A continuación te voy a explica cómo resolver problemas con ecuaciones exponenciales, con problemas resueltos paso a paso. Veremos cómo interpretar los datos que nos da el enunciado y cómo llegar al resultado.
¡Empezamos!
Si has llegado hasta aquí es porque seguramente necesitas clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolver algún ejercicio que se te resista o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
Problemas con ecuaciones exponenciales resueltos
Problema 1
Una población de insectos crece según la siguiente ley:
donde «y» es el número total de insectos y «x» es el tiempo en meses desde el momento presente.
a) ¿Cuántos insectos hay en el momento actual? ¿Y dentro de dos años y medio?
b) ¿Cuántos meses tardará en ser la población de insectos 64 veces la población que hay en el momento actual?
Apartado a
El enunciado ya no dice a qué corresponde cada una de las incógnitas:
En primer lugar nos preguntan la cantidad de insectos en el momento actual. Para responder a esto, hay que entender el significado de la incógnita x, de la que el enunciado nos indica que es el tiempo en meses desde el presente, o lo que es lo mismo, desde el momento actual. Así que, en el momento actual, x será igual a cero meses:
Ahora, en ecuación exponencial que nos da el enunciado:
Sustituimos la x por 0:
Y operamos:
En el momento actual hay 5 insectos.
Nos preguntan también cuántos insectos habrá dentro de 2 años y medio.
Primero pasamos los 2 años y medio a meses, multiplicando los años por 12:
2,5 años corresponden a 30 meses
Ahora, en la ecuación exponencial:
Sustituimos la x por 30 y operamos:
El resultado obtenido corresponde con el número de insectos en 30 meses, es decir, en 2,5 años.
Apartado b
Seguimos con el apartado b, donde nos preguntan la cantidad de meses que tardará en ser la población de insectos 64 veces la población que hay en el momento actual, así que calculamos esta cantidad de insectos.
Sabemos que la cantidad de insectos en el momento actual es de 5, por lo que 64 veces es cantidad es:
En esta ocasión, conocemos el valor de «y» y tenemos que despejar el valor de x. Sustituimos «y» por 320:
Ahora pasamos el 5 del segundo miembro, dividiendo al primer miembro:
El 64 se puede expresar como potencia de base 2:
Igualamos los exponentes y obtenemos el valor de x:
Por tanto, en 6 meses meses la población de insectos será 64 veces la población que hay en el momento actual.
Problema 2
El número de bacterias de un cultivo viene dado por la siguiente fórmula:
donde N(t) son miles de bacterias y t son horas.
a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias?
b) ¿Cuál será el número de bacterias al cabo de seis horas y media?
c) ¿En cuánto tiempo tendrá el cultivo un millón de bacterias?
Apartado a:
Vamos a calcular el número inicial de bacterias.
La fórmula del número de bacterias en función del tiempo es:
El número inicial de bacterias lo tenemos cuando el tiempo es igual a cero, es decir, t=0. Así que en la fórmula, sustituimos t por 0:
Resolvemos la potencia:
Y finalmente multiplicamos:
El resultado lo tenemos en miles de bacterias, ya que N(t) está expresado miles de bacterias. Para expresar el resultado en bacterias, sólo tenemos que multiplicar por 1000:
Apartado b:
El número de bacterias al cabo de seis horas y media lo tenemos cuando t=6,5, por lo que sustituimos t por 6,5 en la fórmula:
Y operamos con la calculadora para obtener el resultado en miles de bacterias:
Multiplicamos por 1000 si queremos expresar el resultado en bacterias:
Apartado c:
Nos piden obtener cuándo tendrá el cultivo un millón de bacterias, es decir, qué valor debe tener t para que N(t) sea igual a un millón.
Como N(t) está expresado en miles de bacterias, debemos expresar un millón en miles para indicarlo correctamente en la fórmula y que el tiempo sea indicado en horas. Un millón es igual a 1000 miles:
Ahora, sustituimos N(t) por 1000 en la fórmula:
Y vamos a despejar t.
