▷ Posiciones relativas de recta y plano en el espacio. Ejercicios resueltos.

Posiciones relativas de recta y plano en el espacio. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo determinar la posición relativa de una recta y un plano. Veremos si la recta y el plano son paralelos, son secantes (se cortan en un punto) o si la recta está contenida en el plano. Resolveremos un ejercicio paso a paso.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

QUIERO APRENDER MATEMÁTICAS

Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Posición relativa de una recta y un plano

Para estudiar la posición relativa de una recta y un plano se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones implícitas de la recta y la ecuación implícita del plano:

En este sistema, la matriz de los coeficientes es:

Y la matriz ampliada es:

Según los valores posibles de los rangos de A y A* determinaremos la posición relativa entre la recta y el plano. Pueden darse los siguientes casos:

La recta está contenida en el plano

Si el rango de A es igual al rango de A* y ambos son iguales a 2, el sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, lo que significa que el sistema tiene infinitas soluciones y por tanto, en este caso, la recta está contenida en el plano:

La recta y el plano son paralelos

Si el rango de A es igual a 2 y el rango de A* es igual a 3, el sistema es incompatible, lo que quiere decir que el sistema no tiene solución y por tanto la recta y el plano son paralelos:

La recta y el plano son secantes

Si el rango de A es igual al rango de A* y ambos son iguales a 3, el sistema es compatible determinado, por lo que tiene una única solución. En este caso la recta y el plano son secantes, es decir, se cortan en un punto:

El punto de corte será la solución del sistema formada por las ecuaciones de la recta y el plano.

Ejercicio resuelto sobre la posición relativa de recta y plano

Vamos a resolver un ejercicio sobre la posición relativa entre una recta y un plano.

Determina la posición relativa de la siguiente recta y el siguiente plano:

En primer lugar, debemos pasar la recta, que está en forma contínua, a su forma implícita, igualando la ecuación contínua dos a dos y simplificando las ecuaciones resultantes.

Igualamos el primer miembro con el segundo miembro de la ecuación:

Multiplicamos cada denominador por el numerador del miembro contrario:

Eliminamos los paréntesis multiplicando por el número que llevan delante:

Pasamos los términos con incógnita al primer miembro y dejamos los números en el segundo miembro, operamos y reordenamos términos:

Ahora igualamos el segundo y el tercer miembro de la ecuación contínua de la recta:

Pasamos cada denominador multiplicando el miembro contrario:

Eliminamos el paréntesis:

Y reordenamos términos, dejando los términos con incógnita en el primer miembro y el número en el segundo miembro:

Una vez tenemos las ecuaciones implícitas de la recta, nos queda este sistema de ecuaciones de la recta y el plano:

Procedemos a estudiar su posición relativa, calculando el rango de A y A*

La matriz de los coeficientes es:

Cuyo determinante es:

Como el determinante es igual a cero, seguimos seleccionando una submatriz cuadrada que esté contenida en A. Elegimos la formada por las dos primeras columnas y las dos primeras filas, cuyo determinante es:

Al ser el determinante de orden 2 distinto de cero, el rango de la matriz de los coeficientes es:

Vamos a obtener ahora el rango de la matriz ampliada:

La mayor submatriz cuadrada contenida en A* es de orden 3. Elegimos una de ellas, formada por las columnas 1, 2 y 4, cuyo determinante es:

El determinante de esta submatriz de orden 3 es distinto de cero, luego el rango de la matriz ampliada es igual a 3:

Por tanto, como el rango de la matriz de los coeficientes es igual a 2 y el rango de la matriz ampliada es igual a 3, el sistema es incompatible y no tiene solución, por lo que la recta y el plano son paralelos.

¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?

Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.

He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.

Con mi método:

  • Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
  • Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión

Suena bien ¿no?

¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?

Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más:

ENSÉÑAME MATEMÁTICAS

Uso de cookies

Usamos cookies propias y de terceros (Google) para que usted tenga la mejor experiencia de usuario, por lo que los terceros reciben información sobre tu uso de este sitio web.

Si continúas navegando, consideramos que aceptas el uso de las cookies. Puedes obtener más info o saber cómo cambiar la configuración en nuestra Política de Cookies.

ACEPTAR
Aviso de cookies