, ya que ambos casos se representan igual (encerrando al elemento entre dos barras).

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