Primero pasamos el 4,9 dividiendo al primer miembro, para dejar sólo el término elevado a t:
Operamos en el primer miembro:
Aplicamos logaritmos a ambos miembros:
En el segundo miembro, aplicamos las propiedades de los logaritmos y pasamos la t multiplicando al logaritmo:
Finalmente despejamos la t, pasando el log 1,186 dividiendo al miembro contrario y realizamos la división con la calculadora:
Cuando pasen 31,17 horas, el número de bacterias será igual a un millón.
Problema 3
El número de abejas en una colmena durante la primavera se reproducen según la siguiente función:
donde «y» es el número de abejas y «x» el número de días.
¿Cuántos días han de transcurrir para que haya 10000 abejas?
Sabemos que «y» es el número de abejas y «x» es el número de días. Por tanto, en la fórmula sustituimos «y» por 10000:
Y ahora vamos a despejar x para obtener el número de días que han de pasar para que y=10000 abejas.
Primero dejamos sólo el término elevado a x, pasando el 2500 dividiendo al miembro contrario:
Operamos:
Aplicamos logaritmos a ambos miembros:
En el segundo miembro, pasamos la x multiplicando al logaritmo, según las propiedades de los logaritmos:
Despejamos la x pasando el log 1,5 dividiendo al miembro contrario y dividimos los logaritmos con la calculadora:
Por tanto, a los 3,42 días el número de abejas será igual a 10000.
Problema 4
El precio de un coche se devalúa un 25% cada año. Si su precio inicial es de 30000 €, ¿cuántos años han de pasar para que su precio sea de 5000 €?
En primer lugar, debemos obtener la fórmula de devaluación del precio del coche en función de los años que pasen, sabiendo el precio inicial y que cada año se devalúa un 25%.
El enunciado nos dice que el precio inicial del coche es de 30000 euros:
Cada año se devalúa un 25% o lo que es lo mismo, que cada año el precio del coche pasa a ser el 75% del precio del año anterior. Por tanto, para saber el precio que tendrá el coche en el año 1, tenemos que multiplicar el precio inicial por 0,75 (si no te aclaras con los porcentajes, te aconsejo que mires esta lección del Curso de Proporcionalidad:
Para calcular el precio del coche en el año 2, tenemos que multiplicar el precio en el año 1 por 0,75 de nuevo:
O lo que es lo mismo, multiplicar el precio inicial del coche por 0,75 elevado a 2:
Si seguimos el mismo razonamiento para el año 3 llegaríamos a la siguiente expresión:
Por tanto, llegamos a la conclusión de que para calcular el precio final del coche, debemos multiplicar el precio inicial por 0,75 elevado al año que queramos calcular, lo cual también se cumple para el año 0:
Y para el año 1:
Por tanto, fórmula de devaluación del precio del coche en función de los años es:
Donde «y» corresponde al precio del coche en el año x:
Y x corresponde al número de años que pasan:
Una vez tenemos la fórmula, ahora vamos a calcular los años que tienen que pasar para que el precio del coche sea de 5000 €. Para ello, sustituimos la «y» por 5000 en la fórmula:
Despejamos el 0,75 elevado a x:
Operamos en el primer miembro:
Aplicamos logaritmos a ambos miembros:
Pasamos la x multiplicando al logaritmo en el segundo miembro:
Y finalmente despejamos y calculamos la x:
Tienen que pasar 6,37 años para que el precio del coche sea de 5000 euros.
Problema 5
El crecimiento de una determinada planta durante la primera semana viene dado por la siguiente función:
donde «y» es la longitud de la planta en cm y x es el número de días.
Calcula los días que han de pasar para que mida 5 cm
En primer lugar sustituimos la «y» por 5:
Aplicamos logaritmos a ambos miembros:
Por las propiedades de los logaritmos, podemos pasar la x multiplicando al logaritmo en el segundo miembro:
Despejamos y calculamos la x:
El resultado que obtenemos es que tienen que pasar 8,82 días para que la planta mida 5 cm. Sin embargo, el enunciado nos dice que esa función es válida sólo para la primera semana, es decir, para valores de x menores o iguales que 7. Pasados 7 días,s la fórmula de crecimiento no está definida.
