A continuación te voy a explicar la perpendicularidad en el sistema diédrico. Veremos cómo trazar una recta perpendicular a un plano por un punto, dos rectas perpendiculares por un punto, un plano perpendicular a una recta por un punto y un plano perpendicular a otro plano por un punto. Con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Cómo trazar una recta perpendicular a un plano por un punto en el sistema diédrico
Una recta es perpendicular a un plano cuando las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del plano.
Vamos a ver un ejemplo de cómo dibujar una recta perpendicular a un plano, que pase por un punto dado, en el sistema diédrico.
Tenemos el plano α y el punto A:
Vamos a dibujar una recta r que pase por el punto A y sea perpendicular al plano α.
Dibujamos la proyección vertical de la recta r’ ‘, perpendicular a α2 y que pase por A’ ‘:
Dibujamos la proyección horizontal de la recta r’, perpendicular a α1 y que pase por A’:
Y ya tenemos la recta r, perpendicular al plano α, ya que las proyecciones de r son perpendiculares a las trazas de α y que pasa por el punto A.
Cómo trazar una recta perpendicular a otra recta por un punto en el sistema diédrico
Al contrario de lo que nos pueda indicar nuestra intuición, dos rectas perpendiculares no tienen sus proyecciones perpendiculares entre sí. Solamente serán perpendiculares en uno de los dos planos de proyección, pero no en ambos, es decir, si las proyecciones son perpendiculares en el plano vertical, no lo serán en el horizontal y viceversa.
En otras palabras, si tenemos dos rectas perpendiculares entre sí en el espacio, de las cuales una de ellas es paralela a uno de los planos de proyección, entonces, sólo en este caso, las proyecciones sobre ese plano también serán perpendiculares.
Para entender mejor este último concepto, vamos a considerar un esquema en tres dimensiones compuesto por dos rectas perpendiculares en el espacio r y s y un plano de proyección α, paralelo a ambas rectas. En este caso, las proyecciones de ambas rectas en el plano también son perpendiculares:
Ahora, inclinamos la recta r, en sentido norte-sur, dejando igual la recta s, de forma que sigan siendo perpendiculares. En este caso, las proyecciones de ambas rectas siguen siendo perpendiculares, debido que la proyección de la recta r es igual a cuando era paralela y la proyección de la recta s no ha cambiado
Si además de inclinar la recta r, hacemos lo mismo con la recta r, pierden su perpendicularidad, por lo que necesariamente, una de las dos rectas debe ser paralela al plano de proyección.
Vamos a verlo en el sistema diédrico. Tenemos representados un punto A y una recta cualquiera:
Vamos a dibujar una recta horizontal s, perpendicular a la recta r, que pase por el punto A. Como la recta horizontal es paralela al plano de proyección horizontal, en el plano horizontal, las proyecciones de ambas rectas son perpendiculares. Nos queda de la siguiente manera:
También podemos dibujar una recta frontal s, perpendicular a la recta r, que pase por el punto A. Como la recta frontal es paralela al plano de proyección vertical, en el plano vertical, las proyecciones de ambas rectas son perpendiculares, quedándonos de la siguiente forma:
Como acabamos de ver, si las proyecciones son perpendiculares en uno de los dos planos, no pueden serlo en la otra, por lo que confirmamos que dos rectas perpendiculares no tienen sus proyecciones perpendiculares.
Por otro lado, una recta es perpendicular a otra recta, cuando es perpendicular al plano que contiene a esa recta. Por ejemplo, en el siguiente esquema, la recta s es perpendicular al plano α y a su vez también es perpendicular a la recta r que está contenida en el plano:
Además, cuando una recta es perpendicular a un plano, también es perpendicular a todas las rectas contenidas en ese plano.
Por tanto, otra forma de dibujar una recta perpendicular a otra es trazando un plano que sea perpendicular a la recta y luego, dibujar una recta contenida en el plano. La recta dada será perpendicular a la recta contenida en el plano.
Vamos a ver cómo hacerlo en diédrico. Tenemos una recta cualquiera:
Dibujamos un plano perpendicular a la recta, con sus trazas perpendiculares a las proyecciones de la recta:
Por último, dibujamos una recta cualquiera que esté contenida en el plano que acabamos de dibujar:
Como la recta r y el plano α son perpendiculares, la recta r y la recta s también lo son, por estar la recta s contenida en el plano α. Cualquier recta que hubiéramos dibujado y que estuviera contenida en el plano, sería perpendicular a la recta r.
Cómo trazar un plano perpendicular a una recta por un punto en diédrico
Para trazar un plano perpendicular a una recta por un punto en el sistema diédrico, primero dibujamos una recta perpendicular a r, que pase por el punto A, que será una recta horizontal o una frontal. Luego dibujaremos un plano que contenga a esta última recta, cuyas trazas serán perpendiculares a las proyecciones de la recta.
Como el plano contiene a la recta perpendicular, el plano también será perpendicular a r.
Vamos a ver cómo hacerlo paso a paso en el sistema diédrico. Tenemos un punto A y una recta r y debemos dibujar un plano perpendicular a r:
Primero trazamos una recta horizontal t, perpendicular a r, cuya proyección horizontal t’ es perpendicular a r’. La proyección vertical de t es paralela a la línea de tierra:
Ahora dibujamos un plano que contenga a t, cuyas trazas serán perpendiculares a r. Para trazar β2, desde V’ ‘, trazamos una línea perpendicular a r’ ‘ y la prolongamos por el otro extremo hasta la línea de tierra:
Finalmente, β1 es paralela a t’ (y por tanto también perpendicular a r’), partiendo desde el punto donde β2 corta a la línea de tierra, que es el vértice del plano:
Cómo trazar un plano perpendicular a otro plano por un punto en el sistema diédrico
Vamos a ver ahora cómo trazar un plano perpendicular a otro plano por un punto en el sistema diédrico.
Para llegar a la solución de este ejercicio hay que dibujar una recta perpendicular al plano que pase por el punto A y luego dibujar uno de los infinitos planos que contenga a esa recta. De esta forma ambos planos serán perpendiculares.
Vamos a hacerlo paso a paso en el sistema diédrico.
Tenemos un plano α y un punto A:
Dibujamos una recta r que sea perpendicular al plano α y que pase por el punto A:
Ahora obtenemos las trazas de la recta, para poder dibujar luego el plano que la contenga.
El punto donde r’ ‘ corta a la línea de tierra es H’ ‘ y el punto donde r’ corta a la línea de tierra es V’:
Para hallar V’ ‘, desde V’ dibujamos una línea vertical, hasta cortar a r’ ‘. Para obtener H’, trazamos otra línea vertical hasta cortar a r’, que en este caso se queda fuera del primer cuadrante:
Finalmente, dibujamos un plano cualquiera β que contenga a la recta r, haciendo pasar la traza vertical β2 por V’ ‘ y la traza horizontal β1 por H’, quedando unidas ambas trazas en el mismo vértice:
El plano α y el plano β son perpendiculares.
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