Probabilidad de sucesos compuestos dependientes. Diagrama de árbol. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo calcular al probabilidad de sucesos compuestos dependientes. Lo veremos con ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso. Para resolver ejercicios de este tipo se utiliza el diagrama de árbol, que también te enseñaré cómo se construye paso a paso.

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Qué son sucesos compuestos dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes cuando el resultado de B depende del resultado de A y por tanto, B tiene una probabilidad condicionada al resultado de A.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Colocamos en una bolsa dos bolas azules y una verde. Sacamos una bola y sin devolverla a la bolsa, sacamos una segunda bola.

Estos sucesos de extracción de bolas sin devolución son sucesos compuestos dependientes, ya que el resultado del primer suceso altera el resultado del siguiente suceso, ya que en función de si la primera bola es verde o azul, las bolas que quedan en la bolsa son distintas.

Cómo calcular la probabilidad de sucesos compuestos dependientes

La probabilidad de que se realicen dos sucesos A y B es igual a la probabilidad que se realice el primero (A) por la probabilidad de que se realice el segundo, habiéndose realizado el primero (B/A):

Si en lugar de dos sucesos tenemos tres, A, B y C, entonces la probabilidad de que se realicen los tres es:

Si dentro del experimento se repiten los sucesos compuestos, como por ejemplo que dos bolas sean del mismo color sin que importe el orden, entonces la probabilidad será la suma de las probabilidades en las que esa condición se cumpla.

Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular la probabilidad de dos sucesos compuestos dependientes

Siguiendo con el experimento del ejemplo anterior, donde tenemos una bolsa con dos bolas azules y una verde:

a) Calcular la probabilidad de que las dos bolas sean azules

b) Calcular la probabilidad de que una bola sea azul y otra verde

Para la primera extracción, en la bolsa hay 3 bolas en total: 1 bola verde y 2 azules. La probabilidad de sacar una bola verde es:

La probabilidad de sacar una bola azul es:

Para la segunda extracción, si en la primera sacamos una bola verde, ahora nos quedan 2 bolas azules.

La probabilidad de sacar una bola verde habiendo sacado antes otra bola verde es 0, ya que no hay bolas verdes en la bolsa:

La probabilidad de sacar una bola azul habiendo sacado antes una bola verde es 1, ya que de las dos bolas que quedan, las dos son azules:

Si en la primera extracción sacamos una bola azul, en la bolsa quedan 2 bolas, 1 azul y una verde.

La probabilidad de sacar una bola verde habiendo sacado antes una bola azul es 1/2, ya que de las dos bolas, una es verde:

La probabilidad de sacar una bola azul habiendo sacado antes otra bola azul es 1/2, ya que de las dos bolas, una es azul:

Por tanto, la probabilidad de sacar dos bolas azules la calculamos multiplicando la probabilidad de sacar una bola azul por la probabilidad de sacar una bola azul habiendo sacado antes otra bola azul:

La probabilidad de sacar la primera bola azul y la segunda verde la calculamos multiplicando la probabilidad de sacar una bola azul por la probabilidad de sacar una verde habiendo sacado antes una bola azul:

Y por último, la probabilidad de sacar la primera bola verde y la segunda azul la calculamos multiplicando la probabilidad de sacar una bola verde por la probabilidad de sacar una bola azul habiendo sacado antes otra bola verde:

La probabilidad de sacar dos bolas verdes es cero, ya que sólo tenemos una bola verde en la bolsa.

Por tanto, la probabilidad de sacar dos bolas del mismo color será igual a la probabilidad de sacar dos bolas azules:

La probabilidad de sacar dos bolas de distinto color será igual a la probabilidad de sacar la primera bola azul y la segunda bola verde más la probabilidad de sacar la primera bola verde y la segunda azul:

Vamos a ver otro ejemplo con tres sucesos compuestos condicionados:

En una baraja española de 40 cartas ¿cuál es la probabilidad de obtener tres ases al sacar tres cartas?

En la baraja hay 4 ases de un total de 40 cartas. La probabilidad de sacar el primer as es:

La probabilidad de sacar un segundo as, habiendo sacado un as en la primera carta es 3/39, ya que quedan 3 ases en 39 cartas:

La probabilidad de sacar un tercer as, habiendo sacado un as en la primera y en la segunda carta es 2/38, ya que quedan 2 ases en 38 cartas:

Por tanto, para calcular la probabilidad de sacar tres ases multiplicamos las probabilidades anteriores:

Cómo hacer un diagrama de árbol

Realizar un diagrama de árbol se trata de ir dibujando las ramas con los posibles resultados que tenemos en cada caso e ir añadiendo las probabilidades que tenemos con cada resultado.

Vamos a resolver el primer ejemplo pero esta vez utilizando un diagrama de árbol. Te iré mostrando cómo construirlo paso a paso.