En la primera semana, la planta crecerá como máximo los siguientes centímetros:
Por tanto, no podemos saber los días que tienen que pasar para que la planta mida 5 cm.
Problema 6
Un cultivo de bacterias en un laboratorio se sabe que crece siguiendo una función exponencial. Se observa que al cabo de un minuto de empezar el experimento hay 90 bacterias y al cabo de 2 minutos hay 1620 bacterias. Se pide:
a) Fórmula que permite calcular la cantidad de bacterias en función del tiempo
b) Número de bacterias al empezar el experimento y al cabo de un cuarto de hora
c) Tiempo que ha de pasar para que haya 50000 bacterias
Apartado a:
Según el enunciado en el minuto 1 el cultivo tiene 90 bacterias:
Y en el minuto 2 tiene 1620 bacterias:
Vamos a buscar una relación entre estas dos cantidades de bacterias y el número de minutos para encontrar la fórmula de crecimiento del cultivo.
Para ello, en primer lugar descomponemos en factores primos ambas cantidades:
Si nos fijamos en los factores 2 y 3 del 1620, su exponente es el doble que en los factores 2 y 3 del 90, así que podemos expresar los factores 2 y 3 del 1620 con los mismos exponentes que en el 90 y los elevamos a 2. Esto lo hacemos para encontrar una relación entre ambas cantidades:
Operamos dentro del paréntesis y nos queda:
El 90 lo podemos expresar de la misma forma que el 1620, elevando los factores 2 y 3 a 1:
Operamos dentro del paréntesis:
Si te das cuenta, tanto en el 90 como en el 1620, el paréntesis que eleva a la multiplicación de los factores 2 y 3 coincide con el número del minuto, por tanto, la fórmula de crecimiento de cultivo la podemos expresar como:
siendo «y» el número de bacterias:
y x los minutos:
Apartado b:
Ahora podemos calcular el número de bacterias que tendremos a los 15 minutos, sustituyendo la x por 15 y operando:
Apartado c:
Por último, vamos a calcular en qué minuto tendremos 50000 bacterias.
Sustituimos en la fórmula la «y» por 50000:
Despejamos 18 elevado a x:
Y operamos en el primer miembro:
Aplicamos logaritmos:
Pasamos la x multiplicando en el segundo miembro:
Y finalmente calculamos la x:
A los 3,18 minutos, el cultivo tendrá 50000 bacterias
Problema 7
Un coche deportivo cuesta 70000€ y cada año se devalúa un 15% de modo que su precio, transcurridos t años desde que se compró, viene dado por la función: P(t)=70000·0,85t
a) ¿Cuánto se devaluó el primer año?
b) ¿Cuál era el precio del coche a los tres años?
c) ¿Cuántos años tienen que transcurrir para que valga menos de la mitad?
La función de devaluación del deportivo es:
Para calcular cuánto se devaluó el primer año, primero calcularmos el precio del coche el primer año, sustituyendo t por 1 en la fórmula y operando:
Y la cantidad obtenida se la restamos al precio inicial:
Así que, el primer año se devaluó 10500 euros.
Para saber el precio del coche a los tres años, sustituimos t por 3 en la fórmula y operamos:
Por último nos preguntan los que años tienen que pasar para el coche que valga menos de la mitad. Para ello, en la fórmula, sustituimos el precio por 35000, que es la mitad del precio inicial:
Y despejamos t.
Pasamos el término elevado a t solo en el segundo miembro:
Operamos en el primer miembro:
Aplicamos logaritmos a ambos miembros:
En el segundo miembro, pasamos la t multiplicando al logaritmo:
Despejamos t y operamos:
A partir de 4,26 años, el coche valdrá menos de la mitad.
Problema 8
A un niño su padre le ingresó en el banco 3000 € cuando nació, que van a convertirse en una cantidad que aumentará con el tiempo, t (en años desde el nacimiento), según la función C(t) = 3000 ∙ 1,2t
a) ¿Cuánto dinero habrá cuando el niño cumpla 10 años?
b) ¿Y cuando cumpla 18?
c) ¿Cuántos años hay que dejar el dinero invertido para que se convierta en 6000 €?
