Posiciones relativas de dos y tres planos. Ejercicios resueltos paso a paso.

En esta lección te voy a explicar cómo determinar la posición relativa de varios planos, es decir, si son paralelos, se cortan o son coincidentes entre ellos.

Veremos primero cómo obtener la posición relativa de dos planos y después la posición relativa de tres planos, con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Empezamos!

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Posición relativa de dos planos

Para estudiar la posición relativa de dos planos se resuelve el sistema formado por las ecuaciones implícitas de ambos planos:

Donde la matriz de los coeficientes es:

Y la matriz ampliada:

Dependiendo de los valores posibles de los rangos de A y A*, podemos tener los siguientes casos:

Planos secantes

Si el rango de A es igual al rango de A* y ambos son iguales a 2, el sistema es compatible determinado y tiene una única solución, por lo que los planos son secantes, es decir, se cortan en una recta:

Planos coincidentes

Si el rango de A es igual al rango de A* y ambos son iguales a 1, el sistema es compatible indeterminado, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones, lo que significa que los planos son coincidentes:

Planos paralelos

Si el rango de A es igual a 1 y el rango de A* es igual a 2, el sistema es incompatible, lo que quiere decir que el sistema no tiene solución y por tanto los planos son paralelos:

Ejercicio resuelto sobre la posición relativa de dos planos

Vamos a realizar un ejercicio para determinar la posición relativa de dos planos. Es el siguiente:

Estudia la posición relativa de las siguientes parejas de planos:

Empezamos calculando el rango de la matriz de los determinantes del sistema de ecuaciones que forman ambos planos. La matriz de los coeficientes es:

Las mayores submatrices cuadradas que están contenidas en A son de orden 2. Elegimos una formada por las columnas 1 y 2, cuyo determinante es:

Como es igual a cero, seguimos buscando. Probamos ahora con la submatriz formada por las columnas 1 y 3, que su determinante es:

También es igual a cero. Nos queda probar con la submatriz cuadrada formada por las columnas 2 y 3. Su determinante es:

Todas las posibles submatrices cuadradas de orden 2 contenidas en A tienen el determinante igual a cero, por lo tanto, el rango de A es igual a 1:

Vamos ahora a calcular el rango de la matriz ampliada, que es:

Elegimos la mayor matriz cuadrada contenida en A*, que es de orden 2, formada por las columnas 3 y 4, cuyo determinante es:

Que es distinto de cero, así que, el determinante de la matriz ampliada es igual a 2:

Como el rango de la matriz A es 1 y el rango de la matriz A* es 2, los planos son paralelos:

Vamos a ver otro ejemplo:

Empezamos calculando el rango de la matriz de los coeficientes, que es:

Elegimos la matriz cuadrada de orden 2 formada por las columnas 2 y 3, cuyo determinante es:

El determinante de esta matriz es distinto de cero, por lo que el rango de A es igual a 2:

Seguimos calculando el rango de la matriz ampliada, que es:

La matriz cuadrada formada por las columnas 2 y 3, que estaba contenida en A, también está contenida en A*, por lo que elegimos esta matriz:

Por tanto, el rango de la matriz ampliada también va a ser 2:

Tanto el rango de A como el de A* son iguales a 2, por lo que los planos son secantes en una recta:

Posición relativa de tres planos

Ahora vamos a ver cómo estudiar la posición relativa de tres planos a partir del sistema que forman sus ecuaciones generales:

La matriz de los coeficientes en este caso es:

Y la matriz ampliada:

En función de los valores de los rangos de la matriz A y la matriz A* podemos obtener la posición de los planos. Vamos a verlo:

Planos coincidentes

Si el rango de A es igual al rango de A* y ambos son iguales a 1, el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones, por lo que los planos tienen todos sus puntos en común, lo que significa que los planos son coincidentes:

Planos paralelos o dos coincidentes y otro paralelo

Si el rango de A es igual a 1 y el rango de A* es igual a 2, el sistema es incompatible, por lo que no tiene solución y por tanto, los planos no tienen puntos en común. Los planos pueden ser paralelos o dos de los planos ser coincidentes y el otro paralelo a los anteriores:

Planos secantes en una recta o dos coincidentes y el otro secante

Si el rango de A es igual al rango de A* y ambos son iguales a 2, el sistema es compatible indeterminado. Dos de las ecuaciones son independientes y la otra es combinación lineal de las anteriores. Las infinitas soluciones dependen de un parámetro y los planos tienen los puntos en común de una recta.

Los planos pueden ser distintos y secantes en una recta o dos de los planos coincidentes y el otro los corta en una recta:

Los planos se cortan dos a dos o dos planos paralelos y el otro los corta

Si el rango de A es igual a 2 y el rango de A* es igual a 3, el sistema es incompatible y los tres los planos no tienen puntos en común. Los planos se pueden cortar dos a dos o bien, dos de los planos son paralelos y el otro corta a los anteriores:

Planos secantes en un punto

Si el rango de A es igual a 3 y el rango de A* también es igual a 3, el sistema es compatible determinado, con una única solución, lo que quiere decir que los tres planos son secantes en un único punto:

Ejercicio resuelto sobre la posición relativa de tres planos

Para terminar, vamos a realizar un ejercicio para determinar la posición relativa de tres planos, como por ejemplo:

Determina la posición relativa de los tres planos siguientes:

La matriz de los coeficientes es:

Vamos a calcular su rango. Para ello, calculamos su determinante:

Que es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 3:

Calculamos ahora el rango de la matriz ampliada:

La matriz A anterior, está contenida en la matriz ampliada, por lo que seleccionamos esa como mayor submatriz cuadrada de orden 3 contenida en A*:

Es distinta de cero y por tanto el rango de la matriz ampliada también es igual a 3:

Tanto el rango de A como el rango de A* son iguales a 3, por lo que los planos son secantes en un punto:

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