Producto vectorial de dos vectores. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación vamos a ver cómo realizar el producto vectorial de dos vectores, con ejercicios resueltos paso a paso. Veremos cómo se realiza tanto con vectores de dos dimensiones, como con tres dimensiones, así como sus propiedades y su interpretación geométrica.

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Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores u y v, se designa de la siguiente manera:

y su resultado es un vector perpendicular a u y v:

De ahí que se llame producto vectorial, porque su resultado es otro vector.

Módulo del producto vectorial

El módulo del producto vectorial es el resultado de multiplicar el módulo de ambos vectores por el seno del ángulo que forman:

Para calcular el ángulo que forman los vectores utilizamos el producto escalar.

Una vez calculado el producto vectorial y conocidas sus componente, el módulo del producto vectorial lo podemos calcular como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes:

Dirección del producto vectorial

La dirección del producto vectorial es perpendicular a la vez a los dos vectores, es decir, es perpendicular al plano que forman ambos vectores:

Sentido del producto vectorial

La mejor regla para definir el sentido del producto vectorial, que no da lugar a ninguna confusión es la regla de la mano derecha.

Para realizar esta regla, pon tu mano derecha apuntando con los dedos en el mismo sentido del vector u y cierra la mano dirigiendo tus dedos hacia el vector v por el camino más corto (ángulo más pequeño). El dedo pulgar determinará el sentido del producto vectorial:

Esta regla se utiliza cuando tenemos los vectores representados gráficamente. Si calculamos las componentes del vector resultante del producto vectorial, la componente z nos dará el sentido del vector.

Cómo calcular el producto vectorial de dos vectores: Expresión analítica del producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores se puede obtener a partir del desarrollo del determinante que forman los vectores unitarios en los sentidos x, y y z y las componentes de cada vector.

Si tenemos dos vectores cuyas componentes son:

Nos queda un determinante donde en la primera fila colocamos los vectores unitarios de los ejes x, y y z, es decir, los vectores i, j y k.

En la segunda fila colocamos las componentes del vector u y en la tercera fila colocamos las componentes del vector v.

El determinantes queda de la siguiente manera:

Este determinante se puede desarrollar por la regla de Sarrus o mediante la suma de los productos de los elementos de la primera fila por sus respectivos adjuntos.

Vamos a ver un ejemplo realizando ambos métodos. Vamos a realizar el producto vectorial de los siguientes vectores:

Colocamos en la primera fila los vectores unitarios i, j y k, en la segunda fila las componentes del vector u y en la tercera fila las componentes del vector v:

Aplicamos la regla de Sarrus y queda:

Y operamos:

O lo que es lo mismo, las componentes del vector resultante del producto vectorial son:

Vamos a realizar ahora el mismo producto vectorial por el otro método, es decir, por la suma de los productos de los elementos de la primera fila por sus respectivos adjuntos.

Realizamos la suma de los productos de cada elemento de la primera fila por su adjunto:

Por otro lado, sabemos que el adjunto de un elemento es igual al menor complementario el elemento, multiplicado por -1 elevado a la suma de la fila más la columna donde se encuentra ese elemento en la matriz:

Por tanto, para calcular el adjunto del elemento i, el menor complementario de i, lo tenemos que multiplicar por -1 elevado 1+1 (fila 1 y columna 1):

Para obtener el menor complementario de i, eliminamos la fila y la columna donde se encuentra el i:

Y el menor complementario será el determinante que resulta de eliminar esa fila y esa columna.

El adjunto del elemento i nos queda:

Ahora calculamos el adjunto de j:

Donde el menor complementario de j es:

El adjunto de j nos queda:

Finalmente, calculamos el adjunto de k:

El menor complementario de k es:

Por lo que el adjunto de k nos queda:

Recordemos que todo esto venía de la  suma de los productos de los elementos de la primera fila por sus respectivos adjuntos:

Sustituimos cada adjunto por su valor:

Resolvemos los determinantes de orden 2:

Y operamos:

Hemos llegado al mismo resultado que con el primer procedimiento. Las componentes del vector resultante del producto vectorial son:

Este método parece más complicado que el anterior, pero sin embargo, siempre se realiza igual. Siempre es el vector i por su menor complementario (determinante de 2×2), menos el vector j por su menor complementario, más el vector j por por su menor complementario.

Los signos que hay delante de cada vector unitario siempre son los mismos y lo único que tiene que determinar es el menor complementario como hemos visto antes, es decir, tachando su fila y su columna:

Producto vectorial de vectores de dos componentes

Puede darse el caso de que tengamos que realizar el producto vectorial de vectores con solo dos componentes, es decir, un producto vectorial en R2. ¿Qué hay que hacer entonces?

Para realizar el producto vectorial de vectores de dos componentes, hay que colocar un cero en la componente z de cada vector y lo realizamos igual utilizando uno de los dos procedimientos que hemos visto en el apartado anterior.

Los dos vectores de dos componentes están en el plano xy, por lo que la dirección del vector resultante del producto vectorial será la del eje z, perpendicular a los otros dos.

Vamos a ver un ejemplo.

Realizar el producto vectorial de los siguientes vectores de dos componentes:

Colocamos en la primera fila los vectores unitarios i, j y k, en la segunda fila las componentes del vector u y en la tercera fila las componentes del vector v:

Aplicamos la regla de Sarrus:

Y operamos:

El hecho te tener dos 0 en la tercera columna simplifica mucho los cálculos.

Las componentes del vector resultante son:

Vamos a hacerlos aplicando el segundo procedimiento:

Realizamos la suma de los productos de cada elemento de la primera fila por su adjunto:

Que como hemos comentado antes, siempre queda de esta forma:

Lo completo con cada menor complementario:

Resuelvo los determinantes:

Y opero:

Siendo las componentes:

Con este método, también se simplifican mucho los cálculos al ser 0 la componente z de cada vector.

Producto vectorial de dos vectores paralelos

El producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo (0,0,0):

Por otro lado, si los vectores son iguales o proporcionales, también tienen el producto vectorial nulo.

Propiedades del producto vectorial

Las propiedades más importantes del producto vectorial son:

Propiedad 1

El producto vectorial de dos vectores es nulo siempre que uno de los dos vectores sea nulo o, como he dicho antes, ambos vectores sean iguales, proporcionales o paralelos:

Siendo k un número real

Propiedad 2

El producto vectorial es anticonmutativo:

Propiedad 3

El producto vectorial es distributivo con respecto a la suma de vectores:

Propiedad 4

El producto vectorial cumple la siguiente relación relativa al producto de un número real por un vector:

Siendo k un número real

Interpretación geométrica del producto vectorial

El módulo del producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que se puede formar con esos dos vectores.

Ejercicios propuestos

Dados los siguientes vectores:

Calcula los siguientes productos vectoriales:

Solución

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