La función de la cantidad de dindero que aumenta con el tiempo es:
Para cuánto dinero habrá cuando el niño cumpla 10 años, sustituimos t por 10 en la fórmula y operamos:
Para calcular el dinero cuando tenga 18 años, sustituimos t por 18 en la fórmula y operamos:
Y por último vamos a calcular los años que deben pasar para que la cantidad se convierta en 6000 euros. Así que, en la fórmula sustituimos el dinero final por 6000:
Ahora vamos a despejar t.
Despejamos el término elevado a t:
Aplicamos logaritmos:
En el segundo miembro, pasamos la t multiplicando al logaritmo:
Despejamos t y operamos:
Cuando el niño tenga 3,8 años, tendrá 6000 euros en el banco.
Problema 9
Algunos expertos estimaron a comienzos de los años 90 que el SIDA crecía a razón del 20% anual. Si suponemos que en esa fecha, en una determinada ciudad, había 1000 enfermos de SIDA:
a) ¿Cuántos enfermos habría a comienzos de 1993?
b) ¿Cuántos habrá a principios del 2000?
c) Escribe la ecuación de la función y represéntala gráficamente
d) ¿Cuánto tardará en duplicarse el número de afectados?
Apartado a:
En el año 1990 había 1000 enfermos:
Al año siguiente el número de enfermos creció un 20% luego para saber el número de enfermos de 1991, tenemos que multiplicar los enfermos del año anterior por 1,2, ya que se trata de un aumento porcentual:
Para obtener el número de enfermos del siguiente año hacemos lo mismo, es decir, al número de enfermos que tenemos lo volvemos a multiplicar por 1,2, que es lo que crece anualmente. Por tanto, en 1992 tendremos:
Si te das cuenta esta vez la expresión nos queda el aumento anual elevado a 2, que coincide con los años que han pasado.
Para calcular los enfermos en 1993, multiplicamos los enfermos de 1992 por 1,2:
Una vez más, el aumento anual queda elevado a 3, que coincide con el número de años que han pasado.
Apartado b:
Siguiendo la regla de que el aumento anual queda elevado al número de años que han pasado, en el año 2000 habrán pasado 10 años, luego para calcular el número de enfermos que habrá en 2000, el 1,2 tenemos que elevarlo a 10:
Apartado c:
Una vez entendemos el comportamiento de la expresión podemos determinar que el número de enfermos depende del crecimiento anual elevado a los años que pasan.
Si llamamos f(x) al número de enfermos y x al número de años que pasan, la ecuación de la función es la siguiente:
donde x sólo existe cuando es igual o mayor que 0, ya que no podemos contar años hacia atrás.
Ahora vamos a representarla. La x está en el exponente, luego se trata de una función exponencial. Es importante saber de qué tipo es la función para saber qué forma va a tener.
Una vez sabemos la forma que va a tener, sólo nos queda darle valores a x, para obtener su correspondiente valor de f(x). Los valores de x, deben ser mayores o iguales a 0, que son para los que existe la función, es decir: 0, 1, 2, 3…
La función exponencial del problema queda representada de la siguiente manera:
Apartado d:
En este apartado nos preguntan cuánto debe valer x para que f(x) sea igual a 2000:
Nos queda una ecuación exponencial que hay que resolver.
En primer lugar pasamos el 1000 dividiendo al segundo miembro y operamos:
Nos queda una ecuación exponencial en la que no es posible expresar ambos miembros en la misma base, por tanto, tomamos logaritmos en ambos miembros:
En el primer miembro pasamos la x multiplicando, según las propiedades de los logaritmos:
Finalmente despejamos la x, pasando el log 1,2 dividiendo al segundo miembro y resolvemos la operación con la calculadora:
Date cuenta como en la gráfica de la función cuando f(x)=2000, x es igual a 3,8
¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?
Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.
He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.
Con mi método:
- Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
- Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión
Suena bien ¿no?
¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?
Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más: