Primer teorema fundamental del cálculo integral. Ejercicios resueltos paso a paso

¿Quieres aprender a derivar integrales de funciones aplicando el teorema fundamental del cálculo? Te lo explico en esta lección paso a paso, con ejercicios resueltos.

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¡Vamos allá!

El primer teorema fundamental del cálculo nos dice que la integración es la operación inversa a la derivación.

Fórmula del teorema fundamental del cálculo integral

Tenemos una integral de una función que depende de la variable t (con su correspondiente diferencial de t), que va desde una constante “a” hasta la variable “x”, a la que llamaremos F(x):

teorema fundamental del calculo ejercicios resueltos

Si derivamos toda esa integral con respecto a x, el resultado es la misma función que dependía de t en la integral, pero ahora dependiendo de x:

primer teorema fundamental del calculo ejercicios resueltos

Es decir, la derivada de la integral de una función, es esa propia función. Lo que demuestra que derivar es la operación inversa a integrar.

ejercicios resueltos del teorema fundamental del calculo

La aplicación de este teorema es muy sencilla, ya que sólo tenemos que sustituir la t por la x en la función que estamos integrando.

Ejercicios resueltos del teorema fundamental del cálculo

Por ejemplo, hallar la derivada de la siguiente integral usando el teorema fundamental:

ejercicios teorema fundamental del calculo

A esa expresión la llamamos F(x):

ejercicios de teorema fundamental del calculo

Nos están pidiendo calcular la derivada de F(x), es decir F'(x), que es la derivada de la integral con respecto de x:

teorema fundamental del calculo ejercicios

Por tanto vamos a resolver esta derivada de aquí:

ejercicios del teorema fundamental del calculo

Aplicando la fórmula del teorema fundamental del cálculo:

teorema fundamental del calculo

La función en este caso f(t) es:

teorema fundamental del calculo integral ejercicios

Para hallar f(x), solamente tenemos que sustituir la x por la t en la función f(t) que está dentro de la integral. Al sustituir la t por la x nos queda f(x):

primer teorema fundamental del calculo

Por tanto, la derivada de la integral es:

teorema fundamental del calculo integral

Que es lo mismo que decir que la derivada de F(x) es igual a f(x):

ejercicios resueltos teorema fundamental del calculo

ejercicios resueltos de teorema fundamental del calculo

Debes tener cuidado ya que en la fórmula del teorema fundamental, la integral va desde la constante “a” hasta la variable “x”, por tanto, si la integral está escrita al contrario, debes darle la vuelta a la integral y ponerle un signo menos delante para que su resultado no varíe.

Vamos a ver esto con un ejemplo: Hallar la derivada de la siguiente integral usando el teorema fundamental:

teorema fundamental

Nos piden derivar con respecto a x esta integral:

para que sirve el teorema fundamental del calculo

Vemos que la integral va desde x hasta -2 y para poder aplicar la fórmula del teorema fundamental, debería ir desde -2 hasta x, por tanto, le damos la vuelta a la integral y le colocamos un signo menos delante para no variar su resultado (según las propiedades de las integrales):

teorema fundamental del calculo definición

Por tanto, la derivada de la integral original, la sustituimos por la derivada a la que le hemos dado la vuelta y lleva un signo menos delante:

ejemplos de teorema fundamental del calculo

Y ese signo menos lo podemos sacar fuera de la integral:

teorema fundamental del calculo formula

Ahora ya podemos aplicar la fórmula del teorema fundamental, teniendo en cuenta de que tenemos un signo menos delante:

primer teorema fundamental del calculo ejercicios resueltos

f(t) es:

teorema del calculo integral

Sustituimos la x por la t para obtener f(x):

teorema fundamental de calculo

Por lo que la derivada de la integral, teniendo en cuenta el signo menos que lleva delante es:

el primer teorema fundamental del calculo

Como la derivada de la integral original es igual a la derivada de la integral a la que hemos dado la vuelta y con el signo menos delante:

teorema fundamental del cálculo integral

El resultado de la derivada de la integral original es:

teorema fundamental del cálculo

Fórmula del teorema fundamental para derivar integrales que van desde una constante hasta una función

Hasta ahora hemos visto como derivar integrales que van desde una constante hasta la variable x, pero ¿cómo se aplica el teorema fundamental del cálculo cuando queremos derivar integrales que van desde una constante hasta una función?

Te voy a explicar cómo aplicar la fórmula del teorema fundamental para derivar integrales que van desde una constante hasta una función, en vez de ir desde una constante hasta la variable x, es decir, te voy  a explicar cómo derivar integrales como ésta, a la que llamamos F(x):

ejercicios teorema fundamental del calculo resueltos

aplicando el teorema fundamental.

En este caso, la derivada de F(x) con respecto de x será igual a la función f(u(x)), por la derivada de u(x). El resultado es la misma función que dependía de t, pero ahora dependiendo de u(x) y multiplicada por la derivada de esa función u(x):

teorema fundamental del calculo integral ejercicios resueltos

Vamos a ver cómo aplicar esta fórmula con un ejemplo: Hallar la derivada de la siguiente integral:

teorema fundamental del calculo ejemplos

Vamos a calcular la derivada de esta integral con respecto a x utilizando el teorema fundamental:

teorema fundamental del calculo ejemplos resueltos

Idenficamos u(x) que es:

ejercicios teorema fundamental del calculo

Obtenemos f(u(x)), sustituyendo la t por u(x):

teorema fundamental del calculo integral

Y calculamos u'(x) derivando u(x):

teorema fundamental del calculo ejercicios

Por tanto, la derivada de la integral original, aplicando la fórmula del teorema fundamental es igual a:

aplicacion del teorema fundamental del calculo

Fórmula del teorema fundamental para derivar integrales que van desde una función hasta otra función

Finalmente te voy a explicar cómo aplicar la fórmula del teorema fundamental para derivar integrales que van desde una función hasta otra función, como ésta:

teorema fundamental del calculo integral definida

Para derivar integrales que van desde una función hasta una función la fórmula del teorema fundamental es la siguiente:

que es el teorema fundamental del calculo integral

Y para entenderla mejor vamos a aplicarla derivando la siguiente integral:

cual es el teorema fundamental del calculo

Queremos derivar esa integral con respecto a x:

en que consiste el teorema fundamental del calculo

Vamos a definir cada uno de los componentes que aparecen en la fórmula. v(x) y u(x) son:

teorema fundamental del calculo formula

para que sireve el teorema fundamental del calculo

Para obtener f(u(x)) sustituimos la t en f(t) por u(x):

teoremas de la integral definida

Para obtener f(v(x)) sustitimos la t en f(t) por v(x):

teoremas fundamentales del calculo integral

Las derivadas de v(x) y u(x) son:

teorema fundamental del calculo integral ejercicios resueltos

ejemplos del teorema fundamental del calculo

Lo sustituimos todo en la fórmula quedando:

teorema fundamental del calculo ejemplos resueltos

Y si seguimos operando, el resultado es:

ejemplos resueltos de teorema fundamental del calculo integral

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