Te recuerdo aquí el enunciado:

Colocamos en una bolsa dos bolas azules y una verde. Sacamos una bola y sin devolverla a la bolsa, sacamos una segunda bola.

a) Calcular la probabilidad de que las dos bolas sean azules

b) Calcular la probabilidad de que una bola sea azul y otra verde

Para la primera extracción, tengo 3 bolas en total, la probabilidad de sacar una bola verde es 1/3, y la probabilidad de sacar una bola azul es 2/3 y eso lo representamos así:

Seguimos con la segunda extracción.

En primer lugar nos centramos en el camino de haber sacado una bola verde en la primera extracción. En este caso, nos quedan 2 bolas azules en la bolsa, por lo que la probabilidad de sacar una bola azul es 2/2:

Ahora nos centramos en el camino de haber sacado una bola azul en la primera extracción. En este caso, nos quedan en la bolsa 1 bola azul y 1 bola verde. La probabilidad de sacar una bola verde en la segunda extracción es 1/2 y la probabilidad de sacar una bola azul, también es 1/2. Lo representamos así:

La suma de las probabilidades en cada extracción (en cada experimento) siempre es igual a 1.

Por último, añadimos una parte más al diagrama de árbol donde recogemos todos los posibles resultados, siguiendo cada uno de los caminos:

La probabilidad de cada resultado se calcula multiplicando las probabilidades de las ramas del camino que se recorre hasta llegar hasta él.

Así, la probabilidad de sacar una primero una bola verde y después una azul la obtenemos multiplicando 1/3 de la primera rama y 2/2 (que es igual a 1) de la segunda rama:

La probabilidad de sacar una primero una bola azul y después una verde la obtenemos multiplicando 2/3 de la primera rama y 1/2 de la segunda rama:

La probabilidad de sacar dos bolas azules la obtenemos multiplicando 2/3 de la primera rama y 1/2 de la segunda rama:

Una vez tenemos las probabilidades de los resultados, terminamos el ejercicio igual que en el ejemplo anterior.

¿Mucho más fácil así no?

Ejercicios resueltos de probabilidad de sucesos compuestos dependientes y diagramas de árbol

Vamos a resolver unos ejercicios de probabilidad de sucesos compuestos utilizando el diagrama de árbol.

Ejercicio 1

Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Se saca una bola al azar de la urna y sin volverla a meter se saca una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color? ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?

Empezamos construyendo el diagrama de árbol.

Representamos la primera extracción. Tengo 8 bolas en total. La probabilidad de sacar una bola blanca es 5/8, ya que tengo 5 bolas blancas de un total de 8 bolas. La probabilidad de sacar una bola negra es 3/5, ya que tengo 3 bolas negras de un total de 8 bolas:

Seguimos con la segunda extracción.

Nos centramos en el camino de haber sacado una bola blanca en la primera extracción. En este caso, nos quedan 7 bolas en total: 4 blancas y 3 negras. Ahora la probabilidad de sacar una bola blanca es por tanto es 4/7 y la probabilidad de sacar una bola negra es 3/7:

En el caso de haber sacado una bola negra en la primera extracción, nos quedan 7 bolas en total: 5 blancas y 2 negras. Ahora la probabilidad de sacar una bola blanca es por tanto es 5/7 y la probabilidad de sacar una bola negra es 2/7:

Por último, indicamos todos los posibles resultados, siguiendo cada uno de los caminos:

Ahora calculamos las probabilidades de cada resultado:

La probabilidad de sacar dos bolas blancas la obtenemos multiplicando 5/8 de la primera rama y 4/7 de la segunda rama:

La probabilidad de sacar una primero una bola blanca y después una negra la obtenemos multiplicando 5/8 de la primera rama y 3/7 de la segunda rama:

La probabilidad de sacar una primero una bola negra y después una blanca la obtenemos multiplicando 3/8 de la primera rama y 5/7 de la segunda rama:

La probabilidad de sacar dos bolas negras la obtenemos multiplicando 3/8 de la primera rama y 2/7 de la segunda rama:

Por tanto, la probabilidad de sacar dos bolas del mismo color será la suma de la probabilidad de sacar dos bolas blancas más la probabilidad de sacar dos bolas negras:

Sustituimos cada probabilidad por su valor y operamos:

La probabilidad de sacar dos bolas de distinto color es igual P(BN) más P(NB):

Sustituimos cada probabilidad por su valor y operamos:

Ejercicio 2

En una habitación hay 7 hombres y 10 mujeres. Se eligen 3 personas al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean 3 mujeres?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean 2 hombres y 1 mujer?

En primer lugar dibujamos el diagrama de árbol:

La probabilidad de sacar 3 mujeres es:

Cuya probabilidad es igual a la multiplicación de las probabilidades del camino:

La probabilidad de sacar 2 hombres 1 una mujer será igual a la suma de las probabilidades en cuyo resultado hay 2 hombres y 1 mujer, es decir, HHM, HMH y MHH:

Calculamos cada probabilidad multiplicando las probabilidades de cada camino:

Sustituimos, operamos y nos queda:

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