A continuación te voy a explicar cómo determinar la posición relativa de una recta y un plano. Veremos si la recta y el plano son paralelos, son secantes (se cortan en un punto) o si la recta está contenida en el plano. Resolveremos un ejercicio paso a paso.
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Posición relativa de una recta y un plano
Para estudiar la posición relativa de una recta y un plano se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones implícitas de la recta y la ecuación implícita del plano:
En este sistema, la matriz de los coeficientes es:
Y la matriz ampliada es:
Según los valores posibles de los rangos de A y A* determinaremos la posición relativa entre la recta y el plano. Pueden darse los siguientes casos:
La recta está contenida en el plano
Si el rango de A es igual al rango de A* y ambos son iguales a 2, el sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, lo que significa que el sistema tiene infinitas soluciones y por tanto, en este caso, la recta está contenida en el plano:
La recta y el plano son paralelos
Si el rango de A es igual a 2 y el rango de A* es igual a 3, el sistema es incompatible, lo que quiere decir que el sistema no tiene solución y por tanto la recta y el plano son paralelos:
La recta y el plano son secantes
Si el rango de A es igual al rango de A* y ambos son iguales a 3, el sistema es compatible determinado, por lo que tiene una única solución. En este caso la recta y el plano son secantes, es decir, se cortan en un punto:
El punto de corte será la solución del sistema formada por las ecuaciones de la recta y el plano.
Ejercicio resuelto sobre la posición relativa de recta y plano
Vamos a resolver un ejercicio sobre la posición relativa entre una recta y un plano.
Determina la posición relativa de la siguiente recta y el siguiente plano:
En primer lugar, debemos pasar la recta, que está en forma contínua, a su forma implícita, igualando la ecuación contínua dos a dos y simplificando las ecuaciones resultantes.
Igualamos el primer miembro con el segundo miembro de la ecuación:
Multiplicamos cada denominador por el numerador del miembro contrario:
Eliminamos los paréntesis multiplicando por el número que llevan delante:
Pasamos los términos con incógnita al primer miembro y dejamos los números en el segundo miembro, operamos y reordenamos términos:
Ahora igualamos el segundo y el tercer miembro de la ecuación contínua de la recta:
Pasamos cada denominador multiplicando el miembro contrario:
Eliminamos el paréntesis:
Y reordenamos términos, dejando los términos con incógnita en el primer miembro y el número en el segundo miembro:
Una vez tenemos las ecuaciones implícitas de la recta, nos queda este sistema de ecuaciones de la recta y el plano:
Procedemos a estudiar su posición relativa, calculando el rango de A y A*
La matriz de los coeficientes es:
Cuyo determinante es:
Como el determinante es igual a cero, seguimos seleccionando una submatriz cuadrada que esté contenida en A. Elegimos la formada por las dos primeras columnas y las dos primeras filas, cuyo determinante es:
Al ser el determinante de orden 2 distinto de cero, el rango de la matriz de los coeficientes es:
Vamos a obtener ahora el rango de la matriz ampliada:
La mayor submatriz cuadrada contenida en A* es de orden 3. Elegimos una de ellas, formada por las columnas 1, 2 y 4, cuyo determinante es:
El determinante de esta submatriz de orden 3 es distinto de cero, luego el rango de la matriz ampliada es igual a 3:
Por tanto, como el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 2 y el rango de la matriz ampliada es igual a 3, el sistema es incompatible y no tiene solución, por lo que la recta y el plano son paralelos